函數(shù)概念教學(xué)研究

顧思敏 廖運(yùn)章

[摘? ?要]函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一.以“對應(yīng)”為主線展開函數(shù)概念教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)本質(zhì).

[關(guān)鍵詞]函數(shù);概念;對應(yīng)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）32-0001-02

一、問題的提出

函數(shù)作為貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，其重要性毋庸置疑.函數(shù)概念是函數(shù)的核心內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)，但由于其本身的抽象性，被公認(rèn)為是最難教的概念之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）的基本理念之一是“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”.教學(xué)函數(shù)概念時(shí)，必須創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)概念的本質(zhì).

“對應(yīng)”是函數(shù)概念始終保持不變的屬性.對應(yīng)指的是對給定的集合[A]和[B]，如果存在一個關(guān)系[f]，對于集合[A]的任意一個元素[a]，根據(jù)關(guān)系[f]，得到集合[B]中的一個（或多個）元素[b]，那么稱這個關(guān)系[f]為從[A]到[B]的一個對應(yīng).“非空數(shù)集”和“單值對應(yīng)”都不是函數(shù)概念始終保持不變的屬性.中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)是單值函數(shù)，且為了降低中學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，將函數(shù)限定在數(shù)集上，其本質(zhì)仍然是對應(yīng).

本文以“對應(yīng)”為主線，設(shè)計(jì)函數(shù)概念的教學(xué)過程，讓數(shù)學(xué)概念的教學(xué)回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)中去.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)說明

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)定義以及一些簡單的函數(shù)，對函數(shù)有基本的了解.初中函數(shù)是“變量說”定義，高中是“對應(yīng)說”定義，兩者的描述方式不同，但本質(zhì)相同.初中描述的兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，高中強(qiáng)調(diào)的是兩個數(shù)集間元素的對應(yīng)關(guān)系，并用抽象的符號[f]表示.高中函數(shù)概念的核心是對應(yīng)關(guān)系，在教學(xué)中要圍繞“對應(yīng)”關(guān)系展開.

（二）教學(xué)目標(biāo)

新課標(biāo)要求在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單的定義域.此外，掌握函數(shù)的本質(zhì)，并學(xué)會利用函數(shù)本質(zhì)去判斷兩函數(shù)是否相同.

（三）教學(xué)過程

根據(jù)教材的編排特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，將本節(jié)課的教學(xué)流程設(shè)計(jì)如下.

1. 實(shí)際問題驅(qū)動，抽象出函數(shù)的概念

問題1： 函數(shù)在初中已經(jīng)學(xué)過，大家還能回想起初中的函數(shù)定義嗎？能舉幾個函數(shù)的例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧初中函數(shù)概念，為接下來學(xué)習(xí)函數(shù)概念做好鋪墊.此外，讓學(xué)生自己舉例，教師可從中了解學(xué)生對函數(shù)的理解情況.

問題2： 剛剛同學(xué)們列舉了一些函數(shù)，能講講你們是如何判斷它們是函數(shù)的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的判斷理由中，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的掌握情況.若學(xué)生的理由不恰當(dāng)，教師可以根據(jù)學(xué)生對函數(shù)的錯誤理解，適時(shí)列舉出相應(yīng)的例子讓學(xué)生思考，糾正錯誤，讓學(xué)生清楚函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng)，只有當(dāng)“每一個[x]值都有唯一確定的[y]值與其對應(yīng)”時(shí)，它才是函數(shù).

問題3： 一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)26秒后落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845米，且炮彈距地面高度[h]（單位：m）隨時(shí)間[t]（單位：s）的變化規(guī)律是[h=130t-5t2].當(dāng)炮彈飛行時(shí)間為[3 s]時(shí)，炮彈距地面高度[h]為多少？[6 s]，[9 s]呢？炮彈距地面的高度[h]是時(shí)間[t]的函數(shù)嗎？

問題4： 近幾十年來，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題，圖1中的曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.當(dāng)臭氧層空洞面積[S=15]時(shí)，時(shí)間[t]為多少？此時(shí)，臭氧層空洞面積[S]是時(shí)間[t]的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)[S=15]時(shí)，有3個時(shí)間[t]與其對應(yīng).此時(shí)，通過設(shè)置第2問，讓學(xué)生知道當(dāng)[y]是[x]的函數(shù)時(shí)，可以有多個[x]對應(yīng)同一個[y].

問題5： 國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表1中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間（年）變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.令時(shí)間為[t]，恩格爾系數(shù)為[k]，當(dāng)恩格爾系數(shù)[k=49.9]時(shí)，時(shí)間[t]為多少？此時(shí)，系數(shù)[k]是時(shí)間[t]的函數(shù)嗎？反過來，時(shí)間[t]是系數(shù)[k]的函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)[k=49.9]時(shí)，[t]為1994和1995.通過例2學(xué)生知道可以多對一.通過反問，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)本質(zhì).當(dāng)[y]是[x]的函數(shù)時(shí)，同一個[x]不可以對應(yīng)多個[y].這時(shí)教師強(qiáng)調(diào)函數(shù)關(guān)系中數(shù)值之間的對應(yīng)可以“一對一”“多對一”，但不可以“一對多”.

問題6： 剛剛我們在判斷兩個變量[x]與[y]之間是否構(gòu)成函數(shù)時(shí)，我們根據(jù)的是每一個[x]值是否有唯一確定的[y]值與其對應(yīng).這時(shí)，兩變量之間有什么關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：目的是引出“對應(yīng)關(guān)系”，在上述問題中，變量之間形成一種對應(yīng)的關(guān)系，它們是這樣對應(yīng)：對于[x]的每一個值，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，[y]都有唯一確定的值與其對應(yīng).

問題7： 初中函數(shù)概念是從變量角度來描述的，但是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家對函數(shù)概念的理解不斷深入，函數(shù)概念已經(jīng)不僅僅只能從變量的觀點(diǎn)出發(fā).在本章我們學(xué)習(xí)了集合，是否可以用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言來描述這三個函數(shù)，將自變量與因變量的取值范圍用集合來表示？

設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生自己用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言來描述函數(shù)，讓學(xué)生了解到不同角度的函數(shù)概念，兩者只是描述方式不同，本質(zhì)并無區(qū)別.

問題8： 剛剛我們用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言來描述上述函數(shù)，它們之間有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：通過分析、歸納概括出它們之間的共同屬性，進(jìn)而抽象出函數(shù)概念.

2. 視覺化呈現(xiàn)，理解“對應(yīng)是函數(shù)概念始終保持不變的屬性”

一般地，設(shè)[A]，[B]為非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系[f]，使對于集合[A]中的任意一個數(shù)[x]，在集合[B]中都有唯一確定的數(shù)[f（x）]和它對應(yīng)，那么就稱[f：A→B]為從集合[A]到集合[B]的一個函數(shù).記作[y=f（x）b ，x∈A].其中，[x]叫作自變量，[x]的取值范圍[A]叫作函數(shù)的定義域.與[x]的值相對應(yīng)的[y]值叫作函數(shù)值，函數(shù)值集合[{f（x）x∈A}]叫作函數(shù)的值域.顯然，值域是集合[B]的子集.

“對應(yīng)關(guān)系[f] ”是數(shù)集[A]與數(shù)集[B]中元素之間的一種關(guān)系，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系[f]，對于任意一個[x∈A]，都有唯一確定的取值[f（x）∈B]和它對應(yīng).對應(yīng)關(guān)系[f]強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)的過程，即對應(yīng)的建立方式是多種多樣的，可以是解析式、圖像與表格，甚至解析式也不是唯一的.由于對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，統(tǒng)一用符號[f]只是表示對應(yīng)關(guān)系，也可以是[g]、[h]等.函數(shù)定義可由圖2表示.

設(shè)計(jì)意圖：高中函數(shù)定義之所以被公認(rèn)為教學(xué)難點(diǎn)，其中一部分原因是函數(shù)定義中大量的非本質(zhì)屬性的概念和符號，使學(xué)生對函數(shù)概念的形成產(chǎn)生困難.因此，為了凸顯出函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng)，用圖2來簡單表示函數(shù)定義，促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)本質(zhì).

3. 把握函數(shù)相等，鞏固函數(shù)概念

由函數(shù)的定義及圖2可得，定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域構(gòu)成一個函數(shù)，稱其為函數(shù)的三要素.其中值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定.因此，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等.其中“對應(yīng)關(guān)系完全一致”指的是：相同的[x]值對應(yīng)相同的[y]值.

4.舉例

設(shè)計(jì)意圖：“函數(shù)相等”是根據(jù)函數(shù)三要素來定義的，而函數(shù)三要素是函數(shù)定義的概括、濃縮，通過“判斷兩個函數(shù)是否相等”能夠促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念的理解.由“函數(shù)相等”定義可知，定義域和對應(yīng)關(guān)系是決定兩個函數(shù)是否相等的關(guān)鍵因素.定義域不同，兩個函數(shù)一定不相等，學(xué)生對于這一點(diǎn)掌握得較好.需要重點(diǎn)掌握的是對應(yīng)關(guān)系，不少學(xué)生存在經(jīng)驗(yàn)性的解析式認(rèn)知，把解析式等同于對應(yīng)關(guān)系.解析式相同，對應(yīng)關(guān)系一定相同，但是解析式不同，對應(yīng)關(guān)系也可能相同.運(yùn)用函數(shù)相等，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到對應(yīng)關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)的過程.不管兩個函數(shù)的表達(dá)形式如何，只要數(shù)值間的對應(yīng)是相同的，那么這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系就相同.

5. 設(shè)計(jì)說明

本文緊緊圍繞函數(shù)的本質(zhì)“對應(yīng)”展開教學(xué).首先回顧初中函數(shù)概念，并通過讓學(xué)生在判斷函數(shù)的過程中，一步一步地讓學(xué)生知道中學(xué)函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng)，以及對應(yīng)的類型是“一對一”“多對一”，但不可以“一對多”或“多對多”;接著讓學(xué)生用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言來描述函數(shù)，初步接觸高中函數(shù)概念的描述方法，分析歸納出函數(shù)概念的共同屬性，形成完整的函數(shù)概念;然后借助圖2來表達(dá)抽象的函數(shù)定義，以幫助學(xué)生理解函數(shù)描述的是數(shù)集間元素的對應(yīng)關(guān)系.

最后，在“函數(shù)相等”中，進(jìn)一步體現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì)，讓學(xué)生清楚函數(shù)的本質(zhì)是解題的關(guān)鍵，與函數(shù)的表示方法無關(guān).由此讓學(xué)生理解“對應(yīng)”才是函數(shù)概念始終保持不變的屬性.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）