磁場耦合雙梁壓電振動俘能器響應(yīng)特性研究*

張旭輝, 左 萌, 譚厚志, 樊紅衛(wèi)

(1.西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,陜西 西安 710054；2.陜西省煤礦機(jī)電設(shè)備智能檢測與健康維護(hù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710054)

0 引 言

隨著微電子制造技術(shù)和無線傳感技術(shù)的發(fā)展，微電子設(shè)備、無線傳感器及各種新型電子產(chǎn)品的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，電子設(shè)備能量供應(yīng)問題日益突出[1,2]。傳統(tǒng)電池對于微型電子設(shè)備而言體積較大，供能時(shí)間短，能量有限[3]。環(huán)境中的機(jī)械振動最為常見且受環(huán)境因素影響較小[4]，通過振動能量轉(zhuǎn)換供能替代傳統(tǒng)電池具有廣闊應(yīng)用前景。近年來，振動能量收集技術(shù)發(fā)展迅速，成為了當(dāng)前熱門的研究領(lǐng)域之一[5]。壓電式振動能量采集器具有結(jié)構(gòu)簡單、能量轉(zhuǎn)換密度大、與微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS)集成容易等優(yōu)點(diǎn)，是目前應(yīng)用最廣泛的振動能量收集方式[6,7]。

振動能量收集系統(tǒng)諧振頻率與外界振動頻率相同時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)能量的收集轉(zhuǎn)換效率最高[8]。典型的壓電梁式能量收集器屬于線性諧振系統(tǒng)，難以與實(shí)際振源頻率相匹配，能量轉(zhuǎn)換效率低，因此拓寬振動能量收集系統(tǒng)的諧振頻帶范圍，提高能量轉(zhuǎn)換效率成為主要研究目標(biāo)之一[9,10]。朱莉婭等人[11]提出一種自調(diào)諧寬頻帶壓電振動發(fā)電機(jī)，利用同步開關(guān)控制電路實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)頻率與實(shí)際振源頻率相匹配，頻率調(diào)節(jié)相對變化率達(dá)到5.1 %。本課題組前期提出一種線形—拱形組合梁結(jié)構(gòu)俘能器[12]實(shí)現(xiàn)了多方向與自調(diào)諧俘能，提高了俘能效率。吳義鵬等人[13]提出共振頻率可調(diào)式非線性俘能器，通過調(diào)節(jié)磁間距能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)諧振頻率與實(shí)際振源頻率的匹配。王光慶等人[14]提出一種帶有彈性放大器的懸臂梁式俘能器，通過分析俘能器性能表明彈性放大器諧振頻率與壓電梁諧振頻率相近時(shí)，能夠拓寬俘能頻帶。岳喜海等人[15]設(shè)計(jì)了一種多向?qū)掝l磁電式俘能器，借助磁場耦合實(shí)現(xiàn)多向?qū)掝l振動俘能。Mann B P等人[16]設(shè)計(jì)了一種具有雙穩(wěn)態(tài)特性的非線性俘能器，利用磁體間相互作用來拓寬能量采集器的頻率帶寬。周生喜等人[17]提出一種磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量收集器，研究結(jié)果表明，該雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)拓寬了有效頻帶，增大了輸出電壓。Andò B等人[18]提出了一種雙穩(wěn)態(tài)非線性振動俘能器,利用梁在兩種穩(wěn)態(tài)之間的轉(zhuǎn)換沖擊壓電元件實(shí)現(xiàn)能量轉(zhuǎn)換。研究表明，利用雙穩(wěn)態(tài)特性能夠提高俘能器性能。姚丙盟等人[19]對雙穩(wěn)態(tài)能量收集系統(tǒng)進(jìn)行研究，結(jié)果表明系統(tǒng)在合適的磁鐵距離下具有雙穩(wěn)態(tài)特性，這種特性拓寬了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)范圍，使系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率提高。

本文以雙梁—永磁體結(jié)構(gòu)的壓電振動俘能器為研究對象，基于磁偶極子理論建立磁力表達(dá)式，構(gòu)建系統(tǒng)動力學(xué)模型并進(jìn)行數(shù)值仿真，實(shí)驗(yàn)研究耦合磁場條件下懸臂梁響應(yīng)特性以及水平磁間距對系統(tǒng)輸出的影響規(guī)律。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建模及數(shù)值求解

1.1 模型建立

如圖1所示為雙懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電振動俘能裝置。

圖1 雙梁壓電振動俘能裝置

懸臂梁1與懸臂梁2分別固定在基座上，永磁體質(zhì)量塊位于懸臂梁自由端，壓電材料分別粘附于兩個懸臂梁上表面距離自由端10 mm位置。雙梁長度不等，因此諧振頻率不同，當(dāng)其中任一個梁諧振頻率與外界激勵頻率相匹配時(shí)將產(chǎn)生大幅值運(yùn)動，系統(tǒng)中的磁斥力進(jìn)一步增大運(yùn)動幅值，拓寬大幅運(yùn)動頻帶范圍，另一個梁受耦合磁場影響也將產(chǎn)生大幅運(yùn)動，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)俘能頻帶范圍的拓寬。

1.2 永磁體非線性磁力建模

雙梁壓電振動俘能裝置由兩個長度不等的懸臂梁組成，由于引入磁場因素，首先對磁場部分建立非線性磁力模型，如圖2所示。在懸臂梁上下擺動的過程中，永磁體的實(shí)際運(yùn)動會以懸臂梁固定端為中心與水平面偏轉(zhuǎn)一定的角度，由于偏轉(zhuǎn)角度較小，在建模過程中忽略永磁體實(shí)際偏轉(zhuǎn)角度，視為上下平行運(yùn)動。

圖2 磁力分析模型

為便于非線性磁力計(jì)算，將結(jié)構(gòu)中的永磁體近似看作是磁矩分別為m1,m2的磁偶極子[20]，其相對靜止時(shí)的平衡位置的位移分別為x1,x2。磁矩m1,m2與j方向的夾角為θ,永磁體間距為d。經(jīng)過推導(dǎo)可以得到永磁體的相互作用力Fm的計(jì)算公式

(m1·m2)·r-(5(m1·r)(m2·r)/r2)·r]

(1)

式中m1=M1V1(isinθ+jcosθ),m2=M2V2(isinθ+jcosθ),M1,M2分別為永磁體1和永磁體2的磁化強(qiáng)度,V1,V2分別為永磁體1、永磁體2的體積，μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率，r=-di+(x1-x2)j為永磁體2到永磁體1的方向向量，r為向量r的模。

由于在懸臂梁振動過程中j方向上的磁斥力為主要影響因素，因此在計(jì)算中考慮j方向上的磁斥力，式(1)經(jīng)簡化得到j(luò)方向上的磁斥力大小為

(2)

將式(2)在(x1-x2)=0處泰勒展開，得到三階磁斥力

(3)

永磁體間距d足夠大時(shí)，磁體之間作用力近似為零，此時(shí)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；間距d減小到一定程度時(shí),兩個永磁體之間產(chǎn)生磁力，此時(shí)系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)；間距d過小，則磁斥力過大，雙懸臂梁的響應(yīng)將受到抑制。

1.3 動力學(xué)建模

雙梁壓電振動俘能器在外界激勵作用下，系統(tǒng)受迫振動，設(shè)懸臂梁1和懸臂梁2末端永磁體的振動位移分別為X1,X2，當(dāng)懸臂梁以一階模態(tài)運(yùn)動時(shí)，可將系統(tǒng)簡化為彈簧—阻尼的集中參數(shù)模型，如圖3所示。

圖3 集中參數(shù)的壓電懸臂梁等效模型

壓電式懸臂梁振動俘能器的控制方程可以由兩個相關(guān)的物理量來描述成一個簡單的數(shù)學(xué)模型。這兩個物理量分別是懸臂梁末端永磁體位移X1,X2和輸出電壓V1,V2。這些物理量都是隨時(shí)間變化的函數(shù)，并且遵循運(yùn)動方程。根據(jù)牛頓第二定律和基爾霍夫定律，可以得到圖3所示系統(tǒng)的動力學(xué)模型[21]

(4)

(5)

1.4 模型參數(shù)

模型的實(shí)際尺寸和材料參數(shù)如表1、表2所示。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù) mm

表2 結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

2 仿真分析

通過四五階龍格庫塔算法對無量綱動力學(xué)方程組(5)進(jìn)行數(shù)值模擬，分別獲得系統(tǒng)線性和非線性條件下的響應(yīng)頻譜特性。

如圖4所示為懸臂梁1的數(shù)值解析結(jié)果，圖4(a)為歸一化位移頻譜特性曲線，圖4(b)為歸一化電壓頻譜曲線，歸一化后1號懸臂梁對應(yīng)諧振頻率為1。由圖可看出，系統(tǒng)中不存在耦合磁場時(shí)，系統(tǒng)為線性諧振系統(tǒng)，其響應(yīng)頻譜圖只有單一峰值。當(dāng)系統(tǒng)中加入永磁體后，由于非線性影響系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)雙峰值現(xiàn)象，1號懸臂梁有效俘能頻帶數(shù)增加。

圖4 懸臂梁1響應(yīng)頻譜特性對比

圖5為懸臂梁2仿真結(jié)果，圖5(a)為梁的歸一化位移頻譜特性曲線，圖5(b)為歸一化電壓頻譜曲線，歸一化條件下懸臂梁2的諧振頻率為1.45。由圖中可以看出，與梁1響應(yīng)情況相同，線性梁的響應(yīng)頻譜圖只有單獨(dú)的峰值，引入永磁體后，響應(yīng)特性曲線呈現(xiàn)兩個不同頻率對應(yīng)的峰值，懸臂梁2的有效俘能頻帶數(shù)增加，達(dá)到了拓寬俘能頻帶的目的。

圖5 懸臂梁2響應(yīng)頻譜特性對比

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺

實(shí)驗(yàn)平臺由振動控制臺、功率放大器、激振器、雙梁壓電振動俘能器、激光測振儀、加速度傳感器和PC組成。實(shí)驗(yàn)中采用非接觸式測量方法，利用激光測振儀對俘能器響應(yīng)位移幅值進(jìn)行測試，避免加速度傳感器在實(shí)驗(yàn)中因接觸對測試結(jié)果的影響。

本實(shí)驗(yàn)通過改變永磁體間距，測試雙懸臂梁俘能系統(tǒng)中永磁體對俘能系統(tǒng)輸出的影響規(guī)律。實(shí)驗(yàn)首先測試在無磁場環(huán)境即線性條件下，懸臂梁式俘能結(jié)構(gòu)的輸出特性，分別確定兩梁的固有頻率，然后測試不同永磁體間距d=30，26，22 mm下的系統(tǒng)響應(yīng)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選擇激勵源振動幅值為2 m/s2，分別測得懸臂梁1與懸臂梁2在無磁鐵和不同磁間距下的響應(yīng)位移頻譜特性和輸出電壓，如圖6所示。

圖6 不同磁距條件下響應(yīng)位移和電壓幅頻特性

圖6(a)和圖6(b)分別為懸臂梁1的位移和電壓響應(yīng)特性，圖6(c)和圖6(d)是懸臂梁2的位移和電壓響應(yīng)特性。由圖6(a)和圖6(b)可看出，線性條件下,梁1諧振頻率為11.8 Hz，帶寬為1 Hz，對應(yīng)位移峰值約為18 mm，輸出電壓約為14.6 V。系統(tǒng)加入耦合磁場后， 懸臂梁1的響應(yīng)特性曲線出現(xiàn)2個峰，其主峰值對應(yīng)諧振頻率降低1 Hz，諧振頻帶寬度隨磁間距的減小而增加，但由于磁間距d=22 mm距離太近，磁場勢能大抑制懸臂梁的振動，此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)幅值減小。次峰值由于磁場耦合而產(chǎn)生，且隨磁間距縮小峰值增加。磁間距d=26 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)效果最好，主峰值對應(yīng)頻帶寬度較線性條件拓寬3 Hz，輸出電壓較線性條件提高約36 %。

由圖6(c)和圖6(d)可以看出，懸臂梁2的固有頻率為15.8 Hz，帶寬1 Hz，對應(yīng)位移峰值約為15.6 mm，輸出電壓約為12.1 V。與懸臂梁1情況相同，加入耦合磁場后俘能器響應(yīng)特性曲線產(chǎn)生兩個峰值，主峰值對應(yīng)頻率降低，帶寬隨磁間距的減小而增加。次峰值產(chǎn)生在11.8 Hz，圖6(c)中峰值不明顯，但圖6(d)中該段電壓值明顯增加。磁間距d=26 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)主峰值拓寬2 Hz，輸出電壓較線性條件提高約40 %。

實(shí)驗(yàn)夾持裝置采用3D打印制作，在激勵頻率8 Hz時(shí)振動明顯，后續(xù)研究中將采用金屬夾持裝置。

3.3 誤差分析

對比發(fā)現(xiàn)，雙懸臂梁俘能器響應(yīng)輸出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果存在誤差，但整體趨勢一致。通過分析，誤差來源于：1)本文中采用壓電陶瓷作為發(fā)電元件，材料不一致性及其與基底梁粘合產(chǎn)生誤差；2)實(shí)驗(yàn)中夾持裝置采用3D打印而成，振動傳遞一致性對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有影響，后續(xù)考慮采用金屬結(jié)構(gòu)裝置增大剛度。

4 結(jié) 論

1)建立集中參數(shù)的俘能系統(tǒng)模型，能夠表達(dá)出雙梁俘能器的振動響應(yīng)特性，對加入耦合磁場后系統(tǒng)產(chǎn)生雙峰值的響應(yīng)預(yù)測效果良好；

2)懸臂梁式俘能結(jié)構(gòu)中加入耦合磁場能夠拓寬懸臂梁的諧振頻帶，頻帶范圍由原來的單頻帶增加為雙頻帶，有效俘能頻帶寬度最大拓寬為原來的3倍，電壓輸出明顯提高；

3)雙梁壓電振動俘能器在耦合磁場作用下各懸臂梁的響應(yīng)峰值由單峰值增加為雙峰值，增加了俘能范圍，隨著磁間距的縮小，懸臂梁的主諧振頻率降低，頻帶寬度增加，輸出電壓增高 ，但磁間距過小將抑制懸臂梁的振動。