主題聚焦?jié)u次展開 微型專題精準(zhǔn)備考
——以綜合題“直線表達(dá)式”的求解為例

■劉東升 王俊蓉

最近一次跨地區(qū)（江陰市與海安市）初中數(shù)學(xué)教研活動上，我們把研討主題確定為中考微專題，讓專題復(fù)習(xí)的主題更加聚焦。由于承辦地安排在江陰，為了貼近無錫地區(qū)中考風(fēng)格，我們共同打磨研發(fā)了一節(jié)關(guān)注綜合題中“直線表達(dá)式”的求解專題復(fù)習(xí)課。本文先簡要整理該課的教學(xué)設(shè)計，再給出教學(xué)立意的相關(guān)闡釋，以供分享和研討。

一、綜合題中“直線表達(dá)式”的求解專題復(fù)習(xí)課

活動1 自主先練，開課交流。

問題1 已知，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b經(jīng)過A，B兩點。

（1）若點A（6，0），B（0，4），求k，b的值；

（4）若點A（35 ，5），B（0，-1），求k，b的值。

教學(xué)組織：這組練習(xí)可安排學(xué)生課前完成，開課之后就進(jìn)行板演或投影，引導(dǎo)學(xué)生互評解答。

設(shè)計意圖：已知兩點坐標(biāo)求解直線表達(dá)式，考查的是基本運算能力。課前安排學(xué)生先練，節(jié)約了課堂復(fù)習(xí)時間，并且這4個運算求得的結(jié)果，分別對應(yīng)著本課后續(xù)一些綜合題中的解答，能讓學(xué)生在后續(xù)復(fù)習(xí)活動中把更多的精力用在思路分析與解法優(yōu)化上。

活動2 旋轉(zhuǎn)變換后求正比例函數(shù)的表達(dá)式。

問題2 已知，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（2， 3）。在射線OA上任取一點P（m，n），其中m，n為正實數(shù)，過點P作PH⊥x軸，垂足為H。

（1）直接寫出直線OA的表達(dá)式，并用含m的式子表示n。

（2）將PH繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°到PQ的位置，點H與點Q為旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點。求直線OQ對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

教學(xué)組織：安排學(xué)生先根據(jù)題意構(gòu)造草圖分析，并先解決第（1）問，處理第（2）問時分析Q點的坐標(biāo)。學(xué)生可能會構(gòu)造圖1進(jìn)行分析。可安排學(xué)生上臺講解思路。在此基礎(chǔ)上跟進(jìn)一道變式習(xí)題。

圖1

圖2

教學(xué)組織：安排學(xué)生先畫圖分析，解題的關(guān)鍵是分析出旋轉(zhuǎn)后直線上某個特殊點的坐標(biāo)，然后就可確定直線表達(dá)式。

設(shè)計意圖：這個活動及變式的立意主要是讓學(xué)生感受在平面直角坐標(biāo)系中分析旋轉(zhuǎn)變換后某點的坐標(biāo)，是確定過這點與原點的直線表達(dá)式的關(guān)鍵。

活動3 求綜合題中直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式

問題3 已知，如圖3，一次函數(shù)y=kx-1的圖像經(jīng)過點A（3 5 ，m）（m＞0），與y軸交于點B，點C在線段AB上，且BC=2AC，過點C作x軸的垂線，垂足為點D。

（1）當(dāng)CD=2時，求直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）小江設(shè)計一個問題：若AC=CD，求直線AB與x軸交點的坐標(biāo)。你覺得“小江問題”該如何解決？請思考后先在小組內(nèi)交流大致思路或解題方向，再演算求解。

圖3

教學(xué)組織：（PPT漸次呈現(xiàn)）教師提問，“你能讀出哪些信息？”學(xué)生在小組內(nèi)交流分享個人理解，然后PPT再漸次呈現(xiàn)后續(xù)兩個小問。在學(xué)生獨立思考演算解答之后，再安排學(xué)生上臺講解。

設(shè)計意圖：這個題組改編自無錫地區(qū)中考綜合題，將其中關(guān)鍵步驟分解、重組成這一問題串，以幫助學(xué)生訓(xùn)練中考較難題中的關(guān)鍵一步。

活動4 求“位置不定”的直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知原點O、點A（a，0）、B（0，b）、C（6，4）四點在同一個圓上，其中a，b為正實數(shù)。

教學(xué)組織：先PPT呈現(xiàn)，請設(shè)計一個問題并求解，然后小組內(nèi)交流。

挑戰(zhàn)：連接AB，AC，BC，當(dāng)△ABC與△AOB的面積相等時，求直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會容易想到四邊形AOBC是矩形的情況（如圖4），這時可求出直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（如圖5）是作線段OC的垂直平分線，與x，y軸的交點就是符合要求的點A，B。此時直線AB對應(yīng)

圖4

圖5

課堂小結(jié)：

1.在綜合題中涉及求直線對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式，你覺得有哪些經(jīng)驗值得分享？小組內(nèi)分享，可以結(jié)合本課中提到的一些題例分享各自的經(jīng)驗。

2.這節(jié)課主要復(fù)習(xí)綜合題中涉及一次函數(shù)表達(dá)式的求解；無錫考卷中的一些中考真題有哪些呢？布置三道作業(yè)，2017年無錫中考試卷第25題，2018年的第26題、第28題。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

第一，專題突破，讓復(fù)習(xí)主題更加聚焦。

就我們在學(xué)校聽課所見，多數(shù)中考專題復(fù)習(xí)課仍然沿襲著“開放題”“規(guī)律探究題”“閱讀理解問題”“運動變化問題”等專題分類方式。以上述專題分類，只是從試題的“外形”上進(jìn)行劃分，似乎有一定的道理，但從具體來看，這些“形似”的專題放在一起，很可能它們涉及的知識點、解題策略卻是“各不相同”的。這樣的專題復(fù)習(xí)課難免會“七零八碎”，復(fù)習(xí)效益難有提升。我們提出中考微專題的復(fù)習(xí)追求，比如上文課例中主題關(guān)注綜合題中的直線表達(dá)式的求解，就是從“形似”走向“神似”，將那些解題策略相近、涉及知識點相近的習(xí)題聚集在一起，串珠成線，提煉主線，讓復(fù)習(xí)主題更加聚焦，追求專題復(fù)習(xí)效益的顯著提升。

第二，貼近中考，讓復(fù)習(xí)選題更加精準(zhǔn)。

從上文課例中的選題可以看出，我們在不同“活動”下預(yù)設(shè)的系列問題都改編自無錫地區(qū)的中考真題，這也是最后布置作業(yè)時提到這些考題的原因。目前江蘇的中考都是各大市獨立命題，每個地區(qū)中考試卷都有明顯的地區(qū)風(fēng)格或“考查喜好”。我們研究了近三年無錫中考最后三道綜合題，在這些題中都涉及確定直線表達(dá)式的考查要求，這也是我們研發(fā)這節(jié)微專題的主要用意。中考備考，時間緊、任務(wù)重，如何精準(zhǔn)備考、高效備考，我們認(rèn)為貼近地區(qū)中考命題風(fēng)格的選題復(fù)習(xí)才是精準(zhǔn)有效的。那種盲目選取外地“無關(guān)”考題的所謂鏈接中考是要不得的，浪費學(xué)生寶貴的復(fù)習(xí)時間，得不償失。

第三，預(yù)設(shè)鋪墊，讓較難問題漸次展開。

由于本課選題的來源是近幾年無錫中考綜合題，雖然進(jìn)行了改編、刪減，聚焦了綜合題中直線表達(dá)式的確定，但是課堂教學(xué)時間還是偏緊，如果只是呈現(xiàn)“原生態(tài)”的考題，學(xué)生就更難在一節(jié)課中突破幾個較難問題。所以，我們在課前就針對這些較難題預(yù)設(shè)了鋪墊式問題，比如“活動1”就是后續(xù)三個活動的鋪墊，讓學(xué)生課前先把一些基本運算都解決掉；再比如“活動3”中綜合題本來要分類討論，但我們通過開放式設(shè)問、跟進(jìn)追問，在較難題呈現(xiàn)前已有了必要的鋪墊，比較優(yōu)秀的學(xué)生就能循著前面的問題，較順利地獲得思路和解答，既節(jié)約了課堂教學(xué)時間，也給了學(xué)生求解較難題的思路啟示，這是通過“學(xué)習(xí)解題”達(dá)到幫助學(xué)生“學(xué)會解題”的一種追求。