凸顯求解過程，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)*
——以分式方程解的教學(xué)為例

山東省淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室 劉 濤 楊靜霞

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是相對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的被動式、孤立式、機(jī)械式的淺層學(xué)習(xí)而言的，指在淺層學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，由接受式學(xué)習(xí)向探究式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，由低階思維能力向高階思維能力發(fā)展，由簡單直觀型知識結(jié)構(gòu)向拓展抽象型知識結(jié)構(gòu)延伸，實(shí)現(xiàn)原有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)，逐漸完善個人數(shù)學(xué)知識體系，并有效遷移應(yīng)用到真實(shí)情境的過程

一、教學(xué)內(nèi)容分析

1.教材分析

縱觀我國現(xiàn)行各版本教材，對分式方程解的論述都稍顯簡略.如山東教育出版社八年級上冊教材（2014年版）中只提到了“增根”，簡略分析增根產(chǎn)生的原因，進(jìn)而指出得到增根后應(yīng)把它舍去（詳見教材第39頁和第40頁）；人民教育出版社八年級上冊教材（2013年版）論述較為詳盡，特別是對分式方程解的說明，指出分式方程的解首先是去分母后整式方程的解，同時使分式方程分母的值不為0，但對“增根”只字未提（詳見教材第150頁和第151頁）.關(guān)于分式方程有增根、無解、有解的認(rèn)識及根據(jù)解的情況確定分式方程中字母系數(shù)的取值問題，目前已有大量的文獻(xiàn)資料供參考.但在實(shí)際教學(xué)中，如果教師將結(jié)論、做法直接傳授給學(xué)生，學(xué)生就會被動地接受知識，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果事倍功半.

事實(shí)上，關(guān)于分式方程解的討論與分式方程的求解過程是緊密相連的.因此，設(shè)計基于求解過程的教學(xué)，讓學(xué)生在問題情境中充分探究，把握問題的來龍去脈，才能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)效率.本節(jié)課的教學(xué)試圖通過引導(dǎo)學(xué)生對分式方程求解過程的探究，借助問題導(dǎo)向，順通思維，明確本質(zhì)，在不斷將學(xué)習(xí)推向深入的同時做到對分式方程解的融會貫通，并能舉一反三、靈活應(yīng)用.

2.目標(biāo)分析

深刻認(rèn)識分式方程的解的三種情況（有增根、無解、有解），并能根據(jù)解的具體情況確定方程中字母系數(shù)的取值；通過過程探究，溫故知新，提升利用所學(xué)知識解決新問題的能力；養(yǎng)成遵循法則、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

3.重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：深刻認(rèn)識分式方程“有增根”“無解”“有解”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

難點(diǎn)：根據(jù)解的情況確定含字母系數(shù)的分式方程中字母系數(shù)的取值.

二、課堂教學(xué)實(shí)施

1.回顧舊知，激活思維

師：在“分式與分式方程”這一章，我們是如何解分式方程的？主要做法是什么？

生：首先通過去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解這個整式方程，從而得到未知數(shù)的值.

生：得出未知數(shù)的值以后還要進(jìn)行檢驗，如果未知數(shù)的值使得原分式方程的分母為0，那么這樣的解是增根，如果每個解都是增根，則原分式方程無解.

設(shè)計意圖：比起整式方程，分式方程的求解過程變得相對復(fù)雜，特別是解后驗根的環(huán)節(jié)必不可少，本課關(guān)于分式方程有增根、無解、有解的討論，即是建立在對求解過程深入剖析的基礎(chǔ)之上，即只有學(xué)生明確了分式方程求解的全過程，才能根據(jù)解的情況逐個尋找問題解決的突破口.此舉既讓學(xué)生回顧了解分式方程的完整步驟，又為后面的問題探究做足鋪墊.

2.問題探究，激疑答惑

問題1：使分式的分母為0的根一定是分式方程的增根嗎？

例：你能確定下面分式方程的增根嗎？你是如何確定的？

生：我認(rèn)為第一個方程的增根為“x=3”，第二個方程的增根為“x=1”或“x=-1”.

師：你是如何這么快就得到答案的？

生：通過令分式方程的分母等于0，便可快速得出.

師：請大家通過解分式方程得出答案.

生：通過實(shí)際解方程，我們求得兩個方程的增根分別為“x=3”，“x=1”.

師：第二個分式方程的增根與有些同學(xué)的猜想不一樣，為何只有“x=1”這一個增根，而未出現(xiàn)“x=-1”這個增根？請大家思考，分式方程的增根應(yīng)具備怎樣的特點(diǎn)？

生：在第二個分式方程中，雖然“x=1”和“x=-1”都使分式方程的分母為0，但僅僅具備這一點(diǎn)是不夠的，在實(shí)際的求解中，通過解分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程“x+1=2x”，只能得到“x=1”.

生：作為分式方程的增根，它要滿足兩個條件，既是分式方程去分母后轉(zhuǎn)化成的整式方程的解，又使得分式方程分母的值為0.

設(shè)計意圖：許多學(xué)生對增根存在著錯誤的認(rèn)識，認(rèn)為增根就是使得分式方程分母的值等于0的未知數(shù)的取值，通過“反襯對比”讓學(xué)生意識到增根來源于分式方程的求解過程之中，使分式方程分母的值等于0只是增根的一個特征.同時，通過對增根的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到探究求解過程對問題解決的重要性，進(jìn)而培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

問題2：分式方程有增根等同于無解嗎？

例：解下面兩個分式方程，從解的情況來看，你有何發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生先獨(dú)立求解，然后小組內(nèi)交流看法.

生1：從解的情況來看，相同點(diǎn)是這兩個分式方程都無解，解方程（1）得到“0x=13”，顯然是無解的，解方程（2）得“x=-2”是增根，原方程也無解.

生2：不同的地方在于，雖然兩個方程都無解，但第一個方程無增根，第二個方程有增根.

師：說得非常好！通過剛才的探究，你能說說分式方程的增根與無解之間有何關(guān)系嗎？

生3：對分式方程來講，增根導(dǎo)致了無解，但無解并不一定意味著有增根.

設(shè)計意圖：這是對無解進(jìn)行初步探究，主要圍繞無解與增根之間的關(guān)系展開，讓學(xué)生明白分式方程無解并非只有有增根這一種情況，對思維的發(fā)散起到至關(guān)重要的作用.

師：結(jié)合剛才的探究啟發(fā)，我們再來解決下面的問題.

問題3：知道分式方程無解，你能確定字母系數(shù)的值嗎？

例：（1）若關(guān)于x的方程無解，則m的取值為_________.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生容易將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分別得到：

①x=m+1；

②（1-m）x=2.

但在進(jìn)一步求解m的值時，有的學(xué)生依然將無解等同于方程只有增根這一種情況，即令x的值分別為4，2，從而得出m的值分別為3，0.

師：除了根據(jù)方程產(chǎn)生增根這種情況求解m的值，你還有別的想法嗎？

生：本問題的方程（2）中，m的取值還可能為1，即當(dāng)m=1時，原分式方程也無解.

師：很好！那么問題（1）中m的值是否存在多解？（1）與（2）的區(qū)別在哪里？

生：我們將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，發(fā)現(xiàn)①式中無論m如何取值，都能得到相應(yīng)x的值，而②式中則不然，當(dāng)m=1時，這個整式方程無解.

師：根據(jù)前面的分析，你能總結(jié)出由含字母系數(shù)的分式方程無解，應(yīng)如何來確定字母系數(shù)的取值嗎？

生：可以從兩個方面，一是從分式方程產(chǎn)生增根這個角度，二是從分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無解這個角度.

設(shè)計意圖：問題3是問題2的順承與延拓，僅僅借助問題2，學(xué)生對分式方程無解的認(rèn)識并不到位，通過將分式方程求解過程中轉(zhuǎn)化得來的整式方程擺在一個至關(guān)重要的位置，凸顯了對求解過程進(jìn)行深層剖析的思維路線.同時，本例中兩個轉(zhuǎn)化后的整式方程特點(diǎn)不一，形成鮮明對比，為進(jìn)一步探究思考指明了方向.通過此環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對分式方程無解有了較為全面的認(rèn)識，并能用來確定字母系數(shù)的取值.

師：基于對無解的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該如何認(rèn)識分式方程有解呢？請以問題3中的兩個分式方程有解為例，確定m的取值.

生：問題3中的分式方程有解時，我們得到（1）中m的取值范圍是“m≠3”，（2）中m的取值范圍是“m≠1”或“m≠0”.

師：還有補(bǔ)充或問題嗎？

生：我認(rèn)為（2）中m的取值范圍應(yīng)該是“m≠1”且“m≠0”.

師：區(qū)別在哪里？

生：“或”意味著只要滿足一個取值要求即可，而“且”則是兩個取值要求必須同時滿足.

師：對！大家今后考慮問題一定要全面，用語一定要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn).

設(shè)計意圖：對分式方程來講，有解是無解的逆向思維，因此完全可以放手給學(xué)生，讓其獨(dú)立完成對有解的探究學(xué)習(xí).當(dāng)分式方程有解時，分式方程無增根且分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程本身有解，這時，得到的m的取值應(yīng)該是一個范圍而不再是確定的數(shù)值，學(xué)生可以從前后取值情況獲得體驗.同時，規(guī)范了“或”“且”這兩個邏輯用語的使用，利于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)這一思維習(xí)慣的養(yǎng)成.

3.對應(yīng)訓(xùn)練，辨析本質(zhì)

問題4：你能由分式方程解的情況，得到字母系數(shù)的取值嗎？

例：已知關(guān)于x的方程，則a取何值時，

（1）分式方程有增根？

（2）分式方程無解？

（3）分式方程有解？

設(shè)計意圖：圍繞一個分式方程，對有增根、無解、有解三種情況“并聯(lián)”討論，有利于在概念的比較辨析中鞏固所學(xué)知識，滲透分類討論思想，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

4.當(dāng)堂總結(jié)，反思提高

（1）經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對分式方程有增根、無解、有解，你有了哪些新的認(rèn)識？如何根據(jù)分式方程解的情況，確定分式方程中某些字母的取值？

（2）對分式方程有增根、無解、有解的討論離不開對求解過程的剖析，這對你今后的學(xué)習(xí)有何啟發(fā)？

設(shè)計意圖：一是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本課的結(jié)構(gòu)框架，形成全面、系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)與思維體系；二是啟發(fā)學(xué)生回顧通過不斷深究求解過程從而解決疑難問題的做法，遷移了學(xué)習(xí)方法.

5.布置作業(yè)，拓展訓(xùn)練

設(shè)計意圖：兩道作業(yè)題，既有對本課所學(xué)知識的進(jìn)一步鞏固，又有一定的拓展推廣.第（1）題要求學(xué)生先猜想增根，進(jìn)而求出具體的m的值，存在多解的情況.第（2）題中“解為正數(shù)”即分式方程是有解的，而且解為正數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為不等式，從而解決問題.

三、教后反思與啟示

1.剖析求解過程，讓疑難問題的解答變得有章可循

以本課為例，在對分式方程進(jìn)行求解時，有的學(xué)生僅僅注意到增根使得分式方程分母的值為0，卻忽視了其同時必須是分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程的解；在對分式方程無解進(jìn)行討論時，有些學(xué)生僅僅注意到有增根這種情況，卻忽視了分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程本身也可能存在無解的情況.究其原因，學(xué)生對分式方程的求解過程分類討論不全面，不能完全站在客觀、理性的角度去分析問題.如果把整個求解過程比作一根長繩，對其解的情況的討論就好比順藤摸瓜式地去探尋繩子上每一個節(jié)點(diǎn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，按部就班地對求解過程進(jìn)行細(xì)致剖析，可以快捷地找到問題的癥結(jié)所在，為一些疑難問題的解決提供了可以遵循的思維路線，使得學(xué)生的思維有了著陸點(diǎn)，從而大大地提升了解題的效率.

2.強(qiáng)化過程教學(xué)，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效手段

深度是需要有過程保證的，無法想象一個簡略的學(xué)習(xí)過程會是深度學(xué)習(xí)，因此在設(shè)計深度學(xué)習(xí)的時候，要充分豐富知識的發(fā)生過程，以讓學(xué)生的思維有足夠的空間.以分式方程的求解為例，有的學(xué)生能比較熟練地求得方程的解，但根據(jù)解的情況討論字母系數(shù)的取值時不知如何下手.學(xué)生在解方程時確實(shí)是一步步按照規(guī)范要求去做，卻為何仍然不能舉一反三，做到靈活應(yīng)用？究其原因，教師教的往往只是解分式方程的“一般套路”，學(xué)生學(xué)到的也只是一個固定模式，對求解過程中的每一步鮮有深入的考究.以問題3的（2）為例，在解分式方程的第一步去分母時就要考慮“x-2”的值可能等于0的問題，這便是增根的由來；同時，在將整式方程“（1-m）x=2”化為“”時首先要考慮“1-m”的值可能等于0的問題，這便是整式方程無解產(chǎn)生的地方，同時導(dǎo)致分式方程無解.實(shí)踐證明，設(shè)計基于過程體驗與探究的教學(xué)，注重問題導(dǎo)向，強(qiáng)化遷移意識，通過豐富的變式實(shí)例，有效地促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí).

3.通過教學(xué)重心下移，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)過程的由空到實(shí)

分式方程解的有關(guān)問題，廣泛存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)之中，然而如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，進(jìn)而最大限度地解決學(xué)生學(xué)習(xí)的困難卻是一個不小的挑戰(zhàn).為了使更多的學(xué)生有所收獲，就要讓教學(xué)重心下移，把思考的任務(wù)下放給學(xué)生，充分給予學(xué)生思考的空間與展示自我的機(jī)會，拋開問題本身的繁雜抽象，從充實(shí)強(qiáng)化具體的過程教學(xué)入手，促使學(xué)生在不斷豐富的過程中勇敢探究，學(xué)習(xí)過程便實(shí)現(xiàn)了由空到實(shí)的目的.本節(jié)課在探究對增根的認(rèn)識時，先讓學(xué)生從大膽猜想開始，在初步建立認(rèn)知沖突后進(jìn)行實(shí)際求解驗證，最后對主要結(jié)論進(jìn)行總結(jié)升華，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了教學(xué)過程的豐實(shí)與學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.