復(fù)連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)地震波在任意時(shí)-頻域隨機(jī)相位的方法

謝皓宇　本田利器　鄭萬(wàn)山

摘要：動(dòng)力分析過(guò)程中輸入地震波的選擇非常重要，通過(guò)擾動(dòng)自然波生成人工地震波是豐富設(shè)計(jì)地震波池的方法之一。提出使用復(fù)連續(xù)小波變換來(lái)修改、擾動(dòng)自然波的方法來(lái)擬合人工地震波，以2000年日本鳥(niǎo)取MW6.7地震為研究對(duì)象，對(duì)比Shannon小波基和Gabor小波基在生成人工波過(guò)程中的特點(diǎn)。結(jié)果表明：使用改進(jìn)方法可以在任意指定的時(shí)-頻域上修改地震波的相位譜從而產(chǎn)生人工波，且Shannon小波對(duì)地震波能量的保留優(yōu)于Gabor小波，故?Shannon小波基是更好的選擇。

關(guān)鍵詞：抗震設(shè)計(jì);人工地震波;小波變換;地震動(dòng)輸入

中圖分類號(hào)：P315.91?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?文章編號(hào)：1000-0666（2019）04-0510-06

0?引言

隨著基于性能的抗震設(shè)計(jì)（Deierlein?et?al，2003;呂大剛等，2006）理念的出現(xiàn)和發(fā)展，時(shí)程動(dòng)力分析成為了現(xiàn)代抗震設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要方法。近年來(lái)，越來(lái)越多的普通學(xué)者和設(shè)計(jì)人員也能夠利用具備足夠能力的計(jì)算機(jī)進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值分析，而在抗震設(shè)計(jì)領(lǐng)域時(shí)程動(dòng)力分析的過(guò)程中，設(shè)計(jì)輸入地震波的選擇尤為重要。

傳統(tǒng)上設(shè)計(jì)輸入地震波的選擇方法通常包括：通過(guò)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜擬合出人工地震波（胡聿賢，何訓(xùn)，1986;張郁山，趙鳳新，2014）;通過(guò)斷層物理模型模擬人工地震波（Koller?et?al，1996;Kamae，Irikura，1998;Hata?et?al，2011）;直接使用歷史記錄的自然地震波，通過(guò)修改擾動(dòng)自然地震波生成人工地震波。3種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，通過(guò)設(shè)計(jì)反應(yīng)譜擬合人工地震波方法使用反應(yīng)譜與功率譜密度之間的近似數(shù)學(xué)關(guān)系，將得到的功率譜密度轉(zhuǎn)化成傅里葉幅值譜之后進(jìn)行多次迭代，最終得到人工地震波，這個(gè)方法快速、經(jīng)濟(jì)，但反應(yīng)譜和功率譜密度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系還無(wú)法準(zhǔn)確地模擬，使得反應(yīng)譜擬合精度有限，另外靠此法生成的人工波在波形和頻譜上仍和自然波存在較大差異。通過(guò)斷層物理模型模擬人工波，比如經(jīng)典格林方程的方法，它的缺點(diǎn)是于對(duì)長(zhǎng)周期部分模擬精度較低。直接使用目標(biāo)場(chǎng)地附近歷史記錄的自然波作為設(shè)計(jì)輸入需要面對(duì)自然波記錄的數(shù)量有限的問(wèn)題。通過(guò)信號(hào)處理的手段隨機(jī)修改擾動(dòng)自然地震波生成人工地震波的方法能保留自然波的大部分特性，同時(shí)豐富了設(shè)計(jì)地震波池，綜合來(lái)說(shuō)是更先進(jìn)的方法。

除上述3種方法外，還有一種隨機(jī)方法（Boore，2003），通過(guò)傅里葉變換將自然波信號(hào)分解成傅里葉系數(shù)，即幅值譜與相位譜，在保留幅值譜的情況下擾動(dòng)相位譜之后逆變換形成人工新波。

該方法利用基底的時(shí)移不變性以及正交性，使得產(chǎn)生的新波在總能量上不會(huì)有太大波動(dòng)，同時(shí)逆變換的新波具有唯一性。但隨機(jī)方法仍有2個(gè)問(wèn)題，首先eift作為基底使得擾動(dòng)在會(huì)在時(shí)域的-∞到+∞分布，因此擾動(dòng)無(wú)法人為任意地落在特定局部的時(shí)域上，其次人工波在時(shí)域上的能量分布也會(huì)較原始波發(fā)生明顯的變化，原始波時(shí)域上能量集中的部分將會(huì)在人工波中分散。

小波變換作為與傅里葉變換類似的信號(hào)處理方法，和傅里葉變換不同的是可以同時(shí)解析出信號(hào)在時(shí)域和頻域的成分?；谶@個(gè)特點(diǎn)，本文采用小波變換作為擾動(dòng)自然波生成人工波的工具，提出一種新的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波對(duì)地震波信號(hào)處理的逆變換。

1?復(fù)小波變換的相位譜

傳統(tǒng)的利用傅里葉變換擾動(dòng)自然波的隨機(jī)方法過(guò)程如下所示。

分解原始波并體換相位譜：

通過(guò)傅里葉逆變換重構(gòu)地震波：

式中：Δt為原始信號(hào)的采樣間隔;Δf為頻譜的采樣間隔;σ（fk）則是人為修改傅里葉相位譜的擾動(dòng)譜。可以看到，隨機(jī)方法中使用eift作為基底對(duì)于擾動(dòng)時(shí)空控制僅處在頻域而不在時(shí)域。

小波變換利用脈沖母小波ψ（s，τ）對(duì)信號(hào)波的卷積，將信號(hào)分解為時(shí)移成分（τ）和尺度成分（s），分別描述了信號(hào)波在時(shí)域和頻域的分布情況。針對(duì)使用小波變換來(lái)隨機(jī)修改自然波，需要解決小波變換沒(méi)有明晰的相位譜的問(wèn)題。

Honda等最早提出使用復(fù)離散解析小波變換來(lái)分析信號(hào)波（Honda，Ahmed，2011;Honda，Khatri，2012），解析小波母波本身具有正交性可以使正變換和逆變換保持唯一性，同時(shí)解析小波的母波在頻域范圍內(nèi)只有正頻率的部分，因此可以使原始波與新波在實(shí)數(shù)范圍保持能量不變;而使用復(fù)小波生成的小波系數(shù)為復(fù)數(shù)，將復(fù)數(shù)角定義為相位，類似隨機(jī)方法。

與式（1）對(duì)應(yīng)，使用復(fù)離散解析小波分解原始信號(hào)：

并修改相位譜：

與式（2）對(duì)應(yīng)，離散小波逆變換重構(gòu)成為新的信號(hào)（人工波）：

式中：W（j，k）為小波系數(shù);ψ（j，k）為母小波;j，k分別代表尺度和時(shí)移;過(guò)程中小波系數(shù)的復(fù)數(shù)角θ（j，k）與隨機(jī)方法中的相位角θ（fk）數(shù)學(xué)形式相似，可以抽象地描述為小波變換后的相位譜。

模擬結(jié)果顯示，新生成的人工波和原始波之間頻域、時(shí)域的能量分布在一定分辨率下得到保持，同時(shí)總能量基本穩(wěn)定。但存在使用離散小波仍無(wú)法任意指定時(shí)-頻域的問(wèn)題，因?yàn)殡x散小波系數(shù)的分布是固定的，尺度上分辨率高的部分自然在時(shí)移上的分辨率就低。這個(gè)問(wèn)題只能使用連續(xù)小波變換來(lái)解決。

2?連續(xù)小波變換逆變換的方法

和離散小波變換不同，連續(xù)小波變換可以在任意的時(shí)-頻域位置對(duì)信號(hào)小波系數(shù)的相位進(jìn)行修改。但使用連續(xù)小波變換需要解決在有限的計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能約束下實(shí)現(xiàn)小波變換逆變換的問(wèn)題。按照使用離散小波變換擾動(dòng)自然波的思路，可以簡(jiǎn)單地將過(guò)程中離散求和的部分替換成積分，但這種方法對(duì)計(jì)算機(jī)的積分精度要求過(guò)高，普通工程師和設(shè)計(jì)人員使用的計(jì)算機(jī)通常難以實(shí)現(xiàn)高精度的連續(xù)小波的逆變換，而只有高精度的連續(xù)小波逆變換才能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)人工波的重構(gòu)。同時(shí)，傳統(tǒng)的小波變換逆變換要求小波基的正交性，這使得一些性質(zhì)良好，適合用于擾動(dòng)自然地震波的小波基無(wú)法在研究中得到使用。

于是本文提出改進(jìn)方法，在不用進(jìn)行全時(shí)-頻域積分的條件下利用連續(xù)小波實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)在時(shí)-頻域的擾動(dòng)修改，過(guò)程如下文所示。

首先，使用連續(xù)小波變換將離散信號(hào)分解到目標(biāo)的時(shí)-頻域內(nèi)：

式中：s，τ分別代表尺度和時(shí)移。將原始離散波減去計(jì)算出的小波系數(shù)，再對(duì)小波系數(shù)添加擾動(dòng)相位θ（s，τ）后加上去，并乘以經(jīng)驗(yàn)系數(shù)c控制時(shí)-頻域的精度：

為了進(jìn)一步提升本方法的隨機(jī)程度，尤其是對(duì)能量擾動(dòng)的隨機(jī)程度，并考慮到復(fù)數(shù)角的性質(zhì)，再增加一個(gè)擾動(dòng)相位，此時(shí)2個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)相位分別為θ1（s，τ）和θ2（s，τ）：

本文分別采用以Shannon小波（Cattani，2008）和Gabor小波（Lee，1996）為母波的復(fù)連續(xù)小波變換作為研究工具。Shannon小波的定義為：

式中：FB代表小波帶寬;FC代表小波的中心頻率。使用復(fù)Shannon小波的原因是復(fù)Shannon小波為解析波，即對(duì)實(shí)數(shù)小波逆變換可以是新波與原始波之間的能量保持一致。同時(shí)Shannon小波母波具有正交性，滿足逆變換的唯一性。Gabor小波的定義為：

式中：x0代表脈沖中心;a代表指數(shù)衰減速率;k0代表控制調(diào)幅率。Gabor小波不具備正交性，按照連續(xù)小波變換定義中的逆變換本無(wú)法對(duì)人工波進(jìn)行重構(gòu)，但根據(jù)本文提出的新的逆變換方法，參考式（10），則可以使用Gabor小波來(lái)重構(gòu)人工波。Gabor小波最大的特點(diǎn)是將時(shí)-頻域中標(biāo)準(zhǔn)差的內(nèi)積壓縮到了最小，也就是可以將小波變換的分辨率提高，將時(shí)-頻信息的不確定性壓縮到最小。

3?數(shù)值模擬

本文將2000年日本鳥(niǎo)取MW6.7地震作為研究對(duì)象，震中位于日本鳥(niǎo)取縣米子市和松江市之間。鳥(niǎo)取地震是一次典型的發(fā)生在城市的強(qiáng)震。

本文使用的地震波數(shù)據(jù)由日本防災(zāi)科學(xué)技術(shù)研究所強(qiáng)震觀測(cè)網(wǎng)提供，觀測(cè)站點(diǎn)號(hào)為KYT001，使用FW向成分?jǐn)?shù)據(jù)，持時(shí)119?s，采樣頻率100?Hz。經(jīng)過(guò)0.1～10?Hz范圍之外的降噪處理以及增幅處理后，波形和對(duì)應(yīng)的傅里葉幅值譜見(jiàn)圖1。

由圖2可見(jiàn)，Shannon小波與Gabor小波的幅值譜在時(shí)域（時(shí)移）上與傅里葉譜基本一致，而在頻域（尺度）上也有高度類似的形狀，區(qū)別的原因在于母波的基頻不同，因此在頻域上2個(gè)幅值譜呈倍數(shù)關(guān)系。根據(jù)小波幅值譜的峰值分布特點(diǎn)，本文使用Shannon小波對(duì)地震波進(jìn)行擾動(dòng)時(shí)選擇時(shí)移為15～45?s，選擇尺度為0～3;使用Gabor小波對(duì)地震波進(jìn)行擾動(dòng)時(shí)選擇時(shí)移為15～45?s，選擇尺度為0～0.5?？紤]計(jì)算機(jī)性能的限制，將在設(shè)定的區(qū)域內(nèi)取10?000個(gè)隨機(jī)點(diǎn)作為擾動(dòng)點(diǎn)，再根據(jù)式（10）取10?000對(duì)隨機(jī)相位θ1及θ2作為擾動(dòng)相位，各進(jìn)行20次擾動(dòng)模擬。

Shannon小波擾動(dòng)鳥(niǎo)取地震的模擬結(jié)果顯示，擾動(dòng)如預(yù)期集中在了設(shè)定的時(shí)域范圍內(nèi)，在地震波的總能量控制上，20次模擬中有10次能量增加以及10次能量減少，變化范圍在2%以內(nèi)。抽取其中一次模擬結(jié)果，擾動(dòng)見(jiàn)圖3a。

Gabor小波擾動(dòng)鳥(niǎo)取地震的模擬結(jié)果顯示，擾動(dòng)集中在設(shè)定的時(shí)域范圍內(nèi)，效果比Shannon波更好。但在地震波的總能量控制上，和Shannon波模擬中取相等的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)c時(shí)，20次模擬中能量幾乎都是增加。抽取其中一次模擬結(jié)果，擾動(dòng)見(jiàn)圖3b。

由于Gabor小波基有復(fù)數(shù)小波基中最小的標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)積，因此它生成的擾動(dòng)在非目標(biāo)時(shí)域內(nèi)的噪音比Shannon小波更小。但Gabor小波基不具備正交性以及對(duì)地震波實(shí)數(shù)部分能量的保留，因此無(wú)法做到Shannon小波生成新波對(duì)總能量的約束。需要注意的是，本次模擬的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)c都取的0.05，在Gabor擾動(dòng)模擬中調(diào)整經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的取值獲得的能量更接近原始設(shè)計(jì)波的結(jié)果，而本文統(tǒng)一經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的取值主要是為了方便對(duì)比Shannon小波擾動(dòng)和Gabor小波擾動(dòng)的差異。Shannon小波和Gabor小波擾動(dòng)20次模擬得到的人工地震波能量分布如圖4所示?？梢钥吹絊hannon小波比Gabor小波相比更能約束人工波的能量變化。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)Shannon小波與本文所提出的新方法之間適性更高。

Shannon小波和Gabor小波擾動(dòng)產(chǎn)生的人工波各自對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜與原始自然波反應(yīng)譜對(duì)比見(jiàn)圖5所示?？梢钥吹酵ㄟ^(guò)復(fù)連續(xù)小波變換的擾動(dòng)，人工波與原始波的反應(yīng)譜譜形在特定的頻域范圍內(nèi)變化較大，這和本文通過(guò)生成人工波，提高設(shè)計(jì)地震波池多樣性的目標(biāo)是一致的。

通過(guò)鳥(niǎo)取地震的模擬算例可以看到，對(duì)于隨機(jī)方法中不可避免的全時(shí)域擾動(dòng)的問(wèn)題，以及離散小波變換無(wú)法任意制定擾動(dòng)時(shí)-頻域的問(wèn)題，本文方法都體現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)越性，擾動(dòng)在0～15?s及45?s之后的幅值幾乎為0，而且擾動(dòng)所存在的時(shí)-頻域也是連續(xù)的。

4?結(jié)論

針對(duì)使用信號(hào)處理方法擾動(dòng)自然地震波生成新的人工地震波的問(wèn)題，本文提出了一個(gè)新的計(jì)算方法，使復(fù)連續(xù)小波可以在任意指定的時(shí)-頻域上修改地震波的相位譜從而產(chǎn)生人工波，這是傳統(tǒng)方法所不具備的特性。在這個(gè)過(guò)程中目標(biāo)域外的地震波在時(shí)-頻域的幅值信息得到了保留，同時(shí)人工波的性質(zhì)包括反應(yīng)譜等較原始波都有了較大的改變。

本文還對(duì)比了擾動(dòng)過(guò)程中使用Shannon小波和Gabor小波的優(yōu)劣，其中Shannon小波對(duì)地震波能量的保留優(yōu)于Gabor小波，Gabor小波則對(duì)非目標(biāo)時(shí)-頻域的噪音更小，出于研究人員及工程師對(duì)人工波在地震動(dòng)能級(jí)上保持一致的需求，Shannon小波基是更好的選擇。

在經(jīng)驗(yàn)系數(shù)c的取值能顯著影響本文方法的效果，如何選取一個(gè)更合理的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)還有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

胡聿賢，何訓(xùn).1986.考慮相位譜的人造地震動(dòng)反應(yīng)譜擬合[J].地震工程與工程振動(dòng)，6（2）：37-51.

呂大剛，李曉鵬，王光遠(yuǎn).2006.基于可靠度和性能的結(jié)構(gòu)整體地震易損性分析[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，15（2）：107-114.

張郁山，趙鳳新.2014.基于小波函數(shù)的地震動(dòng)反應(yīng)譜擬合方法[J].土木工程學(xué)報(bào)，47（1）：70-81.

Boore?D?M?2003.Simulation?of?Ground?Motion?Using?the?Stochastic?Method[J].Pure?and?Applied?Geophysics，160（1）：635-676.

Cattani?C.2008.Shannon?Wavelet?Theory[J].Mathematical?Problems?in?Engineering，28（1）：24-25.

Deierlein?G?G，Krawinkler?H，Cornell?C?A.2003.A?framework?for?performance-based?earthquake?engineering[C].New?Zealand：2003?Pacific?Conference?on?Earthquake?Engineering.

Hata?Y，Nozu?A，Ichii?K.2011.A?practical?method?to?estimate?strong?ground?motions?after?an?earthquake?based?on?site?amplification[J].Bulletin?of?Seismological?Society?of?America，101（2）：688-700.

Honda?R，Ahmed?T.2011.Design?input?motion?synthesis?considering?the?effect?of?uncertainty?in?structural?and?seismic?parameters?by?feature?indexes[J].Jouranl?of?Structural?Engineering，137（1）：391-400.

Honda?R，Khatri?P?P.2012.Discrete?analytic?signal?wavelet?decomposition?for?phase?localized?in?time-frequency?domain?for?generation?of?stochastic?signal?with?phase?uncertainty[C].Lisboa：World?Conference?on?Earthquake?Engineering.

Kamae?K，Irikura?K.1998.Source?model?of?the?1995?Hyogo-ken?Nanbu?earthquake?and?simulation?of?near-source?ground?motion[J].Bulletin?of?the?Seismological?Society?of?America，88（1）：400-412.

Koller?M?G，Lachet?C，F(xiàn)ourmaintraux?D.1996.Seismic?hazard?assessment?with?the?aid?of?Empirical?Greens?Functions[C].Mexico：Eleventh?World?Conference?on?Earthquake?Engineering.

Lee?T?S.1996.Image?representation?using?2D?Gabor?Wavelets[J].IEEE?Trans.Pattern?Analysis?and?Machine?Intelligence，18（10）：15-27.

Phase?Randomization?of?Ground?Motions?with?Arbitrary?Time-frequencyRange?Using?Complex?Continuous?Wavelets

XIE?Haoyu1，HONDA?Riki2，ZHENG?Wanshan1

（1.CMCT?Research?&?Design?Institute?Co.，LTD，Chongqing?400060，China）（2.Graduate?School?of?Frontier?Science，The?University?of?Tokyo，Kashiwa?277-8561，Chiba，Japan）

Abstract

For?dynamic?analysis，selection?of?input?ground?motions?is?of?huge?importance.The?diversity?of?the?set?of?input?ground?motions?could?be?enhanced?by?simulating?the?artificial?ground?motions?from?natural?earthquakes.A?methodology?utilizing?complex?continuous?wavelets?to?simulate?artificial?ground?motions?areput?forward，taking?the?2000?Tottori?earthquake（MW6.7）as?aresearch?target，and?the?characteristics?of?the?Shannon?wavelet?and?the?Gabor?wavelet?are?compared?in?the?article.The?result?shows?that?the?new?methodology?could?have?time-frequency?domain?arbitrarily?oriented，and?the?Shannon?wavelet?is?the?optimal?choice?as?it?could?maintain?the?power?better?than?the?Gabor?wavelet.

Keywords：seismic?design;artificial?ground?motion;wavelet?transform;input?ground?motion