客流需求不確定下城市軌道交通線路協(xié)同限流魯棒優(yōu)化研究

王興蓉,王石生

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 電子計算技術(shù)研究所，北京 100081)

為了確保運(yùn)營安全，限流已被越來越多的城市軌道交通車站采用。目前，關(guān)于城市軌道交通限流的研究主要分為三個層面，即車站層、線路層和網(wǎng)絡(luò)層。車站層面，Xu等[1]研究了客流需求不確定下城市軌道交通車站的限流。線路層面，趙鵬等[2]以乘客延誤時間最小和客運(yùn)周轉(zhuǎn)量最大為目標(biāo)，構(gòu)建了城市軌道交通線路協(xié)同限流多目標(biāo)優(yōu)化模型；魯工圓等[3]基于城市軌道交通拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)和客流需求建立了以旅客周轉(zhuǎn)量最大為目標(biāo)的城市軌道交通線路客流控制整數(shù)線性規(guī)劃模型；Wang等[4]研究了如何在軌道交通線路上通過協(xié)同限流的方式快速疏解大客流車站的客流；Jiang等[5]以降低滯留人數(shù)和錯過列車次數(shù)為目標(biāo)，構(gòu)建了城市軌道交通線路協(xié)同限流優(yōu)化模型，并采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法對模型進(jìn)行了求解。網(wǎng)絡(luò)層面，Guo等[6]建立了以全網(wǎng)范圍內(nèi)乘客的平均延遲時間最小和個人的最大延遲時間最小為目標(biāo)的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)協(xié)同限流模型，并用粒子群算法對模型進(jìn)行了求解；姚向明等[7]首先基于隨機(jī)用戶均衡理論對網(wǎng)絡(luò)客流進(jìn)行了分配，然后建立了以客流延誤量最小和客流需求與輸送能力匹配度最大為目標(biāo)的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)協(xié)同限流多目標(biāo)優(yōu)化模型。綜上所述，目前國內(nèi)外關(guān)于城市軌道交通線路和網(wǎng)絡(luò)限流的研究都是在確定情況下進(jìn)行的，沒有考慮協(xié)同限流過程中存在的不確定因素，比如客流需求的不確定性、列車故障的不確定性等。為了保障城市軌道交通運(yùn)營安全，有必要考慮不確定情況下城市軌道交通線路的協(xié)同限流，使限流策略更加可靠的同時，保障運(yùn)營效率。

魯棒優(yōu)化是一種常見的處理不確定性問題的方法，已被廣泛應(yīng)用于交通運(yùn)輸相關(guān)領(lǐng)域，例如交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計[8]、船隊規(guī)劃決策[9-10]等。本文研究了客流需求不確定下城市軌道交通線路的魯棒協(xié)同限流方法，構(gòu)建了基于情景集的魯棒優(yōu)化模型，使限流策略在具有不確定特性的客流需求擾動下仍然可行，并通過算例對模型的性能進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。

1 問題分析

城市軌道交通線路協(xié)同限流是指為了緩解整條線路而不僅僅是某個車站的擁擠，需要在時間及空間上協(xié)同調(diào)整多個車站的進(jìn)站客流，從而達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)的目的。為了在保障運(yùn)營安全的同時提升運(yùn)營效率，在制定協(xié)同限流策略時需要考慮各種不確定因素的影響，主要包括客流需求的不確定性和列車運(yùn)行過程中的不確定性。其中，客流需求的大小直接影響每個車站的限流強(qiáng)度。因此，在需求不確定環(huán)境下研究城市軌道交通線路協(xié)同限流更具有實(shí)際意義。

圖1 離散時間和等效時間間隔的解釋

在高峰時段，大部分城市軌道交通線路僅在單方向上具有大客流，限流對相反方向的乘客造成的影響很小。因此本文僅以高峰時段城市軌道交通線路單方向作為研究對象。本文主要解決的問題是計算在客流需求不確定條件下每個時段每個車站的最佳進(jìn)站量[2],即每個等效時段內(nèi)允許進(jìn)站的乘客都能乘上該時段內(nèi)通過該站的列車，不會產(chǎn)生滯留。

2 城市軌道交通線路協(xié)同限流模型構(gòu)建

本節(jié)分別構(gòu)建了城市軌道交通線路協(xié)同限流的確定性模型和需求不確定下的魯棒限流模型，包含模型假設(shè)、符號說明、目標(biāo)函數(shù)及相關(guān)約束，具體如下。

2.1 模型假設(shè)

為了方便模型的建立,首先對問題做如下假設(shè)：

(1)乘客需求呈隨機(jī)特性且概率分布函數(shù)已知；

(2)限流過程中沒有突發(fā)事件產(chǎn)生,列車按照計劃的列車運(yùn)行圖運(yùn)行；

(3)每個等效時段內(nèi)進(jìn)站客流服從均勻分布；

(4)不考慮乘客刷卡后從閘機(jī)到站臺的走行時間，認(rèn)為乘客刷卡后能立即到達(dá)站臺。

2.2 集合、參數(shù)及變量定義

模型中所涉及到的集合、參數(shù)的說明見表1，變量定義見表2。

表1 集合和參數(shù)說明

表2 變量定義

2.3 城市軌道交通線路協(xié)同限流確定性模型

首先建立使在研究時段內(nèi)線路上滯留人數(shù)最小的確定性整數(shù)規(guī)劃模型(P1)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中，式(1)為目標(biāo)函數(shù)，表示使在研究時段內(nèi)滯留在站外的總?cè)藬?shù)最小。式(2)～(4)為客流需求約束，式(2)表示初始時段每個車站的實(shí)際客流需求等于新到達(dá)的客流量。式(3)表示除初始時段外每個等效時段每個車站的實(shí)際客流需求等于該等效時段新到達(dá)的客流量與上一時段滯留的人數(shù)之和。式(4)表示每個等效時段每個車站滯留在站外的人數(shù)等于該等效時段實(shí)際的客流需求減去最佳進(jìn)站量。式(5)為上車人數(shù)計算公式。在本文中，認(rèn)為每個等效時段內(nèi)進(jìn)站的乘客總能乘上該等效時段內(nèi)通過車站的列車。式(6)為下車人數(shù)計算公式，其中下車率可由歷史數(shù)據(jù)獲得。式(7)為列車載客量計算公式。式(8)為列車容量約束，表示每個等效時段內(nèi)所有列車的實(shí)際載客量之和不能超過最大容量。本文對每個等效時段的所有列車的容量進(jìn)行了合并。式(9)從安全性的角度出發(fā)保證每個等效時段內(nèi)站臺上的聚集人數(shù)不能超過站臺的最高聚集人數(shù)。式(10)從公平性的角度出發(fā)保證每個等效時段內(nèi)每個車站的進(jìn)站人數(shù)不能小于最低進(jìn)站人數(shù)，否則，由于上游車站的乘客占據(jù)了列車的大部分容量，對于下游車站的乘客而言，可能會導(dǎo)致最佳進(jìn)站量為0，而實(shí)際限流時并不可行。同時，最佳進(jìn)站量不應(yīng)超過實(shí)際客流需求。式(11)為基本約束，保證每個時段每個車站滯留在站外的人數(shù)非負(fù)。

2.4 城市軌道交通線路協(xié)同限流魯棒優(yōu)化模型

2.4.1 魯棒優(yōu)化方法

minσ(x,y1,…,yc)+ωρ(ε1,…,εc)

,

(12)

s.t.Ax=b

,

(13)

,

(14)

x≥0,yc≥0, ?c∈C

,

(15)

式中，x表示設(shè)計變量，其最優(yōu)解與不確定參數(shù)無關(guān)；y表示控制變量，取值不僅與不確定參數(shù)有關(guān)，還取決于設(shè)計變量。相應(yīng)地，式(13)稱為設(shè)計約束，不受不確定因素的影響，式(14)稱為控制約束，會受不確定因素的影響。

在該模型中，魯棒性包括兩層含義，即解魯棒和模型魯棒。對于任意某個情景而言，若模型的解都接近于該情景下的最優(yōu)解，則稱為解魯棒；若模型的解對任何情景都可行，則稱為模型魯棒。模型中的第一項(xiàng)σ(·)用來表示解的魯棒性，第二項(xiàng)ρ(·)是對超出約束部分的懲罰，用來表示模型的魯棒性。由于很難同時滿足所有情景下的最優(yōu)性與可行性，該模型引入權(quán)重系數(shù)ω來度量解魯棒和模型魯棒之間的相對重要性。

Mulvey等[11]提出的基于情景集的魯棒優(yōu)化模型框架中，第一項(xiàng)σ(·)的具體表達(dá)形式并不唯一，本文采用Yu等[12]提出的形式，如式(16)所示

,

(16)

,

(17)

,

(18)

?c≥0。

(19)

為了便于求解，Yu等[12]采用式(17)～(19)對式(16)進(jìn)行了線性化處理，并證明了兩者之間的等效性。

式(16)中：第一項(xiàng)為情景目標(biāo)值的期望，其中ζc表示情景c下的目標(biāo)值；第二項(xiàng)為情景目標(biāo)值與期望的絕對差的期望，其中λ為風(fēng)險權(quán)衡因子，用以體現(xiàn)決策者對系統(tǒng)穩(wěn)定或風(fēng)險的偏好。式(17)中，?c是為了線性化式(16)而引入的變量。

2.4.2 客流需求不確定下協(xié)同限流魯棒優(yōu)化模型

定義每種情景下的目標(biāo)函數(shù)為

(20)

則客流需求不確定下城市軌道交通線路協(xié)同限流的魯棒優(yōu)化模型(P2)可以表示為：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

?c≥0,?c∈C，

(31)

(32)

目標(biāo)函數(shù)(20)由3項(xiàng)組成：第1項(xiàng)為滯留人數(shù)的期望值，代表了不同隨機(jī)需求下滯留人數(shù)的均值；第2項(xiàng)為各種情景下滯留人數(shù)與期望的絕對偏差的期望，用來衡量隨機(jī)需求對限流策略的擾動程度，擾動越大，則風(fēng)險越大；前兩項(xiàng)之和是對解魯棒性的衡量，第3項(xiàng)是不可行懲罰函數(shù)，是對在各種情景下未滿足列車容量約束的懲罰，用于衡量模型的魯棒性。式(20)～(32)構(gòu)成了完整的魯棒優(yōu)化模型，可以看出，該模型中所有約束都為控制約束。

3 算例分析

3.1 基本信息

本文選取北京地鐵八通線進(jìn)行算例分析。八通線位于通州新城，通過換乘站四惠站及四惠東站與地鐵1號線相連，如圖2所示。八通線是北京地鐵常態(tài)化限流車站最多的線路之一。

早高峰時段，超過90%的乘客通過換乘站四惠站及四惠東站前往地鐵1號線，擁擠十分嚴(yán)重，因此本文選取八通線下行方向進(jìn)行案例分析。對于土橋站而言，研究時段為6:30—9:00，由于對原始時段進(jìn)行了偏移，因此其他車站的研究時段也相應(yīng)進(jìn)行了偏移。為了減少換乘客流的影響，本文將換入換出客流視為本線進(jìn)站和出站客流。由于下行方向沒有換入客流，因此僅將八通線各站乘車前往其他線路的客流視為在四惠站和四惠東站出站的客流。在實(shí)際運(yùn)營中，多數(shù)乘客選擇在四惠東站換乘，因此本文將每個站的換乘客流按7∶3分配在四惠東站和四惠站。除了客流數(shù)據(jù)外，還需要列車運(yùn)行數(shù)據(jù)及模型的相關(guān)參數(shù)。為便于表示，本文將土橋站至四惠站分別標(biāo)號為1～13。

圖2 八通線示意圖

本文以2017年9月18日八通線的實(shí)際刷卡數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)客流數(shù)據(jù)。為了體現(xiàn)需求的波動性，假設(shè)每個等效時段內(nèi)每個車站的客流需求在基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的0.9～1.1倍內(nèi)服從均勻分布。假設(shè)存在Nc種需求情景，則基于隨機(jī)模擬技術(shù)根據(jù)概率分布模擬生成Nc個需求情景，每種情景出現(xiàn)的概率均為1/Nc。具體的參數(shù)取值見表3～7。

表3 模型相關(guān)參數(shù)

表4 站臺最大聚集人數(shù)[13]

表5 列車運(yùn)行偏移時間

表6 等效時段與原始時段的對應(yīng)關(guān)系

表7 每個等效時段內(nèi)通過每個車站的列車數(shù)

3.2 結(jié)果分析

采用Matlab軟件調(diào)用gurobi求解器對所構(gòu)建的魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到不同情形下各車站分時段最佳進(jìn)站量，如表8所示。由于八通線上四惠站和四惠東站幾乎沒有進(jìn)站量，結(jié)果中不包含這兩座車站。

表8 需求不確定條件下各車站分時段最佳進(jìn)站量

為驗(yàn)證模型的魯棒性和優(yōu)勢，首先用確定性模型(P1)對5種客流需求情景分別進(jìn)行求解，得出每個情景下的最優(yōu)滯留人數(shù)。然后將魯棒模型得到的限流策略分別代入到5種客流需求情景中，得出在該限流策略下，每種需求情景下的滯留人數(shù)，并將結(jié)果與每個情景的最優(yōu)值進(jìn)行對比，結(jié)果如表9所示。

表9 不同需求情況下的最優(yōu)目標(biāo)值

從表9中可以看出，對于每種確定性需求而言，魯棒限流策略產(chǎn)生的滯留人數(shù)與每種確定情景的最優(yōu)滯留人數(shù)相比，相對差都在10%以內(nèi)，較為接近。因此，本文提出的城市軌道交通線路協(xié)同限流魯棒優(yōu)化模型是解魯棒的。對于情景2和情景3而言，魯棒模型得出的限流策略會使列車提供的容量不足，即允許進(jìn)站的人數(shù)超過了所能提供的列車容量，這也說明魯棒優(yōu)化模型得出的解不一定對所有的情景都可行，因此解魯棒和模型魯棒之間是矛盾的。但實(shí)際運(yùn)營中，超過列車容量的這部分乘客可以滯留在站臺上等待后續(xù)列車。

為了驗(yàn)證魯棒模型的意義，將確定性情景1下的最優(yōu)限流策略代入到其他4種情景中，得出此時每種客流需求情景下的滯留人數(shù)，結(jié)果如表10所示。通過與魯棒限流策略下每個情景的滯留人數(shù)進(jìn)行對比可知，需求確定情況下得到的限流策略雖然對于該種情景是最優(yōu)的，但當(dāng)實(shí)際發(fā)生的情景不同于預(yù)測的確定性情景時，這種最優(yōu)決策與“實(shí)際最優(yōu)”決策相比，將會導(dǎo)致較大的偏差，而魯棒優(yōu)化方法計算出的不確定需求情況下的最優(yōu)限流策略雖然對于部分情景而言并不可行，但可以降低限流策略對需求的敏感程度，且魯棒限流策略雖然增加了部分場景的滯留人數(shù)，但都保持在可以接受的范圍內(nèi)。因此，在實(shí)際的運(yùn)營中，考慮客流需求不確定下城市軌道交通線路協(xié)同限流問題是有意義的。

表10 確定性情景1的最優(yōu)限流策略對其他確定性情景的影響

3.3 靈敏度分析

在本文提出的魯棒優(yōu)化模型中，共包含兩項(xiàng)權(quán)重因子。其中，ω是對違反約束的懲罰因子，同時也用來衡量解魯棒和模型魯棒之間的相對重要程度；λ是風(fēng)險權(quán)衡因子，用于體現(xiàn)決策者對風(fēng)險的偏好。各種情景下滯留人數(shù)與期望的絕對偏差的期望越小，表示模型的解對不確定需求的敏感性越低，則決策帶來的風(fēng)險越低。

3.3.1ω靈敏度分析

當(dāng)λ保持1.0不變時，使ω從0.5到11.0這個范圍內(nèi)變動，5種情景下滯留人數(shù)的期望與懲罰成本(5種情景下超出列車最大容量的乘客數(shù)的期望)的變動趨勢如圖3所示。從圖中可以看出，隨著ω的增大，滯留人數(shù)的期望越來越大，而懲罰成本越來越小。當(dāng)ω取值為11.0時，滯留人數(shù)的期望最大，而懲罰成本為0，說明此時的魯棒限流策略非常保守，對任意確定性情景的實(shí)現(xiàn)都可行，模型等同于絕對魯棒。ω靈敏度分析的結(jié)果進(jìn)一步表明，解魯棒和模型魯棒是相互矛盾的，滯留人數(shù)的期望增加，意味著模型的解魯棒性隨著ω的增大而降低，而懲罰成本減小，意味著模型魯棒性增強(qiáng)。

圖3 ω敏感性分析

3.3.2λ靈敏度分析

當(dāng)ω保持4.345不變時，使λ從0.5到10.0這個范圍內(nèi)變動，滯留人數(shù)偏差的期望值的變動趨勢如圖4所示。從圖中可以看出，隨著λ的增大，偏差的期望減小，因此，限流策略對不確定需求的敏感程度隨λ的增大而減小。

圖4 λ敏感性分析

4 結(jié)論

在確定性模型的基礎(chǔ)上，采用基于情景集的魯棒優(yōu)化方法建立了客流需求不確定下城市軌道交通線路協(xié)同限流魯棒優(yōu)化模型，對每個時段內(nèi)每個車站的最佳進(jìn)站量進(jìn)行了求解。該模型既考慮了客流需求不確定對限流策略的影響，又考慮了解與模型的魯棒性以及決策者對風(fēng)險的偏好程度。通過對確定性模型和魯棒模型的結(jié)果進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，魯棒模型雖然增加了部分客流情景下的滯留人數(shù)，但可以降低不確定需求對限流策略的擾動程度，且增加的部分保持在可接受的范圍內(nèi)，避免了實(shí)際發(fā)生的情景不同于預(yù)測的情景時產(chǎn)生較大的偏差。靈敏度分析的結(jié)果表明，解魯棒和模型魯棒是相互矛盾的，模型魯棒性的增強(qiáng)，意味著解魯棒的降低。同時，隨著風(fēng)險權(quán)衡因子的增大，限流策略對不確定客流需求的敏感程度下降，對城市軌道交通系統(tǒng)產(chǎn)生的影響會更穩(wěn)定。

但是本文僅考慮了不確定客流需求呈均勻分布的情況，在進(jìn)一步的研究中，需要根據(jù)歷史的客流數(shù)據(jù)統(tǒng)計客流的實(shí)際分布及相應(yīng)的概率變化情況，并以此分析需求的不確定性對決策變量的影響。