最小二乘法分析工作臺(tái)平面度誤差

王文超

摘? 要：文章根據(jù)中國(guó)技能大賽——第八屆全國(guó)數(shù)控技能大賽，數(shù)控機(jī)床裝調(diào)維修工賽項(xiàng)中關(guān)于數(shù)控機(jī)床幾何精度中關(guān)于工作臺(tái)的平面度的檢測(cè)要求，利用最小二乘法對(duì)工作臺(tái)的平面度進(jìn)行分析，文章將系統(tǒng)介紹利用最小二乘法對(duì)工作臺(tái)的平面度誤差進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：最小二乘法;平面度誤差;工作臺(tái)

中圖分類(lèi)號(hào)：TG83 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2019）34-0132-03

Abstract： According to the requirements of the flatness of the worktable in the geometric accuracy of CNC machine tools in the Eighth National CNC Skills Competition， this paper presents the testing requirements of the flatness of the worktable in the geometric accuracy of CNC machine tools in the Eighth National CNC Skills Competition. The least square method is used to analyze the flatness of the worktable. In this paper， the least square method is used to analyze the flatness error of the worktable.

Keywords： least square method; flatness error; worktable

引言

在GB/T17421.1-1998《機(jī)床檢驗(yàn)通則第1部分：在無(wú)負(fù)載精加工條件下機(jī)床的幾何精度》標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)平面度的定義及檢測(cè)工具提出原則要求。本文依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合機(jī)床行業(yè)實(shí)際情況，對(duì)工作臺(tái)平面度檢測(cè)方法及數(shù)據(jù)處理做詳細(xì)介紹。

平面度誤差是指被測(cè)實(shí)際表面對(duì)其理想平面的變動(dòng)量。理想平面是評(píng)定平面誤差的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)理想平面不同時(shí)，求得的平面度誤差值也就不同。確定理想平面的方法可用簡(jiǎn)便法、最小包容區(qū)域法及最小二乘法。本文將運(yùn)用最小二乘法來(lái)確定理想平面，并求得機(jī)床工作臺(tái)平面度的誤差。與其他方法相比，最小二乘法能準(zhǔn)確而充分地利用全部原始觀測(cè)數(shù)據(jù)所提供的信息，較客觀地評(píng)價(jià)機(jī)床工作臺(tái)的平面度誤差，而且可直接運(yùn)用于電子計(jì)算機(jī)運(yùn)算，使平面度誤差的計(jì)算達(dá)到迅速準(zhǔn)確、可靠的結(jié)果。

1 測(cè)量方法

采用最小二乘法評(píng)定數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)平面度誤差，對(duì)于工作臺(tái)面的平面度原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的獲得，可用柵格式布置被測(cè)實(shí)際表面上的測(cè)量截面和測(cè)點(diǎn)，選擇測(cè)量截面的方向與被測(cè)實(shí)際表面縱、橫向平行。比賽設(shè)備為紐威機(jī)床，工作臺(tái)尺寸為650mm×450mm，所用測(cè)量?jī)x器為長(zhǎng)度200mm測(cè)量精度0.02/1000mm的水平儀。根據(jù)被測(cè)量平面的形狀和尺寸，選擇合適的布點(diǎn)形式，布點(diǎn)形式如圖1所示。按照布線(xiàn)方式依次測(cè)量，逐線(xiàn)首尾銜接地進(jìn)行測(cè)量，并同時(shí)記錄各點(diǎn)示值。在本數(shù)控加工中心工作臺(tái)上從A點(diǎn)開(kāi)始檢測(cè)，檢測(cè)順序首先檢測(cè)橫向，測(cè)量順序?yàn)锳→B、A1→B1、A2→B2?？v向測(cè)量為起點(diǎn)為A點(diǎn)，測(cè)量方向?yàn)锳→A2。

下面將以A→B測(cè)量方向?yàn)槔f(shuō)明測(cè)量方法：首先將水平儀縱向放置在工作臺(tái)面上，左端距離工作臺(tái)左端面20mm左右，待水平儀穩(wěn)定后，讀取水泡相對(duì)選定基準(zhǔn)線(xiàn)移動(dòng)距離，以水平儀上水泡兩端先選中的任意一條為基準(zhǔn)線(xiàn)，一般選大線(xiàn)為基準(zhǔn)線(xiàn)。水泡在基準(zhǔn)的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，讀出第一段的測(cè)量數(shù)據(jù)，并記錄。首尾相接將水平儀移動(dòng)到第二段測(cè)量臺(tái)面上，根據(jù)水泡在基準(zhǔn)線(xiàn)的位置讀出正負(fù)及數(shù)據(jù)并記錄，以此類(lèi)推。在測(cè)量過(guò)程中應(yīng)注意，橫向三條線(xiàn)及縱向一條線(xiàn)的讀數(shù)基準(zhǔn)均為A→B線(xiàn)的讀數(shù)基準(zhǔn);每條線(xiàn)測(cè)量完畢后都應(yīng)返回原點(diǎn)，已驗(yàn)證水平儀是否是回零，如不回零，需重新檢驗(yàn)。根據(jù)以上方法測(cè)量，所得的水平儀讀數(shù)見(jiàn)表1。

2 數(shù)據(jù)處理

水平儀的讀數(shù)為水平儀首尾兩端相對(duì)水平面的高度差，以過(guò)起點(diǎn)A的水平面為基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換平面，按照hmn=gil+il公式轉(zhuǎn)換基面的高度值z(mì)ij見(jiàn)表2。

表2中的數(shù)據(jù)是水平儀中的格數(shù)值，現(xiàn)在我們將格數(shù)值轉(zhuǎn)換為線(xiàn)值（mm）。已知水平儀的長(zhǎng)度為200mm測(cè)量精度為0.02/1000mm。轉(zhuǎn)換式如下：

0.02mm/1000mm×200mm=0.004mm=4μm

將表2中，水平儀測(cè)量的數(shù)據(jù)（格）轉(zhuǎn)換成線(xiàn)性值的數(shù)據(jù)，每個(gè)數(shù)據(jù)直接乘以4μm，轉(zhuǎn)換后的數(shù)值見(jiàn)表3。

3 平面度誤差最小二乘法的評(píng)定

最小二乘法評(píng)定平面度誤差就是以最小二乘中心平面為理想平面進(jìn)行平面度評(píng)定的方法，所謂最小二乘理想平面就是指空間點(diǎn)距其距離最小的平面。一般平面方程的表達(dá)式為：

對(duì)于通過(guò)試驗(yàn)給定的數(shù)據(jù)（xi，yi，zij），S是a1，a2，a3的非負(fù)二次式，所以最小值一定存在，根據(jù)極限定理，a1，a2，a3應(yīng)是下列方程的解：

將該正規(guī)方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

根據(jù)方程組（2）可求解出a1，a2，a3，即可得空間中mn個(gè)點(diǎn)（xi，yi，ij），平面度誤差可由下式求得：

4 應(yīng)用最小二乘法對(duì)工作臺(tái)進(jìn)行誤差評(píng)定

根據(jù)最小二乘法對(duì)平面度誤差的評(píng)定方法，下面對(duì)最小二乘法的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。將水平儀測(cè)定的數(shù)據(jù)，根據(jù)圖2轉(zhuǎn)換成各點(diǎn)數(shù)據(jù)。建立實(shí)際表面各測(cè)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值（xi，yi，zij）列于表4中。則可按式（2）可以求得：a1=-1.141，a2=-1.64，a3=-1.158，則被測(cè)實(shí)際表面的評(píng)定基準(zhǔn)方程為：ij=-1.141xi-1.64yj-1.158，因此可以用式（3）算出被測(cè)實(shí)際表面上各測(cè)點(diǎn)相對(duì)于此評(píng)定基準(zhǔn)值得誤差見(jiàn)下式：

取表4中被測(cè)實(shí)際表面上各測(cè)點(diǎn)相對(duì)于評(píng)定基準(zhǔn)值得最大正、負(fù)誤差的絕對(duì)值之和作為工作臺(tái)面整體的平面誤差，即f=fmax-fmin=14.217？滋m。

5 結(jié)論

最小二乘法評(píng)定平面度誤差，能夠準(zhǔn)確地和充分地處理原始測(cè)量數(shù)據(jù)，比較客觀地評(píng)定平面度誤差。尤其是在評(píng)定尺寸較大的平面時(shí)，最小二乘法的優(yōu)勢(shì)更能體現(xiàn)出來(lái)，采用最小二乘法進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，不僅容易理解和掌握，而且可以較方便的求得平面度誤差。采用其他方法時(shí)，計(jì)算繁瑣不易實(shí)現(xiàn)編程自動(dòng)運(yùn)算。采用最小二乘法可以較方便的采用辦公軟件就可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)運(yùn)算，大大降低了平面度誤差的求解難度。

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