偏置比例導(dǎo)引律在空地作戰(zhàn)中的應(yīng)用

穆忠偉 吳劍 何誠 張哲

在現(xiàn)代空地作戰(zhàn)中,精確制導(dǎo)武器對于取得戰(zhàn)爭勝利的主動權(quán)至關(guān)重要.它也是戰(zhàn)場中敵我雙方較量的關(guān)鍵武器,研究制導(dǎo)律性能尤為重要[1].關(guān)于制導(dǎo)律的研究大多數(shù)是以零化脫靶量、攻擊角度約束、能量控制、法向過載控制等為重要的研究指標(biāo).經(jīng)典的比例導(dǎo)引律在導(dǎo)彈的制導(dǎo)性能方面依然是占據(jù)重要地位.但是在約束攻擊角度的性能上,偏置比例導(dǎo)引律要比其更具優(yōu)勢.

關(guān)于偏置型比例導(dǎo)引律方面的方法有很多的學(xué)者進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[2] 是以比例導(dǎo)引模型為基礎(chǔ),研究了偏置項(xiàng)作用時間、作用起止時間、期望落角和導(dǎo)航比等對偏置比例導(dǎo)引所構(gòu)成的影響,推導(dǎo)出了偏置比例導(dǎo)引律的數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)[3]針對常用的比例導(dǎo)彈導(dǎo)引律在反導(dǎo)作戰(zhàn)中的機(jī)動能力和效率的問題,提出了具備對目標(biāo)垂直和水平機(jī)動跟蹤能力的一種擴(kuò)展的比例導(dǎo)引律.文獻(xiàn)[4]針對導(dǎo)彈飛行過程中受到的外部擾動對前置角的變化有很大的影響,基于現(xiàn)有的分段迭代求解剩余飛行時間的方法進(jìn)行了拓展,設(shè)計(jì)了滿足相應(yīng)的任意初始前置角和末端攻擊角度約束的偏置比例導(dǎo)引律.文獻(xiàn)[5]是基于比例導(dǎo)引律和末端攻擊角度誤差反饋,并對導(dǎo)彈飛行時間進(jìn)行了精確設(shè)計(jì),提出了一種不包括線性近似項(xiàng)的導(dǎo)引律.文獻(xiàn)[6]中為了約束針對反坦克導(dǎo)彈命中的角度姿態(tài),設(shè)計(jì)了一種考慮落角約束的制導(dǎo)律.文獻(xiàn)[7]針對微型攔截器需要高精度的制導(dǎo)控制,研發(fā)了偏航及滾動優(yōu)化姿態(tài)控制系統(tǒng),設(shè)計(jì)了偏置比例導(dǎo)引律.文獻(xiàn)[8]針對在大氣層外攔截器進(jìn)行直接的動能碰撞的方式進(jìn)行目標(biāo)毀傷,設(shè)計(jì)了發(fā)動機(jī)不具備變推力工作狀態(tài)并適合軌控發(fā)動機(jī)的開關(guān)閾值的偏置比例制導(dǎo)律.近年來,關(guān)于非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性收斂問題也得到了很多的研究[9-13],所以設(shè)計(jì)能夠具備有限時間收斂特性的偏置比例導(dǎo)引律也是十分必要的.

本文主要針對空地作戰(zhàn)中攻擊靜止目標(biāo)和運(yùn)動目標(biāo)的約束攻擊角度的問題,運(yùn)用偏置比例制導(dǎo)律的優(yōu)點(diǎn),同時又具備一定的有限時間收斂的特性,再加上利用滑模變結(jié)構(gòu)控制對外界的擾動及內(nèi)部的參數(shù)攝動具有極強(qiáng)的自適應(yīng)性和魯棒性,將二者結(jié)合所設(shè)計(jì)的偏置比例導(dǎo)引律將對制導(dǎo)律性能的提高具有重要的意義,也提升了空對地導(dǎo)彈的末制導(dǎo)段的整體性能.

1 彈目相對運(yùn)動關(guān)系

圖1表示導(dǎo)彈M與地面目標(biāo)T的幾何關(guān)系,其中Oxy為慣性坐標(biāo)系,M表示導(dǎo)彈,T表示目標(biāo),導(dǎo)彈速度V為恒定r為導(dǎo)彈與目標(biāo)間的距離,a為垂直于導(dǎo)彈速度的法向加速度,θ 表示彈道傾角,η 為導(dǎo)彈速度V與彈目視線LOS 之間的夾角,q代表視線角.

圖1 導(dǎo)引幾何關(guān)系

彈目相對運(yùn)動方程為

在導(dǎo)引的初始時刻t0時,r(t0) =r0,q(t0) =q0,θ(t0) = θ0,η(t0) = η0得出傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法的關(guān)系式為

2 新型偏置比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)及有限收斂性證明

2.1 新型偏置比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

導(dǎo)彈基本的偏置比例導(dǎo)引律具有如下的形式

其中,K≥2,x為待設(shè)計(jì)的偏置項(xiàng).將式(3) 代入式(6)中并約掉兩端的V可得

將式(7)兩端在[t0t]上積分計(jì)算,可得

令tf為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時刻,那么根據(jù)文獻(xiàn)[12]有

其中,θd為終端的攻擊角度.將式(9)代入式(8)中,并將tf替換t可得

在t時刻,令并其代入式(10)可得

由式(11)可以得出t從t0到tf,f(t0)到f(tf)的變化為

那么將偏置項(xiàng)問題轉(zhuǎn)換為f(t)從f(t0)收斂到0的問題,這樣就可以滿足攻擊角度的要求.

接下來結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制,首先利用f(t) 收斂到0 的特性,設(shè)計(jì)一個滑模切換面,因此設(shè)計(jì)切換函數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑模切換面后,f(t) 收斂到0,而合理的趨近律會使系統(tǒng)具有優(yōu)良的動態(tài)品質(zhì).

采用具有自適應(yīng)特點(diǎn)的指數(shù)趨近律[14],可以保證系統(tǒng)具有正常的動態(tài)品質(zhì).趨近律如下:

其中k＞0,ε ＞0.

將式(13)兩端求導(dǎo)可得:

將式(14)與式(15)兩端聯(lián)立可得:

將式(3)及式(1)代入式(16)中可得:

進(jìn)一步得出:

式(17) 所得結(jié)果是最終的新型的偏置比例制導(dǎo)律.

2.2 有限收斂性的證明

下面證明系統(tǒng)的趨近狀態(tài)與滑動狀態(tài),首先證明其趨近階段的狀態(tài),根據(jù)文獻(xiàn)[15]選取Lyapunov函數(shù)Va=s2,對其兩端求導(dǎo)數(shù)可得如下:

根據(jù)文獻(xiàn)中的引理可得,系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)收斂到滑模面.

接下來,對系統(tǒng)收斂到0 進(jìn)行證明.選取Lapunov 函數(shù)Vb=f(t)2,對其兩端進(jìn)行求導(dǎo)可得如下:

接下來構(gòu)造f(t)的動態(tài)如下:

其中,N(t)＞0,選取即隨著彈目距離越來越近,f(t)收斂的速度就越快,那么˙r< 0.cos η ＞0將N(t)代入式(20)中可得:

據(jù)文獻(xiàn)[16]有限時間收斂的引理可知: 系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)收斂到0.

3 仿真分析

3.1 導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的仿真

導(dǎo)彈在制導(dǎo)的過程中,針對地面固定目標(biāo)時,目標(biāo)速度VT= 0,導(dǎo)彈的初始坐標(biāo)位置為xm= 0,ym=4 000,初始彈道傾角為θm= 0,導(dǎo)彈的速度vm=260 m/s;目標(biāo)的初始坐標(biāo)位置為xt=4 800,yt=0,期望落角為-60°；制導(dǎo)參數(shù)取值:ε=0.01,K=5,k=3.本文將與傳統(tǒng)的經(jīng)典比例制導(dǎo)律進(jìn)行比較如下:

其中,N=8,下面將本文提出的新型偏置比例導(dǎo)引律與傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律進(jìn)行對比.

首先根據(jù)仿真結(jié)果可得,比例制導(dǎo)律和偏置比例制導(dǎo)律的制導(dǎo)時間分別是24.5 s、25.4 s,脫靶量分別為2.469 7 m、0.261 0 m.角度誤差分別為43.915 4°和2.358 8°.偏置比例制導(dǎo)律的攔截時間要比比例導(dǎo)引律的攔截時間稍長些,根據(jù)圖2可看出這是因?yàn)楸壤龑?dǎo)引律的彈道曲線較低,而偏置制導(dǎo)律的彈道曲線較高.在實(shí)際的空地作戰(zhàn)中,較高的彈道為提供更快的攻擊速度及更大的毀傷效果帶來很大的優(yōu)勢.脫靶量又小,具有更精準(zhǔn)的制導(dǎo)效果.

圖2 兩種制導(dǎo)律的彈道軌跡

根據(jù)圖3可以得出,偏置比例導(dǎo)引律比比例導(dǎo)引律能更好地約束特定的角度攻擊目標(biāo),角度誤差還很小,以精準(zhǔn)的角度命中敵方目標(biāo)的特定位置,例如在空地作戰(zhàn)中攻擊地面目標(biāo)的動力裝置、彈藥庫所在的位置,能更準(zhǔn)確地針對目標(biāo)的特定部位進(jìn)行毀傷,大大提高了導(dǎo)彈打擊目標(biāo)的靈活度.

圖3 兩種制導(dǎo)律的彈道傾角曲線

根據(jù)圖4可以得出,兩者制導(dǎo)律的加速度曲線剛開始相差較大,而后兩者都迅速較少直至向0 收斂.證明本文所提出的制導(dǎo)律性能更佳.

根據(jù)圖5可以得出,偏置比例制導(dǎo)律的視線角最終趨于-60°,實(shí)現(xiàn)了彈道傾角與視線角最終趨于一致的結(jié)果以特定姿態(tài)攻擊目標(biāo).而比例制導(dǎo)律卻以很大的誤差擊中目標(biāo).并且圖6中各自角速率都趨于0,證明都可以以一定的角度命中目標(biāo).

圖4 兩種制導(dǎo)律的加速度曲線

圖5 視線角曲線

表1 兩種導(dǎo)引律制導(dǎo)效果的比較

3.2 導(dǎo)彈打擊運(yùn)動目標(biāo)的仿真

導(dǎo)彈在制導(dǎo)的過程中,導(dǎo)彈的初始坐標(biāo)位置為xm= 0,ym= 4 000,初始彈道傾角為θm= 0,導(dǎo)彈的速度Vm= 260 m/s; 目標(biāo)的初始坐標(biāo)位置為xt=4 800,yt= 0,目標(biāo)速度Vt= 150 m/s；期望落角為-30°；制導(dǎo)參數(shù)取值:ε=0.01,K=5,k=3.

圖6 視線角速度變化曲線

表2 兩種導(dǎo)引律制導(dǎo)效果的比較

圖7 彈道軌跡

結(jié)合表2和圖7可知,偏置比例導(dǎo)引律使導(dǎo)彈的飛行時間要比比例導(dǎo)引的時間短,彈道低于后者的彈道；圖9可知,偏置比例導(dǎo)引的彈道傾角趨于期望落角為-30°,而后者則落角偏差相差40°,所以從攻擊落角看,偏置比例導(dǎo)引攻擊運(yùn)動目標(biāo)的落角更佳.

由圖8可知,偏置比例導(dǎo)引的過載曲線最終趨近于0,而后者的過載曲線大小先大、后小、再變大.最終趨于分散,相比性能,偏置比例導(dǎo)引使導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的機(jī)動性能更高.

由圖10可知,兩者視線角速率最終都趨于零,而比例導(dǎo)引律趨于零后又分散,使導(dǎo)彈的脫靶量更大.

4 結(jié)論

圖8 過載曲線

圖9 彈道傾角

圖10 視線角速率

針對在空地作戰(zhàn)中導(dǎo)彈以一定的落角打擊地面目標(biāo)的問題,本文提出了一種偏置比例導(dǎo)引律.利用彈目之間的相對運(yùn)動關(guān)系,基于積分換算的設(shè)計(jì)思想,通過結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)理論使偏置比例公式中的偏置項(xiàng)對內(nèi)及外具有自適應(yīng)性.除此之外,該制導(dǎo)律能夠保證導(dǎo)彈在末制導(dǎo)前期盡可能地充分利用導(dǎo)彈的機(jī)動能力,以使制導(dǎo)律盡快地收斂,那么在制導(dǎo)的末端,也能保證落角的約束.與傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律相比,本文所研究的偏置比例制導(dǎo)律在制導(dǎo)精度及制導(dǎo)角度方面都更具優(yōu)勢.