共軛解析函數(shù)的一個求法的注記*

黃 煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學院, 陜西 寶雞 721013)

0 引 言

古老的復變函數(shù)起源于19世紀，從柯西起至今有150多年的歷史，已發(fā)展出許多新分支、新領(lǐng)域和新方法，如今復變函數(shù)成為數(shù)學中不可或缺的重要組成部分．解析函數(shù)是復變函數(shù)論起初所研究的主要對象(見文[1])．文獻[2]提出來共軛解析函數(shù)概念，與解析函數(shù)對稱．解析函數(shù)所能解決的所有問題共軛解析函數(shù)都可以用來解決，共軛解析函數(shù)比解析函數(shù)更直觀方便．不少文獻[3-4]已對共軛解析函數(shù)進行了研究，本文在前面研究的基礎(chǔ)上．給出了共軛解析函數(shù)充要條件及求共軛解析函數(shù)一個新方法．

1 相關(guān)定義

若f(z)在z0的δ鄰域(z0,δ)內(nèi)可導,稱z0為解析點，否則稱為奇點 ．

若f(z)在D內(nèi)處處解析，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析.

這時稱函數(shù)w=f(z),z∈D于z點共軛可導或共軛可微[2]．

2 結(jié) 論

定理2設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)共軛解析，則：

3 定理的證明

為了完成定理的證明需要下面的引理：

引理3.1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則其形式導數(shù)為

證明：

設(shè)f=u+iv,則Δf=f(z)-f(z0),Δf=Δu+iΔv.

3.1 定理1的證明

3.2 定理2的證明

因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，故

=u(z,0)+iv(z,0).

4 應(yīng) 用

例4.1已知解析函數(shù)f(z)實部為u(x,y)=x3-3xy2,求f(z).

由線積分法可得：

=3x2y-y3+C.

故：f(z)=u+iv=x3-3xy2+i(3x2y-y3+C).

令x=z,y=0,得

f(z)=(x+iy)3+iC=z3+iC.

例4.2已知解析函數(shù)f(z)的實部為u(x,y)=x3+6x2y-3xy2-2y3,且f(0)=0, 求f(z).

又因為函數(shù)f(z)解析，滿足Cauchy-Riemann方程，由全微分法，得：

=-(6x2-6xy-6y2)dx+(3x2+12xy-3y2)dy,

則

=(3x2y+6xy2-2x3)+(3x2y+6xy2-y3)

-(3x2y+6xy2)+c

=3x2y+6xy2-2x3-y3+c.

故f(z)=(x3+6x2y-3xy2-2y3)+i(3x2y

+6xy2-2x3-y3+c)

=(x3-3xy2)+i(3x2-y3)

+2[(3x2-y3)+i(3xy2-x3)]+ic.

令x=z,y=0,得f(z)=z3-2iz3+ic,

因為f(0)=0,則c=0.于是

f(x)=cosx+isinx=eix=eiz.