波動法研究加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的線性振動特性

林 杰，黃迪山

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072)

旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)在工程中的應(yīng)用廣泛，如工業(yè)中高速盤鼓類結(jié)構(gòu)、高速軸承保持架、航空發(fā)動機的薄壁空心結(jié)構(gòu)、高速軸端擋圈等。該薄壁結(jié)構(gòu)在加速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下產(chǎn)生極烈振動，甚至導(dǎo)致?lián)p傷等故障。因此，研究加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的振動問題，可為加、減速過程的薄壁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性提供了理論參考。

靜止圓環(huán)動力學(xué)問題研究已相對成熟。Rao等[1-2]對靜止圓環(huán)平面內(nèi)彎曲振動進(jìn)行研究，并且建立圓環(huán)平面內(nèi)運動方程。Evensen[3]考慮非線性項對靜止薄壁圓環(huán)平面內(nèi)彎曲振動的影響。在常速旋轉(zhuǎn)的工況下，對薄壁圓環(huán)動力學(xué)問題學(xué)者們也做了大量的研究。Natsiavas[4]建立薄壁圓環(huán)的非線性平面內(nèi)自由振動方程，并對圓環(huán)在低轉(zhuǎn)速和高轉(zhuǎn)速狀態(tài)下進(jìn)行動力學(xué)研究。Huang等[5-6]考慮旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下圓環(huán)科氏力效應(yīng)，求解圓環(huán)在靜止與不同轉(zhuǎn)速下的固有頻率及振型。 Kim等[7]研究常轉(zhuǎn)速下不同非線性項對圓環(huán)固有頻率計算的影響。研究表明，在較低轉(zhuǎn)速下不同形式的非線性項所求解出的固有頻率基本相同，只有在較高轉(zhuǎn)速下會產(chǎn)生偏差。常速旋轉(zhuǎn)的條件下，王宇等[8]研究蓖齒薄壁短圓柱殼在5種不同邊界條件下的行波共振特性。劉彥琦等[9]探討了薄壁圓柱殼長徑比對其振動特性的影響。

現(xiàn)今，對靜止和常轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)及圓柱殼的研究已經(jīng)取得不少理論成果。但是，對加速旋轉(zhuǎn)圓環(huán)系統(tǒng)受科氏力、離心力和加速度的影響及其彈性變形等方面的研究才剛起步，相關(guān)文獻(xiàn)較少[10]。

本文基于Euler -Bernoulli梁理論，考慮科氏力和離心力效應(yīng)。根據(jù)Hamilton原理建立加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的平面內(nèi)線性運動方程，運用波動法進(jìn)行動力學(xué)求解，分析角加速度，角速度對薄壁圓環(huán)模態(tài)特性的影響，并對方程進(jìn)行驗證。

1 運動方程

如圖1所示，有一個加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)，其圓環(huán)角速度為：

Ω=ct

(1)

式中:c為圓環(huán)角加速度，且為常數(shù)，所以角速度是關(guān)于時間t的線性函數(shù)。

XYZ是空間中一個固定的慣性坐標(biāo)系，而xyz則是固定于微元上相對于XYZ的一個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，沿圓環(huán)中性軸的周向坐標(biāo)由x表示，與中性軸垂直的徑向坐標(biāo)由y表示。圓環(huán)橫截面中性軸上的周向，徑向位移分別用u，v表示。b為圓環(huán)的寬度，h為圓環(huán)的厚度。M為平面內(nèi)驅(qū)動轉(zhuǎn)矩，由牛頓定律得：

M=J·c

(2)

式中:J為圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量。

(a) 全視圖

(b) 截面圖

基于Euler -Bernoulli梁理論，圓環(huán)變形前垂直于圓環(huán)中性線的橫截面，在變形后仍然垂直于圓環(huán)中性線，且橫截面的寬度和高度保持不變。薄壁圓環(huán)的厚度h和寬度b遠(yuǎn)小于圓環(huán)的半徑R，所以不考慮圓環(huán)橫向剪切變形的影響。

α為平面內(nèi)彎曲變形引起圓環(huán)橫截面繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角。根據(jù)Rao和Natsiavas研究，α可表示為：

(3)

基于拉格朗日應(yīng)變理論，根據(jù)Kim和Graff[11]研究可知薄壁圓環(huán)中心線上各點的周向正應(yīng)變包含中性面的應(yīng)變和平面內(nèi)彎曲引起的曲率變化，其表達(dá)式如下所示：

(4)

式中:第一項為中性面應(yīng)變，第二項為平面內(nèi)彎曲引起的曲率變化。

薄壁圓環(huán)的應(yīng)變能和周向正應(yīng)變有關(guān)。假設(shè)圓環(huán)材料為各向同性，連續(xù)且均勻。由于薄壁圓環(huán)處于加速和高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，需要考慮由離心力作用引起的周向應(yīng)力所產(chǎn)生的勢能。薄壁圓環(huán)的應(yīng)變能可用方程(5)表示：

(5)

式中:E為彈性模量，σθ為離心力引起的初始周向應(yīng)力。Huang研究表明，σθ可近似表示為ρR2Ω2。

根據(jù)Bickford等[12-13]研究表明：薄壁圓環(huán)的平面內(nèi)振動問題中，由于薄壁圓環(huán)的厚度遠(yuǎn)小于圓環(huán)半徑，薄壁結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣性力矩可忽略不計。因此，加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的動能可近似為：

(6)

由于薄壁圓環(huán)做加速旋轉(zhuǎn)運動，考慮力矩M做功，其表達(dá)式為

(7)

應(yīng)用Hamilton原理建立加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的動力學(xué)方程，其表達(dá)式如下：

(8)

對方程(8)中第一項進(jìn)行變分可得：

(9)

式中,Ω=dθ/dt故方程(9)中第三項可表示為：

(10)

方程(8)中第二項進(jìn)行變分可得：

(11)

(12)

對方程(8)中第三項進(jìn)行變分可得：

(13)

由于δv、δu均是獨立的任意變量，故只有它們的系數(shù)分別等于零時，上式中二次積分才為零。因此，由式(8)～(13)整理可得加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的平面內(nèi)運動微分方程，如下所示：

δv:

(14)

δu:

(15)

若為靜止薄壁圓環(huán)，將方程(14)和(15)中角速度Ω項和角加速度dΩ/dt項去除，即可得到靜止薄壁圓環(huán)平面內(nèi)徑向和周向振動方程，其與Chouvin等14所述的靜止薄壁圓環(huán)平面內(nèi)運動方程一致。

2 波動解

采用波動法分析加速圓環(huán)的動態(tài)特性。波動法是一種聯(lián)系時間和空間的解析方法。它將結(jié)構(gòu)的自由振動看成彈性波在固體介質(zhì)中的傳播，其自由模態(tài)是由各傳遞波疊加形成。假定運動方程的解是由簡諧波分量線性疊加而成，既可以將以時間-空間坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的偏微分動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為傅里葉級數(shù)空間中的代數(shù)方程。

假設(shè)運動方程的特解為：

(16)

將通解(16)代入方程(14)中，整理后可得：

A1v+A2u=C1

(17)

其中，

同理將通解(16)代入方程(15)中，整理后可得：

A3v+A4u=C2

(18)

其中，

將方程(17),(18)寫成矩陣形式得：

(19)

由于結(jié)構(gòu)振動模態(tài)是由不同諧波疊加而成，且不同諧波之間是互相獨立的。隨著波在系統(tǒng)中傳播，復(fù)波數(shù)和虛波數(shù)對應(yīng)的波逐漸衰減為零，只有實波數(shù)對應(yīng)的波才能引起共振模態(tài)。因此，當(dāng)波數(shù)n=2,3,4,5時，對應(yīng)著結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)，而n=0,1為圓環(huán)的剛體模態(tài)[15]。在求解結(jié)構(gòu)固有頻率中，掃頻法是較為常用的方法。因此，式(19)給定頻率帶，可通過掃頻法求解薄壁圓環(huán)在某一角加速度、角速度和某一階模態(tài)下徑向和周向振幅。由此，可得到加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)對應(yīng)某一階數(shù)下的幅頻特性曲線。

3 旋轉(zhuǎn)狀態(tài)

薄壁圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù)，如表1所示。假定Ω=t且t=2π,10π,20π。在波數(shù)n=4時，分別求出旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)在轉(zhuǎn)速Ω=2π,10π,20π rad/s，第三階的徑向振動頻率特性。結(jié)果如圖2所示，圖中分別對應(yīng)角速度為2π rad/s、10π rad/s和20π rad/s時，薄壁圓環(huán)第三階徑向振幅。

如表2所示，在不同轉(zhuǎn)速下，將圓環(huán)第三階固有頻率求解結(jié)果與Eley的結(jié)果進(jìn)行對比，其相對誤差值均不超過0.1%。

表1 薄壁圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù)

表2 不同角速下度薄壁圓環(huán)第三階固有頻率求解結(jié)果對比

圖2 角速度Ω=2π, 10π, 20π rad/s時，薄壁圓環(huán)第三階

4 角速度影響

薄壁圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù)，如表3所示。假定Ω=trad/s，角速度隨著時間的增加而線性增大。如圖3，橫軸為頻率段、縱軸為角速度、豎軸為薄壁圓環(huán)在對應(yīng)的某特定頻率和角速度下的徑向振幅。在不同角速度下，前四階固有頻率的計算結(jié)果如表4所示。

表3 薄壁圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù)

表4 隨著角速度增加薄壁圓環(huán)的前四階固有頻率

如圖3所示，隨著角速度的增加，薄壁圓環(huán)的前四階固有頻率逐漸減小。當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到一定值時，薄壁圓環(huán)的固有頻率趨于零。該現(xiàn)象與Kim和Eley的研究結(jié)果一致，其研究結(jié)果表明隨著轉(zhuǎn)速增加，負(fù)行波的固有頻率逐漸減小且趨于零。

(a) 第一階和第二階固有頻率變化趨勢

(b) 第三階和第四階固有頻率變化趨勢

圖3 隨著角速度增加，薄壁圓環(huán)前四階固有頻率變化趨勢

Fig.3 The trend of the ring’s natural frequency at first four orders as the changing of rotational speed

5 角加速度影響

5.1 幅頻特性

在某一角速度下，研究薄壁圓環(huán)在不同的角加速度下的特性。薄壁圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù)，如表3所示。假設(shè)角速度為Ω=100 rad/s，分析薄壁圓環(huán)在不同的角加速度下的頻率特性。如圖4，橫軸為頻率段、縱軸為角加速度、豎軸為薄壁圓環(huán)對應(yīng)某特定頻率和角加速度下的徑向振幅。不同角加速度下，其前四階固有頻率值所對應(yīng)的徑向幅值如表5所示。

表5 轉(zhuǎn)速為Ω=100 rad/s時，在不同角加速度下薄壁圓環(huán)的前四階固有頻率所對應(yīng)的徑向振幅

Tab.5 Radial amplitude corresponding to the first four natural frequencies whenΩ=100 rad/s in different angular acceleration

角加速度/(rad·s-2)徑向幅值/mm第一階第二階第三階第四階21.2020.14930.27470.472842.4030.29870.54940.945563.6050.40080.82410.141884.8060.59741.0990.1891

如圖4所示，在不同的角加速度下，將薄壁圓環(huán)加速至角速度為Ω=100 rad/s時，其前四階固有頻率始終保持不變，分別為713 rad/s、2 189 rad/s、4 266 rad/s和6 938 rad/s。根據(jù)圖4和表5結(jié)果所示，隨著角加速度的增加，固有頻率保持不變，但圓環(huán)各階固有頻率所對應(yīng)的徑向振幅隨之增加。因此，角加速度的變化不影響圓環(huán)的固有頻率，只對其振幅產(chǎn)生影響，且角加速度越大其振幅越大。

(a) 第一階

(b) 第二階

(c) 第三階

(d) 第四階

圖5所示，更加清楚顯示薄壁圓環(huán)在不同角加速度下前四階固有頻率對應(yīng)的徑向振幅的變化趨勢，其中橫軸為角加速度，豎軸為對應(yīng)某一階固有頻率的徑向振幅，虛線為徑向幅值增長率曲線。

(a) 第一階

(b) 第二階

(c) 第三階

(d) 第四階

當(dāng)薄壁圓環(huán)的角加速度不斷增大時，各階固有頻率對應(yīng)的徑向振幅不斷增大，且達(dá)到臨界角加速度值時其徑向幅值增長趨勢明顯趨于平緩。如圖5(a)～(d)所示，當(dāng)薄壁圓環(huán)角加速度分別達(dá)到1 500 rad/s2、10 000 rad/s2、6 000 rad/s2、30 000 rad/s2時，其前四階固有頻率對應(yīng)的徑向振幅增加幅度趨于平緩。

5.2 各階模態(tài)

如表5所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為Ω=100 rad/s，將角加速度為2 rad/s2、4 rad/s2時所對應(yīng)的前四階固有頻率，以及徑向振幅代入方程(16)，計算出加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的徑向振型。圖6中虛線和實線分別代表角加速度等于2 rad/s2和4 rad/s2時的模態(tài)。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖6 轉(zhuǎn)速Ω=100 rad/s時，不同角加速度下薄壁圓環(huán)的前四階徑向模態(tài)形狀(a～d分別為圓環(huán)的前四階模態(tài)形狀:實線和虛線分別為角加速度c=4 rad/s2和c=2 rad/s2)

Fig.6 Radial mode shapes of thin ring at two different angular accelerations, whenΩ=100 rad/s(a～b the 1st～ 4thradial mode shapes:Solid line is atc=4 rad/s2, Dotted line is atc=2 rad/s2)

在相同的轉(zhuǎn)速下，角加速度越大薄壁圓環(huán)的某一階固有頻率所對應(yīng)的振型越明顯。

6 結(jié) 論

基于Euler -Bernoulli梁模型，考慮由薄壁圓環(huán)加速旋轉(zhuǎn)引起的離心力和科氏力效應(yīng)，分別給出加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)系統(tǒng)的動能、勢能以及外力做功，然后利用Hamilton原理建立加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)系統(tǒng)的平面內(nèi)線性振動微分方程。利用波動法分析加速薄壁圓環(huán)周向和徑向振動特性。通過假設(shè)圓環(huán)在角速度分別為2π rad/s、10π rad/s、20π rad/s時，求解其第三階固有頻率并與相關(guān)文獻(xiàn)對比，結(jié)果表明固有頻率相對誤差均小于0.1%。

研究角速度與角加速度對薄壁圓環(huán)模態(tài)特性的影響:① 保持圓環(huán)角加速度不變而角速度逐漸增加，薄壁圓環(huán)各階固有頻率逐漸降低。當(dāng)角速度達(dá)到臨界速度時，薄壁圓環(huán)的第一階固有頻率為零，運動進(jìn)入失穩(wěn)狀態(tài)；② 具有不同角加速度的圓環(huán)加速至同一轉(zhuǎn)速時，圓環(huán)對應(yīng)同一階的固有頻率值均相同，但固有頻率所對應(yīng)的振幅隨著角加速度的增大而增大。因此，角加速度變化只影響薄壁圓環(huán)的振幅，而不影響其固有頻率。③ 當(dāng)圓環(huán)超過臨界角加速度值時，其振幅增長趨于平緩。④ 在相同轉(zhuǎn)速下，角加速度越大的圓環(huán)，其各階振型越明顯。

對加速旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)進(jìn)行研究，揭示了角加速度和角速度對旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響，文中提供了求解該系統(tǒng)固有頻率和振型的波動計算方法。為加速過程或運轉(zhuǎn)起動階段的薄壁圓環(huán)結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究提供了理論參考。