大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生四種能力的培養(yǎng)

魏連鑫

摘要：數(shù)學(xué)教育在大學(xué)生基本素質(zhì)培養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用，教師在教學(xué)過程中不僅要做好數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，而且應(yīng)該注重學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)具有鮮明的學(xué)科特點(diǎn)，需要獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法，教師應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重視學(xué)生抽象思維和邏輯推理、分析問題和解決問題、自主學(xué)習(xí)、歸納總結(jié)和推廣四種能力的培養(yǎng)，為學(xué)生未來的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué); 能力培養(yǎng); 抽象思維; 邏輯推理; 歸納總結(jié)和推廣

中圖分類號(hào)：G 642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-895X（2021）01-0081-04

DOI：10.13256/j.cnki.jusst.sse.2021.01.014

Abstract：Mathematics education plays an irreplaceable role in the cultivation of College Students basic quality.Teachers should not only impart mathematics knowledge，but also pay attention to the cultivation of students comprehensive ability and quality in the teaching process.Mathematics has distinct disciplinary characteristics and unique learning methods.Teachers should make use of these characteristics and emphasize students abstract thinking and logical reasoning，analysis and solution of problems，independent learning，induction，summary and deduction in college mathematics teaching.The cultivation of the four abilities lays a solid foundation for the future development of students.

Keywords： college mathematics teaching; cultivation of ability; abstract thinking; logical reasoning; summary and deduction

數(shù)學(xué)是高等學(xué)校理工經(jīng)管等專業(yè)重要的學(xué)科基礎(chǔ)課，具有學(xué)分高、學(xué)習(xí)周期長(zhǎng)、學(xué)習(xí)難度大等顯著特點(diǎn)。大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程學(xué)習(xí)的效果對(duì)學(xué)生后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力的培養(yǎng)起決定作用，關(guān)系到學(xué)生未來能否運(yùn)用數(shù)學(xué)工具從事科學(xué)研究，能否運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式解決工作中遇到的實(shí)際問題。作者認(rèn)為教師在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要做好數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，更應(yīng)該注重學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的培養(yǎng)。近年來，圍繞大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法和內(nèi)容的改革如火如荼，其核心就是要改變傳統(tǒng)課堂上偏重于單向的知識(shí)傳授，重知識(shí)點(diǎn)和解題技巧，而忽視學(xué)生綜合能力和素質(zhì)培養(yǎng)的教學(xué)方法和教學(xué)理念[1-3]。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，作者總結(jié)出在“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”等大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)生四種能力的培養(yǎng)，并舉例說明為達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)應(yīng)采取的具體教學(xué)方法。

一、抽象思維和邏輯推理能力

高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)課程的顯著特點(diǎn)。與初等數(shù)學(xué)相比，這些特點(diǎn)在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中表現(xiàn)得更加突出。對(duì)于剛剛踏入大學(xué)校門，初次接觸高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程的大一新生來說，學(xué)習(xí)中難免會(huì)遇到困難，若沒有經(jīng)過教師積極良好的引導(dǎo)，久而久之，學(xué)生會(huì)養(yǎng)成死記硬背、不求甚解等錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)習(xí)慣，甚至對(duì)自己?jiǎn)适判?，?duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極和抵觸的心理，這樣既不能很好地達(dá)成傳授知識(shí)的目的，更無法實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)能力的效果。

抽象思維和邏輯推理能力是學(xué)生今后從事更高層次科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代大學(xué)生應(yīng)該具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。將直觀具體的事物或現(xiàn)象提升為一般抽象的普遍規(guī)律，再將其應(yīng)用于具體問題，是人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的重要手段，而嚴(yán)密的邏輯推理也是學(xué)生正確分析問題和解決問題的重要保證。教師應(yīng)該充分利用數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，培養(yǎng)好學(xué)生的這種能力。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)做到循序漸進(jìn)，啟發(fā)引導(dǎo)。比如在講解基本概念和重要定理時(shí)，借助直觀的幾何圖形和物理現(xiàn)象是非常必要的，這不僅對(duì)學(xué)生理解概念和定理的論證有所幫助，也是培養(yǎng)學(xué)生洞察問題本質(zhì)，提升抽象能力的重要手段。以拉格朗日微分中值定理的講解[4]為例，可以首先畫出其幾何圖形，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察，根據(jù)學(xué)過的知識(shí)將圖形用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為：

在對(duì)定理的證明過程中，關(guān)鍵是引入輔助函數(shù)

這樣的講解方式可以讓學(xué)生清楚地看出，數(shù)學(xué)家是如何根據(jù)客觀實(shí)踐逐漸抽象出定理內(nèi)容的，而這種抽象又是定理證明不可缺少的。

再比如極限概念的講授，更是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力的好機(jī)會(huì)。雖然學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)過極限，但只是一種描述性定義，談不上高度的抽象和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。大學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該首先告訴學(xué)生，極限是從常量到變量研究的重要工具，缺少極限工具就無法發(fā)展出高等數(shù)學(xué)，它是連接導(dǎo)數(shù)、積分和級(jí)數(shù)等重要概念的紐帶。這樣可以讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到極限概念在高等數(shù)學(xué)中的重要地位，引起學(xué)生的重視。其次，可以鼓勵(lì)學(xué)生嘗試按自己的理解來描述極限，并引導(dǎo)他們體會(huì)只有用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言才能深刻準(zhǔn)確地刻畫變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而引入ε，N，δ符號(hào)，而“任給ε>0，只要n>N（0

二、分析問題和解決問題的能力

大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目的是要讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法去分析和解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)從實(shí)際中來，又要返回到實(shí)際中去。離開實(shí)際問題單純講授數(shù)學(xué)知識(shí)，不但無法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更談不上提高學(xué)生的能力。這就要求教師跳出教材的限制，在傳授知識(shí)的同時(shí)，講清知識(shí)的來龍去脈，帶領(lǐng)學(xué)生重走發(fā)現(xiàn)之路，引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)家的角度去思考問題。比如在利用極限講授導(dǎo)數(shù)和積分的概念時(shí)，要講清其本質(zhì)是促進(jìn)變與不變、近似與精確的相互轉(zhuǎn)化。學(xué)生領(lǐng)悟到這一點(diǎn)，就不難運(yùn)用極限思想去解決瞬時(shí)速度和曲邊梯形面積等問題。當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度Δs/Δt的極限即為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度。當(dāng)分割的細(xì)度λ→0時(shí)，曲邊梯形面積的近似值ni=1f（ξi）Δxi的極限即為曲邊梯形的精確面積。

再比如概率論中對(duì)正態(tài)分布的講解[5]，可以從高斯對(duì)測(cè)量誤差的研究引入，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，通過分析各種誤差或偏差的產(chǎn)生來說明正態(tài)分布的特點(diǎn)，指出如果一個(gè)隨機(jī)變量受到大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素共同影響，而每個(gè)因素在總影響中所起的作用均不大，則這種隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布。而對(duì)正態(tài)分布更深一層的理解，則放在中心極限定理的討論中。這就為學(xué)生揭示出正態(tài)分布產(chǎn)生的源泉，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到正態(tài)分布在生產(chǎn)生活中是極為常見的，很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率均呈現(xiàn)出鐘形曲線。通過理解這些，最終達(dá)到讓學(xué)生正確分析問題并利用正態(tài)分布解決實(shí)際問題的目的。

此外，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽也是一種培養(yǎng)分析問題和解決問題能力的重要方式[6-8]。在課堂教學(xué)中，從實(shí)際問題引出抽象的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)概念、理論和方法產(chǎn)生的淵源和發(fā)展的過程。而數(shù)學(xué)建模則需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)世界中各領(lǐng)域的復(fù)雜問題，這就形成了從具體到抽象、再到具體，從問題到知識(shí)、再到問題的完整培養(yǎng)過程，有效地提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

三、自主學(xué)習(xí)能力

自主學(xué)習(xí)能力是學(xué)生持續(xù)進(jìn)步和提高自身能力的重要素質(zhì)，直接影響到學(xué)生今后的獨(dú)立工作和未來發(fā)展。從中學(xué)教育到大學(xué)教育過渡的重要環(huán)節(jié)就是培養(yǎng)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，從課堂學(xué)習(xí)擴(kuò)展到課后自學(xué)。教師的任務(wù)不僅是教會(huì)學(xué)生知識(shí)，更重要的是教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)知識(shí)。學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)到的知識(shí)可能會(huì)過時(shí)無用，但在大學(xué)中培養(yǎng)起來的如何學(xué)習(xí)知識(shí)的能力卻是終身受用的。隨著大學(xué)教學(xué)的深入，教師在課堂上更多起到的是引導(dǎo)和示范作用，在將基本概念、課程定位、主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法等傳遞給學(xué)生以后，應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立拓展學(xué)習(xí)。

教師可在教學(xué)中適當(dāng)布置一些任務(wù)或思考題，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生課后通過閱讀書籍和文獻(xiàn)自主完成，逐步提高學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)和解決問題的能力。比如在線性代數(shù)的教學(xué)中，學(xué)生很難理解行列式和線性變換這樣抽象的概念?？梢詥l(fā)學(xué)生思考其與空間解析幾何的聯(lián)系，并自主查閱文獻(xiàn)和參考書來說明行列式和線性變換的幾何意義。再比如學(xué)生往往對(duì)線性代數(shù)中復(fù)雜的運(yùn)算望而生畏，對(duì)于自己的計(jì)算結(jié)果沒有把握?？梢怨膭?lì)學(xué)生課后自學(xué)Excel、Mathematic等軟件的使用[9]，在獨(dú)立完成作業(yè)后借助這些軟件來檢查自己的計(jì)算結(jié)果是否正確。這樣既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和自覺性，又鍛煉了其自主學(xué)習(xí)能力。

另外，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的有效手段。在準(zhǔn)備競(jìng)賽的過程中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)大量必修課程以外的數(shù)學(xué)知識(shí)。在學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過旁聽、課下自學(xué)、小組討論等多種形式進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，教師則以開展課外主題講座和分組指導(dǎo)等形式輔助學(xué)習(xí)。在此過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)到優(yōu)化、科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理和微分方程等數(shù)學(xué)知識(shí)以及這些知識(shí)可以解決什么樣的實(shí)際問題。這極大地拓寬了學(xué)生的視野，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到課堂是有限的，更多的知識(shí)等待他們自己去探索和發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)習(xí)積極性的同時(shí)，又鍛煉了自主鉆研和學(xué)習(xí)的能力。

四、歸納總結(jié)和推廣能力

歸納總結(jié)，由個(gè)別到一般，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，也是學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)和工作中應(yīng)該具備的一種能力，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。在教學(xué)中，教師應(yīng)在每一章節(jié)結(jié)束后做出小結(jié)，對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也要幫助學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)。線性代數(shù)具有概念和定理繁多且高度抽象的特點(diǎn)，不同章節(jié)的概念和定理往往存在緊密的聯(lián)系，但不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)。教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納和比較。比如向量組的極大無關(guān)組、齊次方程組的基礎(chǔ)解系、向量空間的基這三個(gè)重要概念，雖然出現(xiàn)在不同章節(jié)，但它們卻具有相同的本質(zhì)，即：

1）線性無關(guān)，表明在線性運(yùn)算下無冗余，不能互相表示，缺一不可;

2）其余向量均可由其線性表示，表明無缺失，具有代表性，是其中的“骨干”。

三個(gè)概念對(duì)應(yīng)向量組、方程組和向量空間三個(gè)不同對(duì)象，但其本質(zhì)都是描述和揭示對(duì)象的線性結(jié)構(gòu)。基礎(chǔ)解系即為方程組解空間的基，向量空間的基即為幾何中坐標(biāo)系的抽象，這易使學(xué)生理解幾何中為什么用兩個(gè)坐標(biāo)軸描述平面，用三個(gè)坐標(biāo)軸描述空間。這就將不同概念通過相同的本質(zhì)聯(lián)系起來，以統(tǒng)一的觀點(diǎn)來描述它們的實(shí)質(zhì)。這樣的歸納總結(jié)可以幫助學(xué)生深入理解抽象的概念，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生探究不同概念和結(jié)論之間的聯(lián)系，培養(yǎng)歸納總結(jié)的能力。

再比如“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中對(duì)隨機(jī)變量的教學(xué)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)離散和連續(xù)隨機(jī)變量從可能取值、性質(zhì)、分布函數(shù)和取值特點(diǎn)四個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)比較，讓學(xué)生通過思考以后填寫表1的內(nèi)容。

離散隨機(jī)變量較為直觀和容易理解，同時(shí)也更能體現(xiàn)概率分布的思想性，即隨機(jī)變量以不同的概率分布在所有可能的取值上。而連續(xù)隨機(jī)變量可以看作是借助微積分對(duì)離散情形的推廣。通過讓學(xué)生對(duì)二者進(jìn)行多方面的總結(jié)比較，可以幫助學(xué)生通過離散來理解連續(xù)情形，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。在對(duì)一維隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考二維情形的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律以及聯(lián)合概率密度的形式，而從二維到多維的情形學(xué)生則可以很自然地完成。這種在教學(xué)中使用的歸納和推廣的方法，充分體現(xiàn)了人們對(duì)世界的認(rèn)知規(guī)律和提出并發(fā)展相應(yīng)理論的過程，既能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升，又可以很好地幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中提高歸納總結(jié)和推廣能力。

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教育在大學(xué)生的基本素質(zhì)和能力培養(yǎng)方面發(fā)揮著不可替代的作用。時(shí)代的進(jìn)步與科技的發(fā)展對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求，在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，重視學(xué)生綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，是時(shí)代發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生哪些能力的培養(yǎng)以及如何培養(yǎng)，是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要課題，以上僅列舉了四個(gè)重要方面。知識(shí)可能會(huì)過時(shí)，但在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)起來的學(xué)習(xí)能力卻是終身受用的?？偠灾?，教師應(yīng)設(shè)計(jì)和運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和形式，努力讓學(xué)生愛學(xué)數(shù)學(xué)、愛用數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的思想活力和創(chuàng)造力，以培養(yǎng)適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的復(fù)合型人才。

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（編輯：程愛婕）