土層參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)場(chǎng)地放大因子的影響分析

劉詩堯

摘要：以Turkey?Flat標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)場(chǎng)為基準(zhǔn)場(chǎng)地，以Toro剪切波速模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行Monte?Carlo模擬，生成剪切波速、層厚和密度隨機(jī)樣本各200條，將各土層隨機(jī)參數(shù)組成4個(gè)工況作為不確定分析的基礎(chǔ)。采用常用的四分之一波長法和傳遞函數(shù)法計(jì)算場(chǎng)地放大因子，分析放大因子以及特征周期對(duì)4種工況的敏感度。結(jié)果表明：土層剪切波速、層厚和密度的隨機(jī)性對(duì)2種方法計(jì)算得到場(chǎng)地放大因子有相同的影響;剪切波速的隨機(jī)性對(duì)放大因子和特征頻率的影響比其他參數(shù)大;四分之一波長法得到的放大因子和特征頻率對(duì)土層各參數(shù)的敏感性弱于傳遞函數(shù)方法。

關(guān)鍵詞：敏感性分析;場(chǎng)地放大因子;剪切波速隨機(jī)模型;四分之一波長法;傳遞函數(shù)

中圖分類號(hào)：TO411?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號(hào)：1000-0666（2019）04-0562-07

0?引言

在地震工程中，局部地質(zhì)條件和巖土力學(xué)性質(zhì)的差異影響著地震動(dòng)的幅值、頻譜和持時(shí)?？紤]場(chǎng)地效應(yīng)時(shí)，可以使用基于實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄的譜比法和基于土層鉆孔數(shù)據(jù)的理論分析法。進(jìn)行場(chǎng)地地震反應(yīng)分析時(shí)會(huì)存在較大的不確定性，包括：場(chǎng)地模型的不確定性、地震動(dòng)輸入的不確定性以及數(shù)值計(jì)算模型的不確定性等。

本文主要討論場(chǎng)地模型的不確定性，其中土層參數(shù)包括剪切波速、土層厚度和土層密度。這些不確定性主要來源2方面：同類場(chǎng)地在不同地區(qū)的土層參數(shù)分布具有離散性;在同一場(chǎng)地對(duì)土層參數(shù)的測(cè)量誤差（陳龍偉等，2014）。Toro（1993）調(diào)查了全球411個(gè)場(chǎng)地土層結(jié)構(gòu)得到剪切波速和土層厚度的統(tǒng)計(jì)特征，并指出剪切波速呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

已有研究多數(shù)以傳遞函數(shù)或基于傳遞函數(shù)的等效線性法來估計(jì)場(chǎng)地模型的不確定性反應(yīng)，一般結(jié)論為剪切波速相對(duì)于其它土層參數(shù)對(duì)傳遞函數(shù)影響最大。而關(guān)于四分之一波長法的場(chǎng)地放大因子還沒有相關(guān)研究，該方法被廣泛應(yīng)用于計(jì)算高頻地震動(dòng)的場(chǎng)地反應(yīng)，所用場(chǎng)地模型是同一分類或者同一區(qū)域的場(chǎng)地?cái)M合所得土層結(jié)構(gòu)。本文以傳遞函數(shù)作為參考，考慮剪切波速、厚度和密度的隨機(jī)性對(duì)四分之一波長法放大因子的影響，同時(shí)比較傳遞函數(shù)法和四分之一波長法這2種方法對(duì)土層參數(shù)隨機(jī)性的敏感度。

1?研究方法

Joyner等（1981）提出四分之一波長法，它是一種計(jì)算頻率相關(guān)場(chǎng)地效應(yīng)的簡化方法。該方法可以忽略一些深度的土層結(jié)構(gòu)從而計(jì)算隨機(jī)合成地震動(dòng)中的場(chǎng)地項(xiàng)，假設(shè)不考慮波在土層中傳播的反射、散射和衰減，波的能量恒定且幅值與土層波阻抗的平方根成反比。Day（1996）用寬帶入射波的傳遞函數(shù)均方根反應(yīng)推導(dǎo)出了單均勻?qū)拥乃姆种徊ㄩL法。Boore和?Joyner（1997）提出相對(duì)應(yīng)場(chǎng)地模型結(jié)合高頻衰減因子計(jì)算出場(chǎng)地放大因子，并被廣泛應(yīng)用于高頻地震動(dòng)模擬的場(chǎng)地計(jì)算，關(guān)系式如下：

式中：Vb和ρb分別為基巖處的剪切波速和密度;V（z）和ρ（z）分別表示深度為z時(shí)土層的平均剪切波速與平均密度：

f（z）為不同深度對(duì)應(yīng)的頻率，其計(jì)算公式為：

式中：Stt（t）為剪切波從覆蓋層深度z到地表的傳播時(shí)間，具體計(jì)算公式為：

傳遞函數(shù)法則是由波動(dòng)方程結(jié)合邊界條件推出，表示一個(gè)線性土層系統(tǒng)內(nèi)，基巖輸入和地表反應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，同時(shí)能夠反映土層的場(chǎng)地卓越周期等固有性質(zhì)。對(duì)比傳遞函數(shù)，四分之一波長法相對(duì)簡單，并且計(jì)算的場(chǎng)地放大因子偏低（Boore，2013）。在本文中，2種方法都僅在線彈性范圍內(nèi)計(jì)算，沒有考慮土體在動(dòng)力反應(yīng)下的阻尼衰減和土體的非線性性質(zhì)。

2?土層隨機(jī)模型

Turkey?Flat場(chǎng)地位于美國加州洛杉磯和舊金山之間的Parkfield地區(qū)，是一個(gè)處于淺硬泥土沖積河谷中的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)場(chǎng)地。1986—1987年修建了2個(gè)垂直臺(tái)陣并且在鉆孔內(nèi)安置了加速度傳感器，一個(gè)位于Rock?South，深25?m;另一個(gè)位于Valley?Center，深40?m（Real，1988）。本文將Valley?Center鉆孔數(shù)據(jù)（Real，1988）作為Monte?Carlo法模擬隨機(jī)場(chǎng)地結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)場(chǎng)地，鉆孔數(shù)據(jù)如表2所示。基準(zhǔn)場(chǎng)地30?m土層的平均剪切波速VS30為757.7?m/s，根據(jù)美國國家地震減災(zāi)計(jì)劃（NEHRP）該場(chǎng)地分類為C類，屬于較硬巖石場(chǎng)地。

隨機(jī)剪切波速采用Toro1995統(tǒng)計(jì)模型由基準(zhǔn)場(chǎng)地結(jié)構(gòu)生成，Toro（1993，1995）認(rèn)為土層的剪切波速在給定深度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布并給出剪切波速的統(tǒng)計(jì)模型，他調(diào)查超過557個(gè)剪切波速結(jié)構(gòu)，對(duì)該模型做出一些調(diào)整。根據(jù)調(diào)整后的模型，第i層隨機(jī)剪切波速VS（i）可以由基準(zhǔn)場(chǎng)地第i層剪切波速VS，O（i）、剪切波速自然對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σlnVs和第i層正態(tài)隨機(jī)變量Zi求得：

McGuire等（1989）假設(shè)每一層正態(tài)隨機(jī)變量Z都是完全相關(guān)，所以每層乘以相同的Z生成隨機(jī)剪切波速，而Costantino等（1991）假設(shè)Zi相對(duì)于每層是獨(dú)立的。Toro（1995）認(rèn)為2類假設(shè)相比較真實(shí)場(chǎng)地有些極端并且不嚴(yán)謹(jǐn)，根據(jù)其模型Zi有如下定義：

式中：隨機(jī)變量ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0和1;ρIL層間相關(guān)系數(shù)有如下定義：

式中：d為土層深度;h為土層厚度;深度相關(guān)系數(shù)ρd（d）和層厚相關(guān)系數(shù)ρh（h）定義為：

式中：σlnVs=0.27;ρ200=1;d0=0、b=0.293;ρ0=0.97;Δ=3.8，可根據(jù)基準(zhǔn)場(chǎng)地VS30分類在表1中查得（Rathje?et?al，2010）。

假設(shè)層厚服從正態(tài)分布，并且參考Field和Jacob（1993）給出的Valley?Center場(chǎng)地隨機(jī)層厚的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè)隨機(jī)密度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Barani?et?al，2013）。表2為基準(zhǔn)場(chǎng)地結(jié)構(gòu)中剪切波速、層厚和密度以及剪切波速自然對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、層厚的標(biāo)準(zhǔn)差和密度的標(biāo)準(zhǔn)差。隨機(jī)剪切波速、層厚和密度均以基準(zhǔn)場(chǎng)地?cái)?shù)據(jù)為平均值結(jié)合對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征生成。

式中：?μlnRV和σlnRV是隨機(jī)變量（如密度）取自然對(duì)數(shù)后的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差;μRV和σRV是隨機(jī)變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（如表2中的隨機(jī)參數(shù)）。

采用Monte?Carlo方法結(jié)合統(tǒng)計(jì)模型生成剪切波速、密度和層厚樣本。本文驗(yàn)算過樣本數(shù)量分別為50，100，200，500，1000時(shí)的情形，發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)量為200時(shí)剛好能合適地表達(dá)土層參數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型。圖1為隨機(jī)土層參數(shù)樣本。值得注意的是，為了避免隨機(jī)模擬產(chǎn)生不合理的土層參數(shù)值，剪切波速、密度和層厚均采用±2σ的截?cái)喾植迹˙azzurro，Cornell，2004）。

3?分析和結(jié)果

使用已生成的隨機(jī)土層參數(shù)樣本，參考劉紅帥等（2005）的研究，考慮4種工況作為輸入：僅考慮剪切波速的隨機(jī)性;僅考慮密度的隨機(jī)性;僅考慮層厚的隨機(jī)性;同時(shí)考慮剪切波速、密度和層厚的隨機(jī)性。在線彈性范圍內(nèi)，分別利用四分之一波長法與傳遞函數(shù)法計(jì)算4種工況各200條隨機(jī)場(chǎng)地和基準(zhǔn)場(chǎng)地的放大因子譜（圖2，3），討論不同隨機(jī)土層參數(shù)對(duì)二者的頻譜影響，并比較二者對(duì)隨機(jī)土層參數(shù)的敏感性。

3.1?4種工況對(duì)2類方法頻譜的影響

圖2所示四分之一波長法計(jì)算的4種工況的放大因子曲線呈現(xiàn)4段并且有3個(gè)拐點(diǎn)，拐點(diǎn)可以表示各土層分界面處深度的等效放大作用。在各個(gè)工況中，剪切波速同時(shí)影響曲線拐點(diǎn)的幅值和頻率，而且剪切波速的隨機(jī)性對(duì)四分之一波長法的放大因子影響最大并且與組合工況4相當(dāng)，放大因子的不確定性隨著頻率增加而增大然后保持穩(wěn)定。

由圖2，3可以看出，2種方法計(jì)算4種工況時(shí)，剪切波速對(duì)放大因子曲線的影響最大。而對(duì)比圖2a和圖3a發(fā)現(xiàn)，剪切波速的隨機(jī)性對(duì)四分之一波長法計(jì)算的放大因子的影響比傳遞函數(shù)法小，而且四分之一波長法放大因子曲線相對(duì)平滑沒有波峰和波谷，這是因?yàn)樵摲椒僭O(shè)波在上層介質(zhì)沒有反射。由圖2還可見，相比其它3種工況，密度的隨機(jī)

性對(duì)四分之一波長法計(jì)算的放大因子曲線影響最小，對(duì)拐點(diǎn)只有幅值而沒有頻率范圍的影響，這是因?yàn)樗姆种徊ㄩL法頻率計(jì)算式（4）只與深度和剪切波速有關(guān)，在傳遞函數(shù)法中同樣如此（圖3）。二者不同的是當(dāng)頻率大于14?Hz時(shí)，傳遞函數(shù)法計(jì)算的幅值離散度變小，而四分之一波長法計(jì)算的幅值的離散度基本保持不變。

由圖2c可知，層厚的隨機(jī)性造成四分之一波長法計(jì)算的放大因子曲線在頻率10?Hz以上呈現(xiàn)較大的離散，而且各個(gè)拐點(diǎn)的幅值連線幾乎和水平軸平行，即幅值的離散性很小，在傳遞函數(shù)法中同樣如此（圖3c）。綜上，在各個(gè)工況中剪切波速的隨機(jī)性對(duì)場(chǎng)地放大因子的影響最大，其次是層厚和密度。剪切波速和層厚都會(huì)影響放大因子曲線的幅值和峰值（拐點(diǎn)）頻率，其中層厚對(duì)幅值和峰值（拐點(diǎn)）頻率的影響在頻率上是有所不同;密度主要影響放大因子曲線的幅值。值得注意的是，四分之一波長法雖然在幅值與曲線形式上和傳遞函數(shù)法有所差別，但各工況對(duì)二者頻譜的影響大致相同。

3.2?2種方法對(duì)各隨機(jī)土層參數(shù)的敏感性

為了比較2種方法得到的放大因子對(duì)各個(gè)土層隨機(jī)參數(shù)的敏感性，計(jì)算4種工況下2種方法得到的放大因子隨頻率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。由圖4可見，四分之一波長法對(duì)各種土層參數(shù)敏感性要比傳遞函數(shù)法小，并且相同工況中二者放大因子的標(biāo)準(zhǔn)差相差3倍多。剪切波速工況產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)差和總標(biāo)準(zhǔn)差曲線大致一樣，先隨頻率增加而增大然后頻率達(dá)到12?Hz左右開始緩慢減少。層厚工況造成二者的標(biāo)準(zhǔn)差隨頻率先增加后減小，但在10?Hz處，層厚工況下，傳遞函數(shù)法放大因子的標(biāo)準(zhǔn)差增幅明顯大于四分之一波長法，且傳遞函數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)差峰值甚至超過了其總標(biāo)準(zhǔn)差。密度工況對(duì)二者的標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)出和基準(zhǔn)場(chǎng)地放大曲線相同的趨勢(shì)，在同頻率處也有拐點(diǎn)和波峰。

值得注意的是，盡管計(jì)算總標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)考慮了剪切波速、層厚和密度的隨機(jī)性，但是總標(biāo)準(zhǔn)差在整個(gè)頻段內(nèi)與剪切波速的標(biāo)準(zhǔn)差仍舊大體相當(dāng)，可見2類方法的放大因子對(duì)剪切波速的敏感度在各土層

參數(shù)占主導(dǎo)作用，且四分之一波長法對(duì)各個(gè)土層參數(shù)的敏感度遠(yuǎn)小于傳遞函數(shù)法，總體上，2類方法的放大因子對(duì)各土層參數(shù)的敏感度高頻段比低頻段更高。

對(duì)比四分之一波長法第一拐點(diǎn)頻率和傳遞函數(shù)法第一特征頻率對(duì)各土層參數(shù)的敏感性，如圖5所示。其中四分之一波長法的第一拐點(diǎn)頻率是基巖面以上土層等效為單一均勻?qū)拥牡谝惶卣黝l率（對(duì)應(yīng)場(chǎng)地卓越周期）：

式中：H為基巖面到地表的土層厚度;V（H）為厚度H的土層的平均剪切波速。而傳遞函數(shù)法計(jì)算的第一特征頻率是精確值，反映了土層的固有特征。

由圖5可知，四分之一波長法的第一特征頻率對(duì)土層參數(shù)不確定的敏感度比傳遞函數(shù)法小約4～5倍，剪切波速的隨機(jī)性對(duì)二者特征頻率的影響最大，在四分之一波長法和傳遞函數(shù)法中分別約占總標(biāo)準(zhǔn)差的90%和80%。層厚的隨機(jī)性對(duì)二者特征頻率的影響幾乎相同。密度的隨機(jī)性對(duì)四分之一波長法的第一特征頻率完全沒影響，由式（15）可知四分之一波長法的第一特征頻率沒有考慮密度，而密度的隨機(jī)性對(duì)傳遞函數(shù)的第一特征頻率也只有較小的影響。

4?結(jié)論

本文采用Toro模型對(duì)Turkey?Flat場(chǎng)地建立隨機(jī)土層模型，對(duì)比4種工況對(duì)傳遞函數(shù)法和四分之一波長法放大因子的影響，并討論2種方法放大因子和第一特征頻率對(duì)各隨機(jī)參數(shù)的敏感性，得到以下結(jié)論：

（1）相較于其他土層參數(shù)，剪切波速的隨機(jī)性對(duì)2種方法計(jì)算的放大因子的影響最大，而且同時(shí)影響二者的幅值和特征頻率。層厚的隨機(jī)性對(duì)2種方法計(jì)算的放大因子的幅值影響小，對(duì)特征頻率影響大。密度的隨機(jī)性對(duì)2類方法計(jì)算的放大因子的幅值影響很小，幾乎不影響二者的特征頻率。

（2）2種方法的放大因子和特征頻率對(duì)剪切波速的隨機(jī)性最為敏感，其次是厚度的隨機(jī)性。不同的是四分之一波長法對(duì)各隨機(jī)參數(shù)的敏感度比傳遞函數(shù)法小4～5倍，四分之一波長法等效的特征頻率對(duì)密度的隨機(jī)性完全不敏感。

總體來說，雖然四分之一波長法能簡化場(chǎng)地計(jì)算，但是土層剪切波速、層厚和密度的隨機(jī)性對(duì)四分之一波長法的頻譜特征影響和對(duì)傳遞函數(shù)的影響基本相同。而且由于四分之一波長對(duì)土層模型不確定性的敏感度弱于傳遞函數(shù)，所以用四分之一波長計(jì)算一類場(chǎng)地的放大因子時(shí)，產(chǎn)生的不確定性會(huì)小于傳遞函數(shù)法。

中國地震局工程力學(xué)研究所陶正如和陶夏新研究員給予了巨大支持和幫助，哈爾濱工業(yè)大學(xué)曹澤林博士和匿名審稿專家提供了寶貴的意見，在此一并表示感謝。

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Influence?on?Site?Amplification?Factors?of?RandomCharacteristic?of?Soil?Parameters

LIU?Shiyao

（Key?Laboratory?of?Earthquake?Engineering?and?Engineering?Vibration，Institute?of?Engineering?Mechanics，China?Earthquake?Administration，Harbin，150080，?Heilongjiang，China）

Abstract

According?to?the?Toro?share?velocity?model，we?use?the?Monte?Carlo?method?to?generate?200?shear?velocities，thickness?and?density?random?samples?for?uncertainty?analysis，based?on?soil?structure?from?the?Turkey?Flat?site.Computing?the?quarter-wavelength（QWL）method?amplification?factor?as?well?as?transfer?function（TF）and?estimating?their?sensitivity?under?four?conditions?made?up?of?random?soil?samples?mentioned?above.The?results?show?that?uncertainties?of?shear?velocity，thickness?and?density?have?same?impact?on?the?spectrum?characteristics?using?two?methods.The?influence?of?shear?velocity?on?both?amplification?factors?and?fundamental?frequency?is?predominant?among?different?soil?parameters.In?addition，amplification?factors?and?fundamental?frequency?of?QWL?are?less?sensitive?to?random?soil?parameters?than?that?of?TFs.

Keywords：sensitivity?analysis;site?amplification?factor;random?shear?velocity?model;quarter-wavelength?method;transfer?function