凸顯核心素養(yǎng)的“無刻度的直尺作圖”

浙江省舟山市定海區(qū)第七中學(xué) 余 鵬 夏恩素

一、試題呈現(xiàn)

（2019年浙江舟山中考第20題）在6乘6的方格紙中，點A、B、C都在格點上，按要求畫圖：

（1）在圖1中找出一個格點D，使以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段AB三等分（保留畫圖痕跡，不寫畫法）.

圖1

圖2

二、試題特色解讀

近幾年來，核心素養(yǎng)一直是我國教育改革的熱點.許多學(xué)者提出了核心素養(yǎng)如何落實到課堂教學(xué)中的建議，為核心素養(yǎng)的進一步研究奠定了基礎(chǔ).但是如何在試題中更好地凸顯學(xué)生的核心素養(yǎng)，也是當下教育亟待解決的問題.

這道用無刻度的直尺作圖題，給了我們很大的觸動，我們認為，當下基于核心素養(yǎng)的命題，這種題型是一個趨勢.

1.立足課本，超越課本

本題作為初中數(shù)學(xué)的幾何部分，共有兩問.第（1）問屬于常規(guī)題型，立足于浙教版八年級下冊第四單元4.2“平行四邊形及其性質(zhì)”的合作學(xué)習(xí).教材中指出：讓學(xué)生用兩塊相同的三角板拼一個平行四邊形，有幾種拼法？第（1）問在教材的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在格點圖中由已知的三個點找第四個點，使之成為平行四邊形.基于課本，超越課本.用方格圖來檢測學(xué)生對于平行四邊形相關(guān)知識的掌握情況，全面考查學(xué)生幾何直觀、邏輯推理、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

第（2）問讓學(xué)生運用無刻度的直尺將方格圖中的線段AB三等分.全面考查學(xué)生對于課本知識的遷移能力和運用意識.無刻度的直尺作圖基于課本的尺規(guī)作圖，讓學(xué)生動手畫圖，學(xué)生可以根據(jù)自己的最近發(fā)展區(qū)，找到適合自己的解題方法.同時結(jié)合當下注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，真正在數(shù)學(xué)的解題中很好地凸顯了對學(xué)生核心素養(yǎng)的檢測，讓學(xué)生都能運用自己所學(xué)，展現(xiàn)出自己的能力.

2.無刻度尺作圖，全面檢測學(xué)生的核心素養(yǎng)

無刻度的直尺作圖就是只能用直尺在給定的圖中按照要求畫直線或者線段，達到作出要作的圖形的目的.無刻度的直尺作圖題是近兩年浙江省中考中比較新穎的題目.2019年浙江省中考說明中的數(shù)學(xué)樣卷直接把2018年中考中一道無刻度尺作圖題選入樣卷.

無刻度的直尺作圖題，能夠很好地反映一個學(xué)生對于幾何知識的綜合運用能力，打破了傳統(tǒng)幾何題型的思維定式.在傳統(tǒng)的幾何試題中，大多數(shù)都是給出已知條件和結(jié)論讓學(xué)生動手去證明.但是這種題型已經(jīng)無法全面檢測出學(xué)生的核心素養(yǎng).無刻度尺作圖題，是讓學(xué)生自己運用所學(xué)的知識在方格圖中畫出自己想要的結(jié)論.學(xué)生可以運用自己所掌握的知識，通過自己的實踐操作，達到最終要求作圖形的目的.在這個實踐的過程中，考查了空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).

3.凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)：遷移和創(chuàng)新

無刻度尺作圖題剛出現(xiàn)時，也引起了一些老師的爭議，他們認為，無刻度尺作圖題的出現(xiàn)，導(dǎo)致中考試卷中沒有了尺規(guī)作圖題，那我們平時的教學(xué)中還學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖做什么？其實不然，想想課本中的尺規(guī)作圖題，每一道尺規(guī)作圖題是不是都有對應(yīng)的推理論證？在教學(xué)中，我們不僅僅是教學(xué)生如何尺規(guī)作圖，而且仔細地論證了為什么要這樣尺規(guī)作圖，讓學(xué)生在掌握這道題的知識的同時，能夠做到活學(xué)活用.而我們的無刻度尺作圖其實和尺規(guī)作圖的思維方式是一樣的，只不過避開了課本中尺規(guī)作圖的死知識，不是學(xué)什么考什么的死知識，而是靈活考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，進而對這類題型進行升華.

三、解法賞析

羅增儒教授指出：問題的本質(zhì)最能反映題目條件與結(jié)論之間邏輯關(guān)系的深層結(jié)構(gòu).筆者對此的理解是：每個學(xué)生的認知水平不同，教材的掌握程度也不相同，也就導(dǎo)致學(xué)生在分析試題的條件和所求問題時，所用的解題方法有所不同.

關(guān)于第（1）問：

給出三個點，找一個點D使它們構(gòu)成一個平行四邊形，考查學(xué)生對于平行四邊形相關(guān)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題型.學(xué)生很容易找出點D的位置（如圖3）.

圖3

關(guān)于第（2）問：

第（2）問是第（1）問的升華，用無刻度的直尺找一條線段的三等分點.平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，比較常見的是作一條線段的中垂線，可以找出二等分點.同理，繼續(xù)作中垂線可以找出四等分點.但是這種思路無法去找一條線段的三等分點.所以從中垂線這條思路走行不通.回顧課本中除了求二等分和四等分的題型，浙教版九年級上冊4.2“由平行線截得的比例線段”這一節(jié)中的例2是求作一條線段的五等分點，解題中所運用的原理就是：兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對應(yīng)線段成比例.通過知識的遷移，這道題是求作線段的三等分點，是否有類似的解題方法呢？

解法1：構(gòu)造一組平行線，且平行線之間的距離都相等（如圖4）.由于方格圖都是由相同的小正方形構(gòu)成的，易得線段AE被中間兩條平行線三等分.所以很容易得出圖中平分線段AE的兩條線與線段AB的交點就是線段AB的三等分點.

圖4

圖5

解法2：類比解法1同樣構(gòu)造平行線（如圖5）.

在方格圖中所有的豎線都是平行的且相鄰的豎線之間距離相等，易得點E、F是線段AC的三等分點.由于圖中四條線段互相平行，所以過點E、F的平行線與線段AB的交點就是線段AB的三等分點.

上述兩種方法都是從教材4.2中遷移知識找出的解法.4.2內(nèi)容的學(xué)習(xí)實質(zhì)上是為4.3“相似三角形”做鋪墊，所以不難想出這道題從相似三角形出發(fā)也是可行的.因為格點圖中線段的1倍、2倍和3倍都很容易找出.這樣構(gòu)造它們的相似三角形就可以得出對應(yīng)邊成比例，進而得出線段的三等分點.相似三角形中最常見的相似模型是“A”字型和相似模型.

解法3：如圖6，由相似，易得AF∶BF=1∶2，同理得BE∶AE=1∶2.所以點E、F為線段AB的三等分點.

圖6

圖7

解法4（如圖7）、解法5（如圖8）和解法6（如圖9）都是由解法3的相似發(fā)散得出的解法.

圖8

圖9

解法7：如圖10，由“A”字型和字型結(jié)合得出三等分點.

圖10

四、教學(xué)導(dǎo)向

1.課堂教學(xué)注重知識的生成過程

中考是一個統(tǒng)一性的考試.為了更好地體現(xiàn)教育公平性原則，命題人會以教材為標準進行發(fā)散和遷移.以舟山市的第20題為例，這道題的第（2）問看似和尺規(guī)作圖沒有任何的關(guān)聯(lián)性，其實不然.教材中的尺規(guī)作圖題都配有相關(guān)的證明.如角平分線的尺規(guī)作圖，課本中不僅展示了尺規(guī)作圖的步驟，同時論證了這條射線為什么是角平分線.所以教師在教學(xué)中不僅要教會學(xué)生作圖的步驟，還要講解為什么要這樣作圖，這樣作圖的依據(jù)是什么.只有重視學(xué)生對知識的生成性，才能讓學(xué)生有一個完善的知識體系，才能在以后的運用中對相關(guān)知識進行遷移.這道中考題的第（2）問只是把尺規(guī)作圖改成方格圖中的無刻度的直尺作圖，本質(zhì)上和尺規(guī)作圖的思維方式是一樣的.所以教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該重視對尺規(guī)作圖原理的解讀.

2.課堂教學(xué)注重對知識的提煉和歸納

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).如果教師只注重“滿堂灌”，用“教教材”的模式教學(xué)，那么學(xué)生學(xué)到的僅僅是教材中生硬的知識.但是面臨具體的情境問題或者把題目稍做變形，學(xué)生就變得無從下手.

比如這道無刻度的直尺作圖題，本身來源于九年級上冊4.2的例題，例題是作線段的五等分點，如果教師能夠在講完這道題后進行發(fā)散，讓學(xué)生動手去作線段的二等分點、四等分點、三等分點和七等分點，最終將這類題型的解題方法進行提煉和歸納，那么，我想以后在遇到相關(guān)題型時，學(xué)生就會由無從下手變得得心應(yīng)手.

3.課堂教學(xué)中題目的講解融入數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)課中的題目不是教師按部就班地教學(xué)生得出這道題的答案，而是啟發(fā)學(xué)生對于這道題應(yīng)該如何去思考，用哪些我們學(xué)過的知識及數(shù)學(xué)思想方法，才能合理推導(dǎo)出結(jié)果.比如本文中的這道中考題，求三等分點，聯(lián)想到相似三角形構(gòu)造出比例關(guān)系，由相似三角形想到相似三角形的基本模型：“A”字型和模型，進而通過一步步的推理和實踐操作畫出要求作的三等分點.教師在平時的教學(xué)中多滲透這樣的數(shù)學(xué)思想方法，才能潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).