函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐

鮑科臻

【摘要】數(shù)學(xué)思想在我們的學(xué)習(xí)過程中扮演著重要的角色，它是將課堂理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁.在數(shù)學(xué)概念中，函數(shù)主要描述了變量的變化情況，方程則主要反映了一個(gè)或多個(gè)變量之間的數(shù)值關(guān)系.學(xué)會(huì)運(yùn)用這類思想是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的重要任務(wù)目標(biāo)，不僅可以提高我們的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，對(duì)邏輯思維能力的養(yǎng)成也是有很大幫助的.為此，本文首先對(duì)什么是函數(shù)和方程進(jìn)行了簡要介紹，并分析了其思想的重要作用.其次，分別從解不等式問題、解析幾何問題、數(shù)列以及隨機(jī)變量分布問題等多個(gè)角度分析了其在各種類型的高中數(shù)學(xué)題中的實(shí)踐.最后，本文提出了幾點(diǎn)建議和策略，以期為同學(xué)們的學(xué)習(xí)和實(shí)踐提供指導(dǎo)意義.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)與方程;高中數(shù)學(xué);解題實(shí)踐

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的精華和靈魂，其中函數(shù)和方程是數(shù)學(xué)思想的重中之重.它能夠提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)我們良好的思維習(xí)慣，也是教育改革的重要內(nèi)容.因此，學(xué)生如何養(yǎng)成函數(shù)和方程的思想并在解題中加以運(yùn)用成為廣大教師和同學(xué)熱切關(guān)注的話題.本文針對(duì)高中階段的一些經(jīng)典數(shù)學(xué)問題做了整理，敬請(qǐng)讀者批評(píng)改正.

一、函數(shù)與方程思想的概念及意義

數(shù)學(xué)思想是我們將一些數(shù)學(xué)觀念從書本內(nèi)容上或者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的過程中提煉出來，從而更加熟練和深刻地理解數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì).數(shù)學(xué)思想主要包括函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、極限的思想、歸納推理的思想以及分類討論的思想等多種方式.其中，函數(shù)和方程思想是重中之重，在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了很大的比重.方程是根據(jù)我們所提出的問題找出其隱藏的數(shù)量關(guān)系，然后通過建立一定的模型來尋找問題的答案[1].函數(shù)與方程密切相關(guān).一個(gè)函數(shù)具有奇偶性、周期性、單調(diào)性等特點(diǎn).實(shí)際上，當(dāng)我們?cè)诶煤瘮?shù)方法解決問題時(shí)，通常都是利用它的這些性質(zhì)進(jìn)行分析和解答的.

加強(qiáng)函數(shù)和方程方法在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐能力對(duì)高中階段的學(xué)生來講是十分有必要的.首先，有助于優(yōu)化我們對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，更加深刻和清晰的進(jìn)行邏輯推理，從而能夠積極主動(dòng)地對(duì)腦海中的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理和重組.[2]其次，有助于良好的思維方式和嚴(yán)密的邏輯思維的養(yǎng)成，對(duì)以后的工作和生活也會(huì)有潛移默化的影響.最后，同樣的數(shù)學(xué)思想能夠解決多種數(shù)學(xué)問題，一種數(shù)學(xué)問題也可能包含多種的思想，能激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望，增強(qiáng)分析解決問題的能力.

二、函數(shù)方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）在不等式解題過程中的應(yīng)用與實(shí)踐

在高中數(shù)學(xué)中，不等式的證明和求解是高中數(shù)學(xué)中的常見問題.對(duì)這類問題，應(yīng)用函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想是解決問題的一個(gè)有效途徑.通常我們首先經(jīng)過一些變換建立函數(shù)或方程關(guān)系式，結(jié)合自變量和因變量的取值范圍，通過函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.[3]

例1 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且絕對(duì)值均小于等于1，證明：ab+bc+ca+1≥0.

分析 對(duì)此，如果我們只看已知條件的話往往感覺無從下手，因此，不妨運(yùn)用函數(shù)的思想換一個(gè)角度來思考，由于a的取值范圍在[-1，1]之間，因此，構(gòu)造自變量a的一次函數(shù)f（a）=ab+bc+ca+1，這時(shí)只需證明f（-1）和f（1）均大于或等于0就可以了.

（二）在解析幾何解題過程中的應(yīng)用

由于一般的幾何圖形如圓、橢圓、直線、雙曲線等都可以由一個(gè)函數(shù)解析式來表示，因此，在求解幾何問題時(shí)，運(yùn)用此類方法也是歷年高考或競賽的重點(diǎn)，[4]可以判斷幾何圖形的位置關(guān)系，求解定點(diǎn)、取值范圍以及面積等問題.其解題思路大致由引參—構(gòu)造方程組—消參—求值等步驟來完成.[7]下面由一個(gè)實(shí)例來具體體會(huì)一下其在解析幾何中的應(yīng)用.

例2 已知是橢圓C的解析式為x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0），右頂點(diǎn)為A，且|AF|=1.

（1）試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）假設(shè)有一條動(dòng)直線l：y=kx+m，其與橢圓C有一個(gè)交點(diǎn)P，與直線x=4的交點(diǎn)為Q，求定點(diǎn)M（t，0），使MP·MQ=0.

每一種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法都不是獨(dú)立產(chǎn)生的，它們之間相互聯(lián)系相輔相成，是不可分割的整體.尤其是當(dāng)我們?cè)诮鉀Q相對(duì)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要采取多種數(shù)學(xué)方法運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想來共同完成解答.[6]例如，在解決二次函數(shù)的最值、指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等問題時(shí)需要我們結(jié)合分類討論的思想按照一定的方法將研究對(duì)象進(jìn)行討論，然后在運(yùn)用歸納與總結(jié)的方法對(duì)每一種情況得到的結(jié)論進(jìn)行綜合，從而得到最終的答案.方程的思想還可以與函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想相結(jié)合，能夠根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性、極值、周期性等特征更加直觀快速地找到問題的答案.

例4 求解方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

分析 直接求解方程的解對(duì)本題來說是行不通的，將方程的思想與函數(shù)的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合起來能夠使問題簡單化.因此，觀察方程的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)指數(shù)函數(shù)f（x）=12x以及一個(gè)二次函數(shù)g（x）=-x2+3，做出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示，于是該題目將復(fù)雜的方程的求解問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，問題就迎刃而解了.從圖2中可以看出，一共有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，本題的答案為原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

三、加強(qiáng)函數(shù)方程思想在高中數(shù)學(xué)解題實(shí)踐的策略

經(jīng)過上面多種類型題目的解答過程，我們不難看出函數(shù)和方程思想在解題過程中的重要地位，從上述例子中可以體會(huì)到不同的方法在解題過程中所花費(fèi)的時(shí)間和精力是不一樣的.正確的解題思想和有效的解題辦法能夠大大提高我們的解題效率和正確率.因此，如何有效加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用引起了越來越多的學(xué)生和教師的重視.本文根據(jù)在高中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)以及在解題過程中的體會(huì)，提出了以下幾點(diǎn)值得我們注意的地方.

首先，經(jīng)過大量的數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)是提高解題能力的必經(jīng)之路.所謂見多識(shí)廣，我們要建立正確的解題觀念，通過接觸不同類型的經(jīng)典習(xí)題，并仔細(xì)揣摩其出題者的意圖、題目所考查的知識(shí)點(diǎn).