超聲場(chǎng)中空化泡對(duì)彈性粒子微流的影響*

馮康藝 王成會(huì)

(陜西師范大學(xué), 超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710119)

從聲散射基本理論出發(fā), 考慮彈性粒子與空化泡之間耦合作用, 結(jié)合邊界條件, 推導(dǎo)了彈性粒子外部聲流分布, 得到了聲微流的n = 0和n = 1模式近似表達(dá)式和粒子表面應(yīng)力分布函數(shù).數(shù)值分析結(jié)果表明：氣泡和彈性粒子之間的耦合作用增加了粒子周圍的微流分布與剪應(yīng)力場(chǎng)分布, 特別是微流速度的切向分量.隨著兩者間距與相對(duì)位置的距離增大, 粒子與氣泡之間相互作用減弱, 粒子周圍微流幅值減小; 當(dāng)氣泡處于共振狀態(tài)時(shí), 粒子周圍的微流分布顯著增強(qiáng).粒子表面剪應(yīng)力場(chǎng)受粒子半徑與聲場(chǎng)頻率影響, 當(dāng)粒子半徑與聲場(chǎng)頻率越大, 外部散射聲強(qiáng)越強(qiáng), 粒子表面剪應(yīng)力幅值越大.

1 引 言

在聲場(chǎng)下單泡、雙泡以及多泡體系已進(jìn)行了廣泛的理論和實(shí)驗(yàn)研究, 使人們對(duì)超聲清洗、超聲波碎石和靶向藥物傳遞以及超聲聚焦治療癌癥等已有一定的了解[1-4], 都與超聲作用下液體內(nèi)部微小空化核的非線性振蕩、急速變化的微射流場(chǎng)、化學(xué)效應(yīng)、生物效應(yīng)等密不可分.在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中液體內(nèi)往往分布有大量氣泡, 氣泡之間的相互作用可以顯著增強(qiáng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng).當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲波壓力相對(duì)較弱時(shí), 氣泡做弱非線性振動(dòng), 伴隨著穩(wěn)態(tài)空化發(fā)生.同時(shí), 氣泡在聲場(chǎng)中作為聲散射體存在, 其散射聲波和非線性振動(dòng)的相互作用可能改變氣泡或者液體中粒子周圍的聲微流分布狀態(tài).聲微流分布可改變粒子或者氣泡周圍液體黏性層應(yīng)力場(chǎng)分布, 進(jìn)而影響內(nèi)外物質(zhì)交換, 形成與聲動(dòng)力學(xué)相關(guān)的效應(yīng).

對(duì)空化微流的實(shí)驗(yàn)與理論研究最早可追溯到1950年代, 但由于多泡體系在聲場(chǎng)擾動(dòng)下周圍介質(zhì)流場(chǎng)本身變化的極度復(fù)雜性, 人們通常簡(jiǎn)化為聲波驅(qū)動(dòng)下單泡和雙泡在無(wú)界液體中或壁面附近做弱非線性振蕩時(shí)形成的微流分布.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),氣泡表面存在多種微流模式, 每一種模式都與氣泡的特定振動(dòng)模式有關(guān), 并且在其表面產(chǎn)生不同的剪應(yīng)力場(chǎng)分布[5-14].Doinikov和Ayache[15]的研究表明, 當(dāng)有壁面存在時(shí), 可以改變氣泡振蕩的振幅和相位.Tho等[16]的研究表明, 可采用粒子圖像測(cè)速儀器和條紋攝影技術(shù)等實(shí)驗(yàn)探究固定界面上單泡和雙泡以特定模式振動(dòng)時(shí)其周圍的微流場(chǎng)分布.Wang等[17]考慮殼層的彈性和黏度以及非線性流變效應(yīng)的微泡動(dòng)力學(xué)模型, 數(shù)值分析了細(xì)胞膜附近振蕩氣泡產(chǎn)生的微流場(chǎng)和剪切應(yīng)力, 表明氣泡位于細(xì)胞膜的緊鄰處時(shí), 具有較軟且黏性較低的外殼材料的微氣泡可以實(shí)現(xiàn)更有效的聲波穿透效果.文獻(xiàn)[18-20]基于聲散射理論分別發(fā)展了聲場(chǎng)中雙泡、懸浮顆粒為剛性體時(shí)與氣泡體系周圍的微流場(chǎng)分布, 發(fā)現(xiàn)兩者之間的耦合作用顯著影響氣泡內(nèi)外和懸浮粒子表面微流大小與方向, 特別是聲流速度的切向分量.

實(shí)際的液體中存在大量的懸浮顆粒, 顆粒的物理性質(zhì)與其成分有關(guān), 在聲處理中, 可近似當(dāng)作剛性體、彈性體或者黏彈性體等.當(dāng)懸浮顆粒近似為彈性體時(shí), 主要研究以聲輻射力為主, 如Hasegawa等[21]測(cè)量了對(duì)處于無(wú)界非黏性液體中鋼球與黃銅球等所受的聲輻射力, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明鋼球與黃銅球的彈性對(duì)聲輻射力有明顯的影響.Lin和Wen[22]研究了黏性液體中鋼質(zhì)材料的彈性柱與彈性粒子的聲散射、聲輻射力、聲衰減等影響因素.液體中微粒所受聲輻射力是聲操控技術(shù)的理論依據(jù), 此外, 聲場(chǎng)作用下的粒子周圍聲微流對(duì)超聲清洗等應(yīng)用的理論解釋具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.盡管在一定程度上可將懸浮粒子粒當(dāng)作剛性粒子對(duì)待, 但為了更好地描述具有一定彈性的粒子在聲場(chǎng)中受到的空化影響, 有必要進(jìn)一步發(fā)展氣泡-彈性粒子體系聲空化理論.本文基于聲場(chǎng)中微粒和氣泡的聲散射理論, 引入黏性邊界層, 分析弱聲場(chǎng)中氣泡與粒子相互作用相關(guān)的微流響應(yīng).

2 理論分析

2.1 一階流速

為簡(jiǎn)化分析, 本文考慮聲波作用下單個(gè)彈性粒子和氣泡間的相互影響, 如圖1所示.彈性粒子與氣泡中心分別為O1,O2, 兩者中心間距為D, 以各自中心為始點(diǎn)建立坐標(biāo) ((rj,θj(j=1,2)) .由薄黏性邊界層理論知[8], 彈性粒子與氣泡的外部以及氣泡內(nèi)部的邊界層厚度分別為其中μi和μo分別是內(nèi)部和外部的切向黏度系數(shù),ρi和ρo分別是氣泡內(nèi)部氣體與液體的密度,ω是聲波角頻率.

圖1 簡(jiǎn)化模型Fig.1.Geometry of the model.

外部液體一階流速矢量u1=ua+ub,ua,ub分別是與散射和Helmholtz方程有關(guān)的部分, 且ua=-?φa, 其中φa是液體中的速度勢(shì).略去聲波時(shí)間相 eiωt, 則球坐標(biāo)下與彈性粒子和氣泡有關(guān)的入射波速度勢(shì)可表示為

式中φ0=u0/k,u0是聲源輻射面振動(dòng)速度幅值,k是入射波的波數(shù),k=ω/c,c為液體中的聲速;Jn(·)是第一類球貝塞爾函數(shù).彈性粒子和氣泡的外部散射波速度勢(shì)為

氣泡內(nèi)部速度勢(shì)為

彈性粒子內(nèi)部縱波與橫波速度勢(shì)分別為[21]

其中kp與ks,cp與cs分別為縱波與橫波的波數(shù)和波速, 且有kp=ω/cp和ks=ω/cs.

由聲波散射規(guī)律知, 彈性粒子表面的聲邊界條件為[21]

假定空化泡初始半徑與粒子半徑(Rj,j=1,2)遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)λ=2π/k, 則當(dāng)kRj?1 時(shí), 綜合考慮聲散射影響以及矢量的黏性和非黏性分量的貢獻(xiàn), 總速度矢量ua在r和θ方向分量可近似表示為

其 中hi=(1+i)βi,ho=(1+i)βo, 在rj=Rj時(shí) ,切向速度與剪應(yīng)力在彈性粒子和氣泡表面處連續(xù),即得

粒子周圍液體中剪應(yīng)力的r與θ分量可分別表示為

根據(jù)速度場(chǎng)分布以及邊界條件(6)式可得彈性粒子表面剪應(yīng)力表達(dá)式近似為

2.2 聲 流

彈性粒子外部的聲流速度滿足下式[8]：

設(shè)彈性粒子外部聲流速度的切向分量為

根據(jù) (17)式, 可得

為彈性粒子外部切向微流的n=0 模式,

為彈性粒子外部切向微流的n=1 模式.參數(shù)ao0—ao3其具體表達(dá)參見附錄B.

當(dāng)r1=R1時(shí), 在彈性粒子表面與聲微流相關(guān)的切向分量和剪應(yīng)力連續(xù), 可確定積分常數(shù)coθ0—coθ1表達(dá)式, 即

式中

將 (19)—(20)代入 (21)式得到積 分 常數(shù)coθ0—coθ1的表達(dá)式, 其具體表達(dá)式參見附錄B.

為彈性粒子外部徑向微流的n=0 模式,

為彈性粒子外部徑向微流的n=1 模式, 且bo0—bo3的具體表達(dá)式參見附錄B.

3 數(shù)值計(jì)算

根據(jù) (15)和 (16)式, (19)和 (20)式以及(23)和(24)式, 利用Matlab軟件對(duì)平面波聲場(chǎng)中彈性粒子外部聲流速度和剪應(yīng)力分布做數(shù)值計(jì)算.假定聲強(qiáng)為 100 W/m2, 驅(qū)動(dòng)頻率為 100 kHz, 氣泡半徑為20 μm, 彈性粒子半徑與密度分別為30 μm和 7900 kg/m3, 彈性粒子與氣泡之間距離D=R1+R2, 彈性粒子縱波與橫波聲速分別為cp=5240 m/s和cs=2978 m/s, 其他的數(shù)值參考文獻(xiàn)[8].在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中, 圖2—圖5中實(shí)線均表示切向分量,短劃線均對(duì)應(yīng)徑向分量, 考慮彈性粒子外部流速場(chǎng)時(shí), 相對(duì)位置均取r1/R1=1+2(βoR1)-1.

圖2給出了在n=0 和n=1 模式彈性粒子外部聲流的切向與徑向分量隨θ變化的規(guī)律.當(dāng)θ從0增加到 π 時(shí), 對(duì)n=0 模式的聲流速度的切向分量從零先增加后減小,θ= π/2 時(shí)達(dá)到最大值,徑向分量先減小后增加,θ= π/2 時(shí) 等 于 零 ; 對(duì)n=1模式聲流速度, 切向分量在θ處于0到 π /2 之間先增加后減小,θ= π/4 時(shí)達(dá)到最大值,θ處于π/2到 π 時(shí)先增加后減小,θ=3π/4 時(shí)達(dá)到最大值;徑向分量在θ處于0到 π /2 之間先減小后增加,θ= π/4時(shí)等于零,θ處于 π /2 到 π 時(shí)先減小后增加,θ=3π/4時(shí)等于零.通過(guò)將粒子的n=0 與n=1 模式對(duì)微流場(chǎng)分布的影響進(jìn)行對(duì)比, 發(fā)現(xiàn)n=0 模式對(duì)微流分布的貢獻(xiàn)起主要作用.同時(shí), 與Wu等[20]的研究結(jié)論相比較, 考慮粒子的彈性影響后, 其周圍聲流強(qiáng)度增加, 且大于剛性粒子周圍聲流分布.

圖3分別分析了相對(duì)位置以及兩者間距對(duì)粒子外部微流的影響.結(jié)果表明：1)在彈性粒子外部,隨著到粒子表面距離的增加, 微流速度減小并逐漸趨近于0, 如圖3(a)與圖3(b)所示, 微流分布在粒子周圍有限的范圍之內(nèi), 符合薄黏性邊界層理論假設(shè); 2)隨著彈性粒子與氣泡之間的距離增加, 兩者之間的相互作用減弱, 彈性粒子周圍聲流速度的徑向與切向分量幅值均減小, 逐漸接近單個(gè)彈性粒子存在時(shí)的微流分布.Li等[23]通過(guò)實(shí)驗(yàn)與理論研究了氣泡與懸浮粒子之間的非線性相互作用, 結(jié)果表明：隨著兩者間隙的增加, 粒子速度呈線性減小,進(jìn)一步說(shuō)明了粒子與氣泡之間相互作用越弱, 粒子周圍聲流強(qiáng)度越小.

圖2 θ1 對(duì)彈性粒子壁面流速場(chǎng)分布影響 (a) n =0 模式; (b) n =1 模式Fig.2.Streaming as a function of θ1 ：(a) n =0 mode; (b) n =1 mode.

圖3 r1/R1(θ = π/4) 和D′/R1(D′=D-R1-R2,θ1= π/4)對(duì)彈性粒子壁面微流分布影響 (a)與(c) n =0 模式; (b)與(d) n =1 模式Fig.3.Streaming as a function of r1/R1 (θ = π/4) and D′/R1(D′=D-R1-R2,θ1= π/4)：(a) and (c) n =0 mode; (b) and(d) n =1 mode.

液體中的氣泡散射超聲波, 同時(shí)在聲波的激勵(lì)下振動(dòng)并形成次級(jí)聲輻射.氣泡的初始半徑不同,次級(jí)聲輻射強(qiáng)度不同, 對(duì)周圍介質(zhì)微流場(chǎng)分布影響也不相同.圖4給出了隨氣泡初始半徑變化時(shí)彈性粒子周圍微流分布, 結(jié)果表明：彈性粒子周圍n=0與n=1 模式聲流速度幅值變化存在共振峰值, 峰值位置對(duì)應(yīng)的粒子和氣泡半徑比值約為1.2, 在計(jì)算過(guò)程中粒子半徑為 30 μm, 因此, 峰值處對(duì)應(yīng)的氣泡半徑約為36 μm, 其共振頻率和驅(qū)動(dòng)聲波頻率100 kHz可相比擬, 即微流速度峰值分布區(qū)內(nèi)氣泡處于共振狀態(tài).因此, 聲場(chǎng)中氣泡的共振響應(yīng)可增加其對(duì)粒子的微流影響, 且對(duì)切向分量幅值變化影響更為顯著.

彈性粒子表面剪應(yīng)力分布狀態(tài)將影響粒子內(nèi)外物質(zhì)交換、粒子穩(wěn)定性等, 同時(shí), 其表面剪應(yīng)力分布也與多種因素有關(guān), 考察了聲波頻率和粒子半徑對(duì)其表面剪應(yīng)力分布的影響, 如圖5所示.對(duì)比粒子半徑分別為 7.5, 15, 30 μm 時(shí)應(yīng)力分布情況可以看出, 粒子半徑在一定范圍內(nèi), 隨著半徑的增加, 粒子表面應(yīng)力增大; 極角θ1變化對(duì)徑向應(yīng)力分量影響不大,θ1從 0 增加到 π, 切向應(yīng)力分量從零先增加后減小, 在 π /2 達(dá)到極大值, 如圖5(a)與圖5(b)所示.彈性粒子半徑越大, 其聲散射截面積越大,聲散射越強(qiáng), 故微流場(chǎng)越強(qiáng), 由 (14)式可知, 剪應(yīng)力分布與微流分布正相關(guān), 因而粒子表面剪應(yīng)力幅值越大.對(duì)比聲波頻率分別為 80, 100, 120 kHz 時(shí)應(yīng)力分布情況可看出, 對(duì)半徑為30 μm彈性粒子而言, 聲波頻率在一定范圍內(nèi), 聲波頻率增加, 應(yīng)力值增大, 極角對(duì)應(yīng)力分布的影響也越顯著, 如圖5(c)與圖5(d)所示.Shi等[24]的研究表明, 包膜泡的散射截面積與聲波頻率呈正相關(guān), 同時(shí), 散射截面積越大時(shí), 表面剪應(yīng)力幅值越大.因此, 當(dāng)外部聲場(chǎng)頻率越大, 微粒引起的聲散射越強(qiáng), 粒子表面剪應(yīng)力幅值越大.與Doinikov和Bouakaz[10]與 Liu和Wu[9]的研究結(jié)果相比較, 由于粒子和氣泡之間的耦合作用, 一定程度增加了粒子周圍的剪應(yīng)力分布, 進(jìn)一步增強(qiáng)周圍流體介質(zhì)的聲動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

圖4 R2/R1(θ1= π/4) 對(duì)彈性粒子壁面微流分布影響 (a) n =0 模式; (b) n =1 模式Fig.4.Streaming as a function of R2/R1(θ1= π/4): (a) n =0 mode; (b) n =1 mode.

圖5 彈性粒子壁面的剪應(yīng)力分布 (a)與 (b)初始半徑分別為 7.5, 15, 30 μm; (c)與 (d)驅(qū)動(dòng)頻率分別為 80, 100, 120 kHzFig.5.Shear stresses versus θ1 ：(a) and (b) The radius is equal to 7.5, 15, 30 μm; (c) and (d) the driving frequency is equal to 80,100, 120 kHz.

彈性粒子外部聲流速度的矢量圖如圖6所示,θ1=0°與 1 80°處粒子聲流速度趨于0, 在彈性粒子表面附近, 可觀察到較為明顯的徑向與切向微流, 從粒子表面向外, 隨著距離的增加, 微流徑向分量越來(lái)越小, 到一定距離后, 幾乎可以忽略不計(jì),此時(shí), 聲微流只剩下切向分量.Liu和Wu[9]對(duì)單個(gè)包膜泡周圍微流分布的研究結(jié)果表明隨著到包膜泡表面距離的增加, 聲流速度減小, 與本文研究結(jié)果一致.此外, 考慮了空化泡與粒子之間的相互作用之后, 可以看到粒子表面產(chǎn)生更為顯著的切向微流, 進(jìn)而影響液體中切應(yīng)力分布, 可增強(qiáng)對(duì)液體中其他界面的切向影響.

圖6 聲流速度的矢量分布圖Fig.6.Distribution of streaming velocity vector.

4 結(jié) 論

本文基于聲散射理論, 研究無(wú)界黏性液體內(nèi)的平面波場(chǎng)中彈性粒子與氣泡體系的聲微流分布, 考慮了二者間相互作用的影響, 得到了n=0 和n=1模式聲流表達(dá)式以及彈性粒子表面黏性層內(nèi)剪應(yīng)力分布式.以鋼質(zhì)微球?yàn)槔龜?shù)值分析了其周圍微流分布以及表面應(yīng)力分布, 考慮了氣泡半徑、氣泡到微球距離、微球半徑、微球-氣泡間半徑比以及驅(qū)動(dòng)聲波頻率的影響.結(jié)果表明：n=0 模式對(duì)微流場(chǎng)貢獻(xiàn)較大; 氣泡的存在能夠顯著增強(qiáng)微流場(chǎng)整體分布, 特別是其切向分量; 粒子周圍聲流速度隨氣泡到微球距離的增加而減小; 當(dāng)氣泡處于共振狀態(tài)時(shí), 粒子周圍聲流速度幅值更大, 說(shuō)明氣泡的共振聲響應(yīng)能夠有效增強(qiáng)聲波對(duì)粒子的微流效應(yīng).驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值一定時(shí), 隨著粒子半徑和聲波頻率的增大, 粒子表面剪應(yīng)力分布增強(qiáng).

k為外部液體的波數(shù);ρ1為粒子的密度, 且有

附錄Bao0—ao3,coθ—coθ1,bo0—bo12具體表達(dá)式

參數(shù)ao0—ao3 具體表達(dá)式：