變與不變，不離其源*
——“圓（第2課時）”教學(xué)案例

江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 崔寧寧

改革一直在路上，形式一直在變化，但不變的是——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來不是“被告知式”的，數(shù)學(xué)教學(xué)從來沒有固定的模式，因為數(shù)學(xué)的主旨在于思維和方法.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)課堂自然是思維與方法的課堂，這個本質(zhì)不會因為課程內(nèi)容的不同而改變，亦不會因為課程類型的不同而改變，就算是一節(jié)概念課，也絕不僅僅是簡單的“告知概念”，其中一定蘊含著“本”和“源”，一定含有內(nèi)在的思維和方法.

下面以蘇科版教材數(shù)學(xué)九年級上冊“第2章‘對稱圖形——圓’”中“2.1圓（第2課時）”為例，感受“為思維與方法而教”的真正含義.

一、教材分析與學(xué)情分析

1.教材分析

圓是平面幾何中的基本圖形之一，在幾何中有著重要地位.“圓”這一章的教學(xué)是初中平面幾何中最為復(fù)雜和特殊的，其中包含了圓自身眾多構(gòu)成要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系，本節(jié)課就是具體研究與圓有關(guān)的元素、概念.本節(jié)是一節(jié)概念課，而且概念較多，這些概念是后面學(xué)習(xí)圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)，對這些概念的理解是否透徹、準(zhǔn)確直接影響著后續(xù)圓的性質(zhì)的研究與學(xué)習(xí)，可以說起著承上啟下的作用，而弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別就能更好地幫助理解概念.

對于圓這個曲線型圖形，學(xué)生經(jīng)常會將它和直線型圖形孤立開，但圓中是存在直線型圖形的，所以通過一些問題加強(qiáng)將“曲線型”和“直線型”聯(lián)系起來看的意識；證明“直徑是一個圓中最長的弦”的方法學(xué)生很難想到，但是一旦學(xué)會這種方法，就會為后續(xù)的問題解決提供很大幫助.

2.學(xué)情分析

課程標(biāo)準(zhǔn)要求理解弧、弦、圓心角、圓周角的概念；了解等圓、等弧的概念.學(xué)生如何不被動直接告知，而是能主動地比較清晰、透徹、準(zhǔn)確地理解這些概念呢？整個過程的定位都是在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上（①對圓的定義、圓的兩要素的理解；②與研究三角形、四邊形等圖形有著類似的研究方法和經(jīng)驗），學(xué)生通過不斷操作畫圖、比較異同、歸納提煉，切身感受并主動、準(zhǔn)確理解這些概念，在此過程中感受類比、分類討論等數(shù)學(xué)思想，感悟研究問題的方法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提升“提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題”的能力.

3.教學(xué)目標(biāo)及重點、難點

基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及重、難點可確定如下：

（1）教學(xué)目標(biāo).

①在復(fù)習(xí)圓的定義這一情境中，經(jīng)歷實際操作、動手畫圖的過程，借助圖形直觀理解同圓、等圓、同心圓的概念；

②通過對三角形和四邊形研究對象和研究方法的回憶，思考與圓有關(guān)的研究對象，感受類比的思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；

③經(jīng)歷研究與圓有關(guān)的“線”的內(nèi)容的過程，經(jīng)歷畫圖的過程，借助圖形直觀理解弦、弧的概念，經(jīng)歷畫弦的過程，觀察特殊弦（直徑）的特點，猜想弦和直徑的特殊關(guān)系，并證明；

④探索、討論、分析角與圓的位置關(guān)系，歸納圓心角和圓周角的概念，感受分類討論，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；

⑤通過例題，初步感受圓與直線型圖形的聯(lián)系，在整個過程中增強(qiáng)提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

（2）教學(xué)重點、難點

重點：借助圖形直觀理解與圓有關(guān)的概念，并弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，初步感受圓與直線型圖形的聯(lián)系.

難點：弄清與圓有關(guān)的概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，證明“直徑是一個圓中最長的弦”，建立主動將直線型圖形的有關(guān)知識與圓的有關(guān)知識結(jié)合并加以使用的意識.

二、教學(xué)實施與感悟

1.問題引導(dǎo)

具備怎樣的條件可以確定一個圓？

設(shè)計說明：借助圓的集合定義這個學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)圓的兩個基本要素的同時，引發(fā)“如果缺少一個要素會如何”的思考.

實施反思：實際教學(xué)中，學(xué)生對“確定”的意義不太理解，此時引導(dǎo)學(xué)生回憶：在學(xué)習(xí)“兩點確定一條直線”時“確定”的意義——“有且只有”，從而理解題意是需要畫出的圓有且只有一個.

2.探索活動

問題1：對于圓的兩要素，如果缺少一個要素會如何呢？你如何思考？

圖1

追問1：如圖1，若以已知點O為圓心畫圓，可以畫多少個圓？這些圓有何特征？

追問2：若以2cm為半徑畫圓，可以畫多少個圓？這些圓有何特征？

請學(xué)生畫在學(xué)習(xí)單上.

追問3：同圓或等圓有什么共同特征？

歸納1：同圓或等圓的半徑相等.

設(shè)計說明：①在明確圓的基本要素之后，讓學(xué)生進(jìn)行實際操作、動手畫圖，進(jìn)一步感受這樣的唯一圓，同時為后續(xù)去掉一個條件做準(zhǔn)備，并感受簡單的“分類”思想——去半徑或去圓心，通過自己畫圖，借助圖形直觀理解同圓、等圓、同心圓的概念.②同圓或等圓的共同特征是圓的很多性質(zhì)的大前提，不可忽視.

實施反思：①問題1和追問1均可解決，而對于追問2，學(xué)生只能回答半徑相等這一特點，對于等圓的“互相重合”這一本質(zhì)還無法認(rèn)知，實際教學(xué)中，通過“將兩個半徑相等的圓進(jìn)行平移會發(fā)生什么”來幫助學(xué)生理解等圓的本質(zhì)是“互相重合”，并且為后面介紹等弧做準(zhǔn)備.②同圓或等圓的共同特征的語言描述，學(xué)生是用兩句話概括的，此處的實際教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用一句話概括，并提醒大前提不可缺.與圓有關(guān)的一些性質(zhì)的語言描述對學(xué)生來說是難點，這需要教師慢慢引導(dǎo)，切不可操之過急！

問題2：對于三角形和四邊形，我們主要研究了它們的哪些內(nèi)容？用了哪些方法？根據(jù)你的經(jīng)驗，對于圓，我們可以研究它的哪些內(nèi)容？

設(shè)計說明：①任何事物不會無緣無故存在，都會有它發(fā)生、發(fā)展的道理.圓的相關(guān)元素較多，如果直接告知，一來易混淆，不易理解，二來也不知為何要引入這些元素，即只知其然卻不知其所以然.初中數(shù)學(xué)要慢慢從小學(xué)的先動后思往先思后動轉(zhuǎn)變.因此在對三角形、四邊形研究對象的認(rèn)知基礎(chǔ)上，對研究內(nèi)容進(jìn)行回憶，啟發(fā)學(xué)生對圖形研究方法進(jìn)行思考，提升思維力，真正做到“為思維與方法而教”.只要學(xué)生的回答與三角形、四邊形研究對象有關(guān)，教師都應(yīng)該給予鼓勵，并強(qiáng)調(diào)圖形的研究對象.②下一個問題中啟發(fā)學(xué)生通過類比對圓的研究對象進(jìn)行思考和挖掘.對于圓的研究對象，學(xué)生的回答同樣可以是開放的，無論表達(dá)是否準(zhǔn)確，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向思考.

實施反思：①實際教學(xué)中，學(xué)生的回答多種多樣：三角形的邊、角，三角形中的線段和角，三角形三邊之間的關(guān)系、三角之間的關(guān)系，四邊形的邊、角、對角線，特殊三角形和特殊四邊形的性質(zhì)和判定，還有對稱性等.當(dāng)然，教師引導(dǎo)學(xué)生對研究對象進(jìn)行分類整理，從而對于圓的研究對象引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向思考.②經(jīng)歷前面的共同回憶，借鑒已有研究圖形的經(jīng)驗，實際教學(xué)中，對于圓的研究對象，學(xué)生的回答為：與圓有關(guān)的線，與圓有關(guān)的角，圓的邊，圓的對稱性等.

追問1：（問題探究）與圓有關(guān)的線是什么？在哪里呢？你能在圖2中盡可能多地畫出一些與圓有關(guān)的“線”嗎？你會關(guān)注哪些？（讓學(xué)生盡可能多地畫，并說出所畫的這些“線”的異同）

圖2

圖3

定義歸納：（1）連接圓上任意兩點的線段叫作弦.經(jīng)過圓心的弦叫作直徑.如圖3，弦CD、直徑AB.

追問2：（再次探究）如圖3，直徑與弦有何關(guān)系？

設(shè)計說明：①問題2僅僅是整體上把握我們的研究對象，追問1、追問2則是具體實施：與圓有關(guān)的“線”是怎樣的？在哪里？學(xué)生還是模糊的，因此，要通過學(xué)生動手操作在圓中畫一畫這些“線”，只要能觀察出這些“線”的異同（線段的端點與圓的位置關(guān)系，也有可能畫的是不同的直線與圓的位置關(guān)系），就有了分類標(biāo)準(zhǔn)，將這些“線”先分類，再選擇特殊的研究，自然就理解了什么是弦，以及特殊的弦（位置上過圓心）.此處盡可能讓學(xué)生自己歸納這些定義.②一般研究線段與線段的關(guān)系，包括位置和數(shù)量，所以此處設(shè)計追問2，也是發(fā)展思考問題的全面性.③追問1中的“線”，如果學(xué)生難以畫出“弧”，則再加追問來解決.

實施反思：①實際教學(xué)中，大部分學(xué)生最先畫出的是半徑、直徑，其次是非直徑的弦、切線、與圓相交的直線，也有少部分學(xué)生畫的是射線，但幾乎沒有學(xué)生畫弧，說明學(xué)生的思維還是固定在直線型的線，這和他們的認(rèn)知是有關(guān)系的.所畫的線雜亂無章，此時教師投影，將學(xué)生所畫的線進(jìn)行展示，通過“追問：這些線太多、太亂，你打算如何區(qū)分它們呢”，將這些“線”先分類.有的學(xué)生按線段、射線、直線來分，有的按線段的端點與圓的位置關(guān)系來分，還有的按線與圓的交點個數(shù)來分，最后教師引導(dǎo)按第二種分類.②實際教學(xué)中，證明直徑與弦的數(shù)量關(guān)系（直徑是最長的弦）時，學(xué)生很難想到方法，此時再“追問：直徑一定是最長的嗎？其他的弦一定比直徑短嗎”，引導(dǎo)學(xué)生任取一條非直徑的弦，證明此弦小于直徑即可.而這種方法，為后續(xù)的問題解決提供很大幫助.

追問3：（三次探究）你還能在圖2中再畫出一些與圓有關(guān)的其他類型的“線”嗎？

定義歸納：（2）圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示；

追問4：以點C、D為端點的兩條弧跟誰比較大些，跟誰比較小些？

（3）圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫作半圓.大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，小于半圓的弧叫作劣弧.如圖3，以點C、D為端點的弧有兩條，其中表示同一條優(yōu)弧，為劣??；表示同一個半圓.

（4）能夠互相重合的弧叫作等弧.

（5）弦CD將圓分成兩條圓弧，這兩條弧都稱為弦CD所對的弧.

設(shè)計說明：①學(xué)生比較容易畫出弦、直徑等一些與圓有關(guān)的線，但這都屬于直線型圖形，對于弧，較難想到，故設(shè)計追問3.②對于弧的表示，可以以為例，但此時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：以點C、D為端點的弧有兩條到底表示哪一條呢？這兩條弧有何不同呢？從而說明引出優(yōu)弧、劣弧的必要性，并說明兩種弧的表示方法的不同處.③所有概念盡可能讓學(xué)生自己歸納.

實施反思：①實際教學(xué)中，追問3還是有學(xué)生想不到，于是又設(shè)置一些臺階，如：圓是曲線，與圓有關(guān)的線一定是直的嗎？②實際教學(xué)中，筆者認(rèn)為優(yōu)弧與劣弧的不同是難點.學(xué)生很快能說出以C、D為端點的兩條弧“一大一小”（此處描述不嚴(yán)謹(jǐn)，只是先讓學(xué)生有個直覺上的感受），但是所謂大小一定是比較出來的，以目前知識儲備兩者無法直接比較，于是：“追問：跟誰比較大些，跟誰比較小些？”，從而找到中介——半圓，得到優(yōu)弧、劣弧概念.這種方法既不突兀，又符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

問題3：（問題探究）你能畫出一些與圓有關(guān)的“角”嗎？你會關(guān)注哪些？（讓學(xué)生盡可能多地畫，并說出所畫的這些“角”的異同，即分類標(biāo)準(zhǔn)，如圖4）定義歸納：（1）頂點在圓心的角叫作圓心角.圓心角與圓相交兩點間的弧稱為該圓心角所對的弧.

圖4

（2）頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫作圓周角.

圖5

設(shè)計說明：①這個探究活動與問題2類比進(jìn)行，旨在讓學(xué)生在圓中畫些“角”，只要能觀察出這些“角”的異同（角的要素——頂點和邊與圓的位置關(guān)系），就有了分類標(biāo)準(zhǔn)，將這些“角”先分類，再選擇特殊的研究.②此處將圓周角的定義提前給出，主要是分類討論過程的一個整體性、連貫性的呈現(xiàn)，學(xué)生在考慮與圓有關(guān)的角時，可以一氣呵成考慮，而且這對圓周角和圓心角的定義的形成，也極有好處.③此處盡可能讓學(xué)生自己歸納這些定義.

實施反思：畫與圓有關(guān)的“角”和對所畫的角進(jìn)行分類是難點，實際教學(xué)中，畫全的很少，但也不是不可能，只要能想到借鑒與圓有關(guān)的“線”的分類，還是可以想到關(guān)注角的頂點與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而關(guān)注角的另一元素“邊”與圓的位置關(guān)系進(jìn)行二級分類.當(dāng)然，沒有想到也沒關(guān)系，數(shù)學(xué)思維與方法的教學(xué)從來不是一朝一夕達(dá)成的，只要慢慢積累就一定可以.

3.嘗試解決

典型例題：例1如圖6，點A、B和點C、D分別在以點O為圓心的兩個同心圓上，且∠AOB=∠COD.∠C與∠D相等嗎？為什么？

圖6

例2在圖7中，畫出⊙O的兩條直徑，依次連接這兩條直徑的端點，得到一個四邊形.判斷這個四邊形的形狀，并說明理由.

圖7

圖8

例3如圖8，CD是⊙O的直徑，點E在⊙O上，A為DC的延長線上一點，連接AE，交⊙O于點B，且AB=OC，試判斷∠EOD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

設(shè)計說明：例1是教材中的例題，例2是教材中的練習(xí)加以改編而來的，例3是教材中的“思考與探索”.①這3個例題都是對本節(jié)課所學(xué)圓的有關(guān)知識和基本概念的鞏固，如：圓心角、圓周角、弧、弦、同圓或等圓的半徑相等.②通過這3個例題，引導(dǎo)學(xué)生將直線型圖形的有關(guān)知識與圓的有關(guān)知識結(jié)合起來加以運用.③關(guān)注圓中的隱含條件（半徑相等）和圓中常用輔助線（連接半徑）.④讓學(xué)生知道關(guān)于圓的幾何基本表達(dá).

4.小結(jié)思考

舉例說說“圓的家族”中又新增添了哪些新成員.它們有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎？

舉例說說你收獲了哪些方法.圓與直線型圖形有什么聯(lián)系？

接下來我們將研究圓的什么內(nèi)容呢？

設(shè)計說明：以問題的形式復(fù)習(xí)與圓有關(guān)的基本概念，總結(jié)分類討論、類比的思想方法，并將曲線型的圓與直線型圖形結(jié)合，將知識整合，形成新的知識結(jié)構(gòu).讓學(xué)生自己提出如何研究圓，延續(xù)著開頭對研究對象思考的整體性，為后續(xù)研究做鋪墊，同時增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

三、教學(xué)感悟

對于有很多概念的概念課，絕不僅僅是簡單的“告知概念”，直接灌輸不僅容易記不住，而且容易混淆，一定含有內(nèi)在的思維和方法，當(dāng)自己親身經(jīng)歷概念形成的過程后，很多事物就自然生成了，不是被動灌輸，而是主動探究.同時在此過程中，很自然感受到分類和類比的必要性，不是為了要有數(shù)學(xué)思想方法而硬加進(jìn)去的.

整節(jié)課學(xué)生都是在用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.在幾何學(xué)習(xí)中感悟研究方法，感悟研究圖形的途徑，學(xué)生對所研究的內(nèi)容有了整體把握，不僅有利于學(xué)生主動探究，而且對后續(xù)研究有幫助，正所謂“站得高方能看得遠(yuǎn)”！

“授人以魚”不如“授人以漁”，這是每一個教育工作者的追求.讓思維真正主導(dǎo)課堂，才能彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的本色.