基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法

孫攀旭　楊紅　劉慶林

摘? ?要：針對復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程自由振動(dòng)解中存在發(fā)散項(xiàng)，導(dǎo)致其不可計(jì)算結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)，同時(shí)基于復(fù)阻尼模型的時(shí)域計(jì)算結(jié)果不能穩(wěn)定收斂的問題，在復(fù)阻尼模型的基礎(chǔ)上，利用時(shí)頻域轉(zhuǎn)換得到改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程;引入地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的假定，利用改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的特點(diǎn)，提出地震作用下基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法.算例分析表明：相比復(fù)阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程，改進(jìn)的時(shí)域方程可適用于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算，且計(jì)算得到的地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)是穩(wěn)定收斂的;相比基于改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的傅里葉級數(shù)法，本文提出的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法計(jì)算量更少，計(jì)算效率更高. 隨著阻尼比的增大，復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域方法和黏性阻尼模型的時(shí)域方法計(jì)算結(jié)果差異逐漸增大.當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比為0.5時(shí)，在部分地震波作用下兩種方法計(jì)算得到的加速度峰值相對誤差可達(dá)到20%以上.

關(guān)鍵詞：復(fù)阻尼;改進(jìn);地震作用;時(shí)域;黏性阻尼

中圖分類號：TU311.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Improved Time Domain Calculation Method Based

on Complex Damping Model

SUN Panxu1，YANG Hong1，2，LIU Qinglin3

（1. School of Civil Engineering，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area

of the Ministry of Education，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

3. School of Traffic and Engineering，Shenzhen Institute of Information Technology，Shenzhen 518172，China）

Abstract：There are divergent items in the free vibration solution of complex damping vibration equation. The structural free vibration responses cannot be calculated based on complex damping model， and the structural time domain calculation results are not stably convergent. On the basis of the complex damping model， the improved time domain motion equation can be obtained by time and frequency domain transformation. In the time step， it is assumed that the relationship of earthquake acceleration is linear. By the characteristics of the improved motion equation， the improved time domain calculation method under earthquake action is put forward. The cases show that， compared with the time domain motion equation of complex damping model， the improved time domain motion equation can be applied to the time domain calculation of structural free vibration responses. The structural time domain calculation results are stably convergent under earthquake action. Compared with the Fourier series method， the calculation amount of the proposed method is less and the computational efficiency of the proposed method is higher. With the increase of damping ratio， the difference between the improved time domain calculation method of complex damping model and the time domain calculation method of viscous damping model is increasing gradually. When the damping ratio is 0.5， the biggest relative error of structural acceleration peak values which are calculated by the two methods is over 20% under some seismic wave.

Key words：complex damping;improved;earthquake action;time domain;viscous damping

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中，基于黏性阻尼模型的Rayleigh阻尼模型由于數(shù)學(xué)處理的便利性得到了廣泛應(yīng)用[1]，但Rayleigh阻尼模型的計(jì)算結(jié)果與所選取的控制頻率有關(guān)，其合理性不易被判定[2]. 相比黏性阻尼模型，復(fù)阻尼模型的計(jì)算結(jié)果僅依賴于結(jié)構(gòu)材料的阻尼特性，不受結(jié)構(gòu)自振頻率組合選擇的影響，計(jì)算結(jié)果的合理性易被判定[3]. 復(fù)阻尼模型認(rèn)為阻尼力與位移成正比，且滯后一個(gè)相位角，在穩(wěn)態(tài)簡諧振動(dòng)中得到每周耗能與頻率無關(guān)，但其運(yùn)動(dòng)方程的自由振動(dòng)解存在發(fā)散項(xiàng)[4]. 朱敏[5]、李鵬[6]等采用常平均加速度法對復(fù)阻尼方程求解;潘玉華等[7]采用高斯精細(xì)時(shí)程積分法求解復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程;張輝東等[8]采用 積分法研究了復(fù)阻尼模型結(jié)構(gòu)彈性時(shí)程響應(yīng)，由于復(fù)阻尼模型時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程通解中存在發(fā)散項(xiàng)，導(dǎo)致上述方法的計(jì)算結(jié)果存在不穩(wěn)定性;朱鏡清等[9-10]舍棄通解中發(fā)散項(xiàng)的計(jì)算方法，雖然保證了計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，但是在數(shù)學(xué)上是不正確的[11].為消除不穩(wěn)定問題，部分學(xué)者對復(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行改進(jìn)，或依據(jù)新阻尼模型構(gòu)建運(yùn)動(dòng)方程. Reggio等[12]將Maxwell-Wiechert本構(gòu)模型等效于復(fù)阻尼本構(gòu)模型;周正華等[13]采用Maxwell-Kelvin型本構(gòu)逼近復(fù)阻尼本構(gòu);Wang[14]采用Rayleigh阻尼矩陣等效復(fù)阻尼矩陣;Lee等[15]將黏性阻尼理論與復(fù)阻尼模型相結(jié)合;尚守平等[16]提出阻尼力與加速度成正比，進(jìn)而得到新的運(yùn)動(dòng)方程;Pan等[17]研究了卷積型阻尼運(yùn)動(dòng)方程的構(gòu)建和求解，但上述方法得到的計(jì)算結(jié)果與復(fù)阻尼模型存在一定的誤差.

針對復(fù)阻尼模型自由振動(dòng)解中包含發(fā)散項(xiàng)的問題，本文在不改變復(fù)阻尼模型的物理本質(zhì)基礎(chǔ)上，利用時(shí)頻域轉(zhuǎn)換原則，得到復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式，使得自由振動(dòng)解中不再含有指數(shù)增長項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)自由振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算;依據(jù)運(yùn)動(dòng)方程的特點(diǎn)，引入地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的假定，進(jìn)一步提出了復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法，可計(jì)算地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng).

1? ?復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法

1.1? ?復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程

基于復(fù)阻尼模型的時(shí)域自由運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：η為損耗因子;i為虛數(shù)單位，即i = ;ω為結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)頻率，即ω = .

方程（1）對應(yīng)的特征方程為：

令λ =? χ + iδ，則：

依據(jù)式（3），可知方程（1）的通解實(shí)部為：

由χ2 > 0，可知式（4）右邊項(xiàng)中包含有指數(shù)增長項(xiàng)，即發(fā)散項(xiàng)，因此基于復(fù)阻尼模型的時(shí)域自由運(yùn)動(dòng)方程為病態(tài)方程，通解中包含有發(fā)散項(xiàng)，導(dǎo)致復(fù)阻尼模型無法計(jì)算自由振動(dòng)響應(yīng).

針對復(fù)阻尼模型的缺陷，對其進(jìn)行改進(jìn).地震作用下基于復(fù)阻尼模型的單自由度體系時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：g（t）為地震加速度，利用復(fù)化對偶原則[18]可得到g′（t）.

對方程（5）進(jìn)行傅里葉變換，可得：

式中：為振動(dòng)頻率;（i）為x（t）的傅里葉變換;

G（i）為g（t）的傅里葉變換.

振動(dòng)頻率不為零時(shí)，方程（6）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

對方程（7）進(jìn)行傅里葉逆變換，可得復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程為：

方程（8）在實(shí)數(shù)域中的表達(dá)式為：

1.2? ?結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng)

方程（9）對應(yīng)的自由振動(dòng)方程為：

采用復(fù)平面法求解方程（10），假定其解為：

x（t） = Ae? ? ?（11）

由式（11）可得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率為：

= α? ? ?（12）

由式（11）可得：

（t） = i（α + iβ）Ae（t） = -（α + iβ）2Ae? ? ? ? （13）

將式（11）和式（13）代入方程（10），得：

-（α + iβ）2 + i（α + iβ） + ω2 = 0? ? ?（14）

式（14）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

-α2 + β2 - β + ω2 = 0-2αβ + α = 0? ? ? ? （15）

求解方程（15），可得：

α1=ω，β1=α2=-ω，β2=

（16）

自由振動(dòng)響應(yīng)的表達(dá)式為：

x（t） = [C1cos（f t） + C2sin（f t）]e? ? （17）

其中：

C1 = x（t0）C2 = f? = ? ?（18）

式（17）中不包含發(fā)散項(xiàng)，因此復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域方程可計(jì)算結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng).

1.3? ?地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)

對于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程，考慮到阻尼項(xiàng)中包含有結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率，而結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率為未知項(xiàng)，因此傳統(tǒng)的常平均加速度法、 Newmark-β法等時(shí)程計(jì)算方法不能直接用于其時(shí)域計(jì)算.

將時(shí)間離散化，按照時(shí)間步長Δt對時(shí)間進(jìn)行離散，任意時(shí)刻可表示為tk = kΔt（k = 0，1，2，…）. 謝禮立等[19-20]提出了基于黏性阻尼模型的時(shí)域精確法，用于計(jì)算地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，假定地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的，以tk時(shí)刻的位移和速度作為初值，計(jì)算tk+1時(shí)刻的位移、速度和加速度，進(jìn)而完成時(shí)域數(shù)值計(jì)算.本文引入地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的假定，在tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻，地震加速度可表示為：

g（t） = g（tk） + （t - tk）? ?（19）

依據(jù)式（19），tk時(shí)刻到tk+1時(shí)刻，地震作用下基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程可進(jìn)一步表示為：

（）+（）+ω2x（）=

-g（tk）-? ?（20）

其中，

= 0，t = tkΔt，t = tk+1? ? （21）

方程（20）對應(yīng)的齊次方程通解與自由振動(dòng)解形式相同，即：

xc（） = e[C1sin（f ） + C2cos（f ）]? ? （22）

求解方程（20）的特解時(shí)，考慮到地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的，沒有振動(dòng)頻率，因此結(jié)構(gòu)在每個(gè)時(shí)間步長內(nèi)僅含有一種振動(dòng)頻率，即有阻尼自由振動(dòng)頻率，可得：

= f? = ? ? （23）

假定結(jié)構(gòu)的特解為：

xp（） = a + b? ? （24）

由式（24）可得：

p（） = ap（） = 0? ? （25）

將式（23）～（25）代入方程（20）可得：

a+ω2（a+b）=-g（tk）-? ?（26）

求解方程（26），可得：

a = -b = ?- ? ? （27）

方程（20）的特解為：

xp（t） = - + -

（28）

由式（22）和（28）得到方程（20）的通解為：

x（） = e[C1sin（f ）+C2cos（f ）] -+

-

（29）

（） = e[C1f cos（f ）-C2f sin（f ）] +

（-）e[C1 sin（f ）+C2 cos（f ）] -

（30）

進(jìn)一步計(jì)算出tk+1時(shí)刻的位移、速度和加速度為：

x（tk+1）=e[C1sin（f Δt）+C2cos（f Δt）] -+

-

（31）

（tk+1） = e[C1f cos（f Δt）-C2f sin（f Δt）] +

（-）e[C1 sin（f Δt）+C2 cos（f Δt）] -

（32）

（tk+1） = e[-C1f2 sin（f Δt）-C2f2 cos（f Δt）] +

2（-）e[C1f cos（f Δt）-C2 f sin（f Δt）]×

（-）2e[C1 sin（f Δt）+C2 cos（f Δt）]

（33）

其中：

C1=[x（tk）+（tk）-+? ? ?g（tk）+] C2=x（tk）-+

（34）

依據(jù)式（31）～（34），由tk時(shí)刻結(jié)構(gòu)的x（tk）和

（tk），可計(jì)算出tk+1時(shí)刻x（tk+1）、（tk+1）和（tk+1），從而實(shí)現(xiàn)基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法.

2? ?復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法驗(yàn)證分析

2.1? ?自由振動(dòng)響應(yīng)的驗(yàn)證分析

以結(jié)構(gòu)自振頻率為4 rad/s的單自由度體系為例，分別構(gòu)建模型A、模型B、模型C和模型D，4種模型僅阻尼比不同. 模型A的阻尼比ξ = 0.02，損耗因子η = 2ξ = 0.04[3];模型B的阻尼比ξ = 0.05，損耗因子η = 2ξ = 0.10;模型C的阻尼比ξ = 0.10，損耗因子η = 2ξ = 0.20;模型D的阻尼比ξ = 0.20，損耗因子η = 2ξ = 0.40. 4種模型的初始位移為10 cm，初始速度為10 cm/s，利用本文方法計(jì)算其自由振動(dòng)響應(yīng)，所得結(jié)果如圖1所示.相比復(fù)阻尼模型的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程，改進(jìn)的時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程可計(jì)算自由振動(dòng)響應(yīng)，不存在發(fā)散現(xiàn)象.隨著阻尼比的增加，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)的收斂速度增大，與實(shí)際相符.

2.2? ?地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)驗(yàn)證分析

目前，地震加速度時(shí)程采用三角多項(xiàng)式逼近已經(jīng)是一種常用的數(shù)值方法，借助于快速傅里葉變換方法，可快速確定三角多項(xiàng)式中的參數(shù)，地震作用加速度可采用三角多項(xiàng)式展開[21].

式中：A0為常數(shù);Ai和Bi為三角插值公式系數(shù);θi為諧波頻率.

將式（35）代入方程（9）可得：

依據(jù)方程（36）可實(shí)現(xiàn)基于改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的傅里葉級數(shù)法，完成地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算.

單自由度體系的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài)，利用本文提出的基于改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的時(shí)域計(jì)算方法（PZ1）和基于改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的傅里葉級數(shù)法（PZ2），計(jì)算其在地震作用下的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)，所得結(jié)果如圖2和圖3所示. 其中，El Centro 波東西分量，采樣周期為0.02 s，歷時(shí)40 s;Taft波南北分量，采樣周期為0.02 s，歷時(shí)54 s.本文方法計(jì)算的加速度最大值相對誤差較?。ㄒ姳?和表2），證明了本文方法的正確性.El Centro 波東西分量作用下，本文方法的計(jì)算耗時(shí)為3 s，傅里葉級數(shù)法的計(jì)算耗時(shí)為110 s;Taft波南北分量作用下，本文方法的計(jì)算耗時(shí)為5 s，傅里葉級數(shù)法的計(jì)算耗時(shí)為380 s.因此，相比傅里葉級數(shù)法，本文方法的計(jì)算量更少，計(jì)算效率更高.

3? ?與黏性阻尼模型時(shí)域計(jì)算結(jié)果的對比分析

黏性阻尼模型存在每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率相關(guān)的特點(diǎn)[22-23]，這與大部分材料在實(shí)驗(yàn)中每周期耗散能量與外頻率無關(guān)的現(xiàn)象不一致[24]，能夠更真實(shí)地描述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的復(fù)阻尼模型具有每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，但其自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的通解中存在發(fā)散項(xiàng)，造成復(fù)阻尼模型時(shí)程迭代計(jì)算結(jié)果不收斂.復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程保留了每周期耗散能量與外激勵(lì)頻率無關(guān)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)保證了自由振動(dòng)響應(yīng)的穩(wěn)定收斂.因此，基于黏性阻尼模型和復(fù)阻尼模型的阻尼力是不同的，隨著阻尼比的增大，兩種阻尼模型得到的阻尼力差異逐漸增大，導(dǎo)致動(dòng)力響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算結(jié)果差異逐漸增大，當(dāng)阻尼比較大時(shí)，其差異不可忽略.

單自由度體系的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài)，利用本文提出的基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法（PZ1）、基于復(fù)阻尼模型的高斯精細(xì)積分法（FZ）[7]和基于黏性阻尼模型的時(shí)域精確法（NZ）[19-20]，計(jì)算其在El Centro 波東西分量作用下的動(dòng)力響應(yīng)，所得結(jié)果如圖4所示. 小阻尼情況下，隨著地震作用時(shí)間的增大，PZ1、FZ和NZ的時(shí)域計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定收斂，且近似相等.當(dāng)阻尼比增大時(shí)，隨著地震作用時(shí)間的增加，F(xiàn)Z的時(shí)域計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象.因此復(fù)阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法僅能適用于阻尼比較小和地震作用時(shí)間較短的結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算分析.利用PZ1和NZ計(jì)算不同阻尼比下自振頻率為4 rad/s的單自由度體系加速度峰值，計(jì)算結(jié)果如圖5所示. 隨著阻尼比的增大，PZ1和NZ的計(jì)算結(jié)果差別逐漸增大，與理論分析結(jié)果一致. 當(dāng)阻尼比為0.5時(shí)，分別采用PZ1和NZ計(jì)算不同自振頻率的單自由度體系加速度峰值，計(jì)算結(jié)果如圖6所示.在El Centro波東西分量作用下，PZ1和NZ計(jì)算得到的加速度峰值相對誤差最大可達(dá)到30.12%;在遷安波東西分量作用下，PZ1和NZ計(jì)算得到的加速度峰值相對誤差最大可達(dá)到26.60%，差異不可忽略.

4? ?結(jié)? ?論

經(jīng)過理論推導(dǎo)和算例分析，得出如下結(jié)論：

1）為克服復(fù)阻尼模型不能計(jì)算結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)

響應(yīng)的缺點(diǎn)，在不改變復(fù)阻尼模型的物理本質(zhì)基礎(chǔ)上，利用時(shí)頻域轉(zhuǎn)換原則構(gòu)建了復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式，可剔除通解中發(fā)散項(xiàng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自由振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)域計(jì)算.

2）依據(jù)基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程

特點(diǎn)，引入地震加速度在時(shí)間步長內(nèi)是線性變化的假定，提出了相應(yīng)的時(shí)域計(jì)算方法，可計(jì)算地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，且計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定收斂.同時(shí)，相比基于改進(jìn)時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程的傅里葉級數(shù)法，本文提出的時(shí)域計(jì)算方法計(jì)算量更少，計(jì)算效率更高.

3）小阻尼情況下，基于復(fù)阻尼模型的改進(jìn)時(shí)域計(jì)算方法和基于黏性阻尼模型的時(shí)域計(jì)算方法得到的結(jié)果近似相等，隨著阻尼比的增大，兩種方法的計(jì)算結(jié)果差異逐漸增大，當(dāng)阻尼比較大時(shí)，其差異不可忽略.

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