駱新江,張忠海
(杭州電子科技大學 電子信息學院,杭州 310018)
電磁場與電磁波課程是電子信息類學科發(fā)展的基礎,如通信、電子、電氣工程、機電、生物等[1-5]。然而,電磁場與電磁波課程是目前公認的教師難教、學生難學的一門課程[6-7]。大量物理實驗固然可以幫助學生理解相關概念和理論,但是弊端也是顯而易見的,一方面設備費用極為昂貴,還需要額外配置場地;另一方面還受時間和地點的限制[7]。商用電磁場與電磁波仿真軟件的發(fā)展已經(jīng)可以非常精確地模擬相關工程實際[8-12]。采用虛擬仿真實驗不僅能夠達到物理實驗的效果,而且還可以將場分布可視化呈現(xiàn)出來,這一點是物理實驗所無法比擬的?;谔摂M仿真實驗的這些優(yōu)點,所以近些年來出現(xiàn)了不少的成功案例[13-17],但大多數(shù)案例都是針對某個單一理論而設計的,所以學習效率較低,且對學生綜合應用能力的培養(yǎng)作用不大。本文構建了同軸傳輸線特性阻抗綜合實驗,將均勻平面波理論、傳輸線理論、靜電場理論和靜磁場理論柔合在一起。同時,考慮到同軸傳輸線是射頻微波系統(tǒng)中最為常用的傳輸線之一,它不僅用于各種微波設備間的連接線,而且還常制作成各種微波器件,如同軸濾波器、同軸分配器、同軸天線、同軸開關等。
如圖1所示,同軸線由內(nèi)、外導體和內(nèi)部介質填充物構成。設導體均為理想導體,內(nèi)導體的半徑為a,外導體的內(nèi)半徑為b;介質為理想電介質,介電常數(shù)為ε(等于相對介電常數(shù)εr和真空介電常數(shù)ε0的乘積),磁導率為μ(等于相對介電常數(shù)μr和真空介電常數(shù)μ0的乘積)。
(a)三維示意圖
(b)橫截面示意圖
基于以上假設的同軸線為無耗理想傳輸線,所以同軸線中傳播的是橫電磁波,因此同軸線中的電場和磁場滿足以下波動方程[18]
(1)
式中,下標t代表橫向。柱坐標下上式可寫為
(2)
引入標量電位函數(shù)Φ(r,φ),則在同軸線縱向z位置處的橫截面上,電場和電位的關系為
(3)
代入式(2),結合場的對稱性可推得同軸線內(nèi)電位所滿足的拉普拉斯方程
(4)
通解為
Φ=A·lnr+B
(5)
式中:A,B為待定常數(shù),代入邊界條件,并利用式(3)可解得電場分布。由獲得的電場分布,再利用麥克斯韋方程中的法拉第電磁感應定律可求得磁場分布。將兩解寫在一起,即
(6)
根據(jù)求得的電場和磁場可以求出電壓U和電流I的分布:
(7)
從而可知特性阻抗為:
(8)
對大多數(shù)材料而言,相對磁導率μr≈1[18],因此對于此類電介質構成的同軸線特性阻抗可以寫為
(9)
以上從“場”的角度,利用均勻平面波傳輸理論,闡述了同軸特性阻抗的物理實質。下面用“路”的理論再來解釋。
實踐證明,當電路尺寸遠小于傳輸波長時,電路分析理論是正確的?;诖?,為了利用電路理論分析傳輸線,可將一根傳輸線看成是由若干段無限短的傳輸線組成,使每段傳輸線的物理長度都遠小于傳播的電波長,這時就可以將每段傳輸線用等效的集總參數(shù)電路來表示了,于是就可以用電路理論對每段傳輸線進行分析了。
取出一小段長度為Δz的傳輸線,其等效電路如圖2所示[18]。圖中:L為分布電感,即單位距離電感;C為分布電容,即單位距離電容。則長度為Δz的傳輸線具有總的電感量為L·Δz,總的電容量為C·Δz。兩端電壓電流分布如圖2所示。利用基爾霍夫電壓定律和電流定律分析此等效電路,傳輸線方程
圖2 無耗傳輸線Δz線段等效電路圖
(10)
將耦合的電壓和電流分離后可得電壓和電流的波動方程
(11)
上述波動方程的通解同樣為入射波+反射波的形式,即
(12)
根據(jù)傳輸線特性阻抗的定義式:
Z0=U+/I+=-U-/I-
可推得無耗傳輸線的特性阻抗為:
(13)
可知,如果能夠知道傳輸線的分布電容和分布電感,就可以求得特性阻抗。
由電磁場與電磁波理論可知,分布電容和分布電感可以利用靜態(tài)場知識求得。
設同軸線導體上的線電荷密度為ρl,取如圖1中所示的高度為1個單位,半徑為ρ的高斯面,即虛線位置。對此高斯面利用靜電場高斯定律,可求得同軸線中的電場分布為
(14)
從而由電壓與電場關系可求得兩導體之間的電壓為
(15)
再利用電容定義式,即可求得分布電容。
(16)
由于各導體的內(nèi)自感與外自感相比很小,故忽略不計,這里只考慮外自感。假設,通過如圖1所示的同軸線內(nèi)外導體的電流強度均為i,方向相反。則由安培環(huán)路定律可知,在圖1半徑為ρ的圓周上磁感應強度B的分布為
(17)
則穿過半徑為ρ,寬度為dρ的圓環(huán)的磁鏈dψ為
(18)
于是可求得穿過介質總的磁鏈,也是同內(nèi)導體電流的交鏈
(19)
從而由電感的定義式可求得分布電感
(20)
將式(16)和式(20)代入式(13),并注意到ε=ε0εr,μ=μ0μr,μr≈1(大多數(shù)通用媒質都滿足此條件),所以,同軸特性阻抗為
此結果和利用場論推導的結果(見式(9))完全一致。
設置了4組同軸線實驗,如表1所示。為方便比較,理論值和仿真值并列放置。表中前3個參數(shù),即同軸線結構尺寸a和b值以及相對介電常數(shù)εr都是可以改變的。這3個參數(shù)每改變1個,就是對應1條新的同軸線。此表格建議在Excel軟件環(huán)境下建立,并將理論值按照相應公式編輯好,這樣表中前3個物理參數(shù)(a、b和εr)每改變1次,相對應的特性參數(shù)(C、L和Z0)理論值就能及時反應出來,無需重復人工計算。同樣特性阻抗的計算值,按相應仿真值編輯好公式,這樣將每次分布參數(shù)的仿真結果填入表格后,特性阻抗的計算值也會自動算出。
表1中仿真值是用電磁場仿真軟件實現(xiàn)的,采用的是ANSYS Maxwell v16來完成的。
分布電容的仿真可用二維靜態(tài)場求解。首先,在ANSYS Maxwell v16中建立二維同軸線模型如圖3所示,求解類型選擇“Electrostatic”,由于是無耗理想傳輸線,所以內(nèi)外導體設置為理想導體,介質材料不考慮損耗。建議將結構參數(shù)(a和b)和介質參數(shù)(εr和μr)全部參數(shù)化,這樣就無需重復建模了,只需改變參數(shù)值就可以生成新的模型;然后給模型添加激勵,這里選擇給內(nèi)外導體加電壓值;接著指定求解區(qū)域,初始化網(wǎng)格而后運行仿真就可以了;最后,觀察仿真結果。ANSYS Maxwell v16可以觀察到各種場結構,但這里僅給出電通量密度的標量和矢量分布圖,如圖3(a)和(b)所示,就是表1中第1組同軸線數(shù)據(jù)的仿真結果。通過對電通量密度場D分布的觀察可以發(fā)現(xiàn)其場結構是符合理論分析的。圖3(c)為分布電容值的觀察界面,其分布電容值為80.278 pF/m。其他3組同軸線分布電容仿真值見表1。
將求解類型設置為靜磁場類型“Megnetostatic”,激勵條件改為內(nèi)導體加電流源,外邊界即外導體的內(nèi)壁磁矢位A設置為0,然后求解仿真即可。求解后同樣可以觀察各種場結構的分布。表1中第1組同軸線仿真結果如圖4所示。這里僅給出磁感應強度的標量和矢量分布情況,分別如圖4(a)和(b)所示,分布電感值為138.59 nH/m,如圖4(c)所示。其他3組同軸線分布電感仿真值見表1所示。
表1 同軸線分參數(shù)
(a)電通量密度D標量分布
(b)電通量密度D矢量分布
按照2.2節(jié)和2.3節(jié)的仿真方法可以仿真出其他各組同軸線的分布電容值C和分布電感值L,將其代入到表1相應位置中,特性阻抗值Z0就可以自動算出,其結果如表1所示。
通過表1各組特性阻抗計算結果對比,很容易發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律:① 在其他參數(shù)不變的情況下,特性阻抗隨b/a比值增大而增大。② 在其他參數(shù)不變的情況下,隨材料介電常數(shù)增大而減小。這兩個規(guī)律在射頻與微波電路分析中是非常有用的。
(a)磁感應強度B標量分布
(b)磁感應強度B矢量分布
(c)分布電感L
從場和“路”兩方面對傳輸線特性阻抗的求解進行了理論分析與比較,而后根據(jù)所得結論,構建了計算特性阻抗的實驗方案,并用靜態(tài)電磁場理論推導了無耗同軸傳輸線的分布電容和分布電感的表達式。最終借助ANSYS Maxwell v16不僅完成了分布電容、分布電感和特性阻抗的計算,還觀察了傳輸線內(nèi)部電通量密度和磁感應強度這兩種場結構的分布狀態(tài)。本次實驗成功地將均勻平面波傳播理論、傳輸線理論、靜態(tài)電場理論和靜態(tài)磁場理論融合到實踐當中,揭露了特性阻抗本質與表象的關系。因此,本實驗是對所學電磁場與電磁波相關理論的一個綜合應用,本實驗方法可以推廣到任何已知和未知的TEM波傳輸線特性阻抗計算中去。
本次實驗將理論值與仿真實驗全部放在同一張Excel表格中完成設置,特別有利于比較和總結規(guī)律。