構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)
——以“實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”為例

浙江省臨海市臺(tái)州學(xué)院附屬中學(xué) 徐 霞

學(xué)以致用是學(xué)習(xí)的最終目的，追求知識(shí)本身也在于學(xué)以致用.因此，將課本知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活是教育工作者課堂教學(xué)的責(zé)任.我們知道，在初中數(shù)學(xué)中，用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，特別是解決一些與經(jīng)濟(jì)生活相關(guān)的問(wèn)題，這是學(xué)以致用的具體呈現(xiàn)形式.在課堂上讓學(xué)生對(duì)生活知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建必要的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，這是解決實(shí)際問(wèn)題的前提，只有掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富內(nèi)涵，才能將知識(shí)運(yùn)用自如.如在實(shí)際生活中，可以將問(wèn)題情境轉(zhuǎn)換為函數(shù)關(guān)系式，可以思考這個(gè)函數(shù)是什么函數(shù)，問(wèn)題情境可能隸屬于什么問(wèn)題，解決這類問(wèn)題就是發(fā)展學(xué)生的什么核心素養(yǎng).

一、從構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系出發(fā)，夯實(shí)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)

課堂教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要環(huán)節(jié).在實(shí)際生活中，倘若將問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，那么這個(gè)問(wèn)題就屬于二次函數(shù)方面的問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將情境轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).從實(shí)際情境中提煉出自變量x的取值，讓實(shí)際問(wèn)題有意義（即定義域）.要解決二次函數(shù)的某些特定值問(wèn)題，如最值問(wèn)題，就必須考慮自變量x的取值范圍.

例1如圖1，有長(zhǎng)為50m的漁網(wǎng)，一面利用池塘堤岸（池塘堤岸最大可用長(zhǎng)度為28m），圍成一個(gè)養(yǎng)殖魚(yú)苗的長(zhǎng)方形網(wǎng)箱.設(shè)網(wǎng)箱的寬為xm，面積為Sm2.

圖1

（1）列出S與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果圍成的養(yǎng)殖魚(yú)苗的網(wǎng)箱面積為300m2，x是多少？

（3）能圍成面積是400m2的網(wǎng)箱嗎？請(qǐng)你做一個(gè)說(shuō)明.

案例剖析：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將情境轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).這是問(wèn)題（1）必須解決的.由圖1可知網(wǎng)箱的寬為xm，則其長(zhǎng)為（50-2x）m，則S與x的函數(shù)關(guān)系式是：S=（50-2x）x，也就是S=-2x2＋50x.

要解決問(wèn)題（2），就需要從實(shí)際情境中提煉出自變量x的取值，讓實(shí)際問(wèn)題有意義（即定義域）.由-2x2＋50x=300，解得x1=10，x2=15.這兩個(gè)值是否都符合情境呢？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)必須滿足0＜50-2x≤28，則11≤x＜25.由此可知，只有x2=15滿足題意.

第（3）問(wèn)可以這樣解決：S=-2x2＋50x=-2（x2-25x）.則當(dāng)x=（在11≤x＜25范圍內(nèi)）時(shí)，網(wǎng)箱面積最大，為m2，故所圍成的網(wǎng)箱的面積不可能比m2大，得不到400m2的網(wǎng)箱.當(dāng)然，也可以采用假設(shè)法，假設(shè)所圍成的網(wǎng)箱的面積能是400m2，則S=-2x2＋50x=400，得出x無(wú)實(shí)數(shù)解，故假設(shè)不成立.

案例思考：通過(guò)對(duì)實(shí)際情境的剖析不難發(fā)現(xiàn)，利用函數(shù)知識(shí)是解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效方法.案例可以啟迪學(xué)生的心智，二次函數(shù)是建立在二元一次方程的基礎(chǔ)之上的，二次函數(shù)是對(duì)二元一次方程知識(shí)的拓展與提升，沒(méi)有很好地整合二元一次方程的求解，沒(méi)有因式分解作為前提，利用函數(shù)關(guān)系去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題只能是空中樓閣.因此在課堂上教會(huì)學(xué)生解決這種實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

二、從構(gòu)建具體的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，深化學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程

學(xué)生對(duì)生活情境的數(shù)學(xué)解讀往往只停留在簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系上，課堂教學(xué)需要讓他們進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化.在例1的第（3）問(wèn)中，我們可以利用二次函數(shù)的最值解決實(shí)際問(wèn)題.當(dāng)然，在解決此類問(wèn)題時(shí)，還可以恰當(dāng)?shù)匕褜?shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)曲線上，由抽象情境轉(zhuǎn)化為具體的二次函數(shù)圖像，這就是構(gòu)建具體的數(shù)學(xué)模型.另一方面，在得出最值時(shí)，也要確定二次函數(shù)圖像的最值是否與實(shí)際情境的最值一致.

例2一枚乒乓球在1m高的乒乓球臺(tái)邊緣彈起落地，已知該乒乓球在空中的運(yùn)動(dòng)路線為圖2所示的坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的二次函數(shù)的圖像，其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2.在乒乓球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，乒乓球彈起的最高處距地面，著地點(diǎn)距臺(tái)柱40cm.運(yùn)動(dòng)員在乒乓球距地面高度為50cm以前必須用球拍擊中球，否則就會(huì)判定失誤.

（1）寫(xiě)出乒乓球運(yùn)動(dòng)曲線的解析式；

（2）在某次乒乓球的彈跳中，測(cè)得乒乓球在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的曲線，且乒乓球距臺(tái)柱的水平距離為37cm，問(wèn)：此次球拍擊球會(huì)不會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

圖2

案例剖析：?jiǎn)栴}情境已經(jīng)數(shù)學(xué)模型化，需要引導(dǎo)學(xué)生將抽象的模型轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù).在題干給出的直角坐標(biāo)系中，可以得出這樣的信息：圖像是二次函數(shù)曲線，有三點(diǎn)較為明確，即起點(diǎn)、最高點(diǎn)（只能確定縱點(diǎn)標(biāo)）和著地點(diǎn).

問(wèn)題（1）即從二次函數(shù)曲線和明確的點(diǎn)出發(fā)，假設(shè)二次函數(shù)為y=ax2+bx+c，已知起點(diǎn)O（0，0）、最高點(diǎn)和著地點(diǎn)（10，-100），然后將起點(diǎn)和著地點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式中，再根據(jù)最大值，可以得到兩組數(shù)值：b=-5，c=0.

問(wèn)題（2）屬于代值計(jì)算，乒乓球距臺(tái)柱的水平距離為37cm，即此處的橫坐標(biāo)為7，則縱坐標(biāo)是y=-2×72+10×7=-28，因此，此次球拍擊球不會(huì)失誤.

當(dāng)然，可以將y=-50代入y=-2x2+10x計(jì)算x的值，這樣就將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程了.

案例思考：本案例是與二次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用情境.情境設(shè)置包括圖像信息問(wèn)題和以現(xiàn)實(shí)生活為載體的應(yīng)用問(wèn)題.在知識(shí)應(yīng)用方面仍然和例1相似，更多的是將二次函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的關(guān)系式，是對(duì)數(shù)形轉(zhuǎn)換這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的解讀.解決問(wèn)題時(shí)，可以發(fā)散思維，避重就輕.也可以利用模式建立模型，比如說(shuō)，二次函數(shù)的最大值為，這沒(méi)有必要再次推導(dǎo).知識(shí)是融會(huì)貫通的，這就需要教師在課堂教學(xué)中完整構(gòu)建知識(shí)體系，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷整合.

三、從課堂知識(shí)的具體應(yīng)用出發(fā)，反思學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程

二次函數(shù)的基本形式，可以通過(guò)二次函數(shù)的圖像、最值、對(duì)稱軸等性質(zhì)來(lái)體現(xiàn)，這是用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ).作為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生駕馭知識(shí)的綜合應(yīng)用能力還是不夠火候，在這里列舉兩個(gè)案例，旨在讓學(xué)生溫故而知新，將所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步整合、應(yīng)用.

另一方面，從課堂教學(xué)的角度來(lái)看，兩個(gè)案例中問(wèn)題由學(xué)生探究思考更合理，教師可以剖析問(wèn)題情境，例1可以采用學(xué)生分組討論的形式，例2可以讓學(xué)生試著自主探究.這樣就是生活情境轉(zhuǎn)化為課堂練習(xí)，讓課堂教學(xué)更有效.通過(guò)學(xué)生準(zhǔn)確分析情境問(wèn)題并寫(xiě)出二次函數(shù)關(guān)系式，就能提升學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力和分析問(wèn)題的能力.倘若能夠在確定自變量的取值范圍和函數(shù)的最值時(shí)準(zhǔn)確解答更復(fù)雜的問(wèn)題，就達(dá)成了數(shù)量關(guān)系分析的難點(diǎn)突破，不但能夠讓學(xué)生準(zhǔn)確應(yīng)用單一的知識(shí)解決情境問(wèn)題，而且能夠讓學(xué)生將知識(shí)整合起來(lái)自如應(yīng)用.

總之，借助二次函數(shù)的關(guān)系式的性質(zhì)來(lái)研究生活中的實(shí)際問(wèn)題，好像有些濃墨重彩，情境頗有新意，對(duì)思維創(chuàng)新能力的要求很高，但是，只要在課堂上從構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系出發(fā)，夯實(shí)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)，只要在課堂上從構(gòu)建具體的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，深化學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，那么，二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題只能是一種數(shù)學(xué)情境，一種數(shù)學(xué)知識(shí)的“中端”，可以自然而然快速突破.