談初中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

山東省萊蕪市雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 張光發(fā)

在初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力主要是針對生活中的實(shí)際問題，基于現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識，通過建立數(shù)學(xué)模型，對模型進(jìn)行分析、求解，最終實(shí)現(xiàn)解決實(shí)際問題為根本出發(fā)點(diǎn).通過數(shù)學(xué)建模，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和思考問題的能力，以及尋找思考問題的角度.也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，訓(xùn)練快速獲取信息和資料的能力，以及了解和掌握新知識的技能.

在初中數(shù)學(xué)中，常用模型主要有：函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.本文以一元二次函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用為例，就相關(guān)建模能力的培養(yǎng)提出幾點(diǎn)建議，供參考.

一、能否樹立數(shù)學(xué)建模的意識？

樹立建模意識是建模能力培養(yǎng)的前提，通常情況下，在實(shí)際問題中如果具有可量化的指標(biāo)，基本都可以抽象成各數(shù)學(xué)變量，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行分析，找出它們之間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用模型對問題進(jìn)行分析求解，并將所求結(jié)果與實(shí)際對照檢驗(yàn)，若符合實(shí)際則得出相應(yīng)的結(jié)論；若與實(shí)際不符，則需重新進(jìn)行分析、抽象，選擇數(shù)學(xué)模型.將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程如圖1所示：

圖1

函數(shù)建模是在實(shí)際問題中通過對數(shù)據(jù)的分析，抽象出變量，找出各變量之間的關(guān)系，從而將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程.

通過數(shù)學(xué)抽象、建立數(shù)學(xué)模型，對模型進(jìn)行分析求解，把生活中的各種實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決.

二、是否掌握數(shù)學(xué)建模的方法？

如何更好地對實(shí)際問題進(jìn)行分析，并求出相應(yīng)的結(jié)論？這與選擇的數(shù)學(xué)模型息息相關(guān)，其中選擇數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)能力的反映.數(shù)學(xué)模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個(gè)最佳的模型，體現(xiàn)了學(xué)生對所學(xué)知識靈活應(yīng)用能力的強(qiáng)弱.

函數(shù)指在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果在某一范圍內(nèi)對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，其中x為自變量.在初中數(shù)學(xué)中所涉及的函數(shù)模型主要有以下幾種：

（1）正比例函數(shù)：如速度與路程、單位數(shù)量與總量；

（2）反比例函數(shù)：如價(jià)格與銷售量、速度與時(shí)間的關(guān)系；

（3）一次函數(shù)：如在票價(jià)一定的情況下，乘客數(shù)量與成本、收入之間的關(guān)系；

（4）二次函數(shù)：優(yōu)化問題、用料最省問題、造價(jià)最低、利潤最大等.

三、能否基于實(shí)際需求建立數(shù)學(xué)模型？

案例：汽車超速行駛是造成交通事故的重要原因之一，那么在事故的現(xiàn)場如何檢測一輛汽車是否超速呢？相關(guān)技術(shù)部門通常采用測量“剎車距離”來判斷是否超速.“剎車距離”指一輛行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的原因，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離就稱為“剎車距離”.如何測定某種型號汽車的剎車性能？

1.選擇研究對象

汽車型號：選擇某品牌某一型號的汽車為研究對象，并確定相應(yīng)的輪胎規(guī)格.

測量地址：直線型柏油路；

自變量（車速）的值：為便于計(jì)算，選擇車速分別為5、10、15、20、25、30（千米/時(shí)）；

剎車位置：選擇某一位置為剎車起點(diǎn).

2.數(shù)據(jù)的收集

實(shí)際測量在不同車速下的剎車距離，如表1所示：

表1

3.數(shù)據(jù)的整理

在如圖2所示的直角坐標(biāo)系中，以剎車時(shí)車速為橫坐標(biāo)，以剎車距離為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接這些點(diǎn)，得到某函數(shù)的大致圖像（根據(jù)需要補(bǔ)充車速為0時(shí)，剎車距離為0）.

圖2

4.建立的模型

借助圖像信息建立函數(shù)模型，即觀察圖像，從中獲取信息，將其轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

通過觀察圖像可知，該圖像的形狀與拋物線接近，猜想該函數(shù)為一元二次函數(shù).因?yàn)閳D像經(jīng)過原點(diǎn)，故可設(shè)此二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx（x≥0）.

5.模型的求解

利用待定系數(shù)法確定抽象出來的函數(shù)關(guān)系：

選?。?0，1）和（10，0.3）代入表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx（x≥0）中，得到二元一次方程組：利用消元法解得

6.模型檢驗(yàn)

代入各點(diǎn)檢驗(yàn)，只有（25，1.6）略有誤差，其他點(diǎn)均滿足所求表達(dá)式.

7.誤差分析

由于所選擇的柏油路的光滑程度、輪胎的不同型號及人為操作等原因，不可避免會出現(xiàn)一些誤差，因此在具體應(yīng)用中，可以利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，將應(yīng)用模型所得數(shù)據(jù)以分組的形式表示，規(guī)定一個(gè)合理的組距.

8.模型的應(yīng)用

問題1：若車速是90千米/時(shí)，估計(jì)剎車距離可能為多少.

解答：將x=90千米/時(shí)代入得y=17.1.

問題2：一輛該型號汽車在高速公路上發(fā)生交通事故，現(xiàn)場測得剎車距離約為40米，已知這條高速公路限速100千米/時(shí)，請根據(jù)你確定的函數(shù)表達(dá)式，通過計(jì)算判斷在事故發(fā)生時(shí)，汽車是否超速行駛.

解答1：將y=40代入y==40，解得x≈140千米/時(shí).因?yàn)?40＞100，所以汽車已經(jīng)超速.

解答2：將x=100千米/時(shí)代入（x≥0），得y=21＜40，所以該汽車已超速行駛.

四、是否具有建模的能力？

數(shù)學(xué)建模的過程是將我們所學(xué)知識用在日常生活的過程，培養(yǎng)建模能力是培養(yǎng)我們運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題與解決問題能力的關(guān)鍵，為培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，我們要更好地完善如下數(shù)學(xué)建模能力：

1.理解實(shí)際問題的能力

數(shù)學(xué)知識與生活中的眾多問題息息相關(guān)，通過對這些問題的理解、分析、探究，挖掘出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而建立數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識解決這些實(shí)際問題.除本文所述的模型外，生活中的抽簽、抽獎、投資、理財(cái)，小區(qū)的綠化、樓房的采光、車輛的存放等，甚至生活中節(jié)水、節(jié)電問題等，均可找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.只要學(xué)生認(rèn)真觀察，生活中的數(shù)學(xué)無處不在.

2.洞察能力

即抓住實(shí)際問題中要點(diǎn)的能力.如本文案例中與剎車距離相關(guān)的要點(diǎn)除了車速，還有柏油路的路面光滑程度、輪胎的型號等.

3.抽象分析問題的能力

如本文中的案例，根據(jù)速度與剎車距離之間的關(guān)系，抽象出二次函數(shù)模型.

4.“翻譯”能力

即把經(jīng)過抽象、簡化的實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來，形成數(shù)學(xué)模型的能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到結(jié)論，并能用自然語言表達(dá)出來的能力.

5.通過實(shí)際對模型進(jìn)行檢驗(yàn)的能力

即所建立的數(shù)學(xué)模型要與生活實(shí)際相符，要經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn).

6.所學(xué)數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力

如本文例案中構(gòu)造了二次函數(shù)模型，應(yīng)用這些模型解決問題的前提是我們要熟悉二次函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì)，這樣才能更好地將其應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中.

只有各方面能力加強(qiáng)了，才能更好、更快地解決生活中的實(shí)際問題.

總之，生活與數(shù)學(xué)是密不可分的，數(shù)學(xué)來源于生活，通過建立數(shù)學(xué)建模，解決生活中的實(shí)際問題，享受數(shù)學(xué)帶給人們的樂趣，從而讓我們感受到生活中處處有數(shù)學(xué).