指向?qū)W生核心素養(yǎng)培育的高中數(shù)學(xué)集合單元教學(xué)研究

◎ 黃根初

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。實(shí)踐表明，只有當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)與數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)結(jié)合在一起時(shí)，核心素養(yǎng)目標(biāo)才能真正落到實(shí)處，也只有當(dāng)具體內(nèi)容的教學(xué)體現(xiàn)其獨(dú)特的育人價(jià)值時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)才是有力的。本文以集合單元為例，探索如何有機(jī)結(jié)合集合單元的教學(xué)與學(xué)科核心素養(yǎng)的培育。

一、 集合單元的育人價(jià)值

（一）集合思想是作為教育任務(wù)的一種全域性數(shù)學(xué)思想

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要而基本的理論，它的概念和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支以及其他一些自然學(xué)科中，為這些學(xué)科的發(fā)展提供了奠基性的方法，改變了這些學(xué)科的面貌。

集合論的主要思想表現(xiàn)在：初等集合論思想、實(shí)無窮與超窮思想、集合對(duì)應(yīng)思想。其中，在初等集合論思想指導(dǎo)下，我們可以把一類研究對(duì)象作為一個(gè)整體進(jìn)行研究，依據(jù)概括原則可以構(gòu)造一個(gè)集合，依據(jù)外延原則保證集合的確定性；集合對(duì)應(yīng)思想反映了兩個(gè)集合元素之間的關(guān)系。這些思想蘊(yùn)含在教材集合單元的有關(guān)知識(shí)內(nèi)容之中，如集合的運(yùn)算中蘊(yùn)含著運(yùn)用求交集方法解決問題的思想，數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）將其提煉為解決問題的“交軌模式”。

（二）集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言

集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的重要組成部分。數(shù)學(xué)語言和自然語言的重要區(qū)別在于數(shù)學(xué)語言更加精確，不容易產(chǎn)生歧義。在基礎(chǔ)教育階段學(xué)習(xí)使用集合的語言，可以準(zhǔn)確、簡潔地表示所要研究的對(duì)象，更好地描述研究對(duì)象之間的關(guān)系。

我們可以把各種幾何圖形看成是一個(gè)點(diǎn)集，然后研究它所包含的點(diǎn)在位置及數(shù)量關(guān)系方面的共同特征，這樣往往能夠得到比直觀更為深刻的結(jié)論。例如，平面內(nèi)線段AB的垂直平分線可以簡潔地表示成點(diǎn)集{P│PA=PB}，它揭示了這樣的本質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上。又如，我們可以利用集合語言刻畫四邊形及其特例的關(guān)系：{四邊形}{平行四邊形}{矩形}{正方形}。

（三）集合語言具有獨(dú)特的育人價(jià)值

集合語言的獨(dú)特育人價(jià)值表現(xiàn)在：用集合語言簡潔、準(zhǔn)確和深刻地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過程，可以很好地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。集合語言的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象過程的主要特征：集合的含義是在學(xué)生學(xué)習(xí)積累了大量集合例證的基礎(chǔ)上概括出來的，在獲得集合含義后就有必要用數(shù)學(xué)語言表征這個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，進(jìn)而研究集合之間的關(guān)系，最后研究集合的應(yīng)用。

集合的育人價(jià)值還體現(xiàn)在可以展示學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的一種路徑或方式：通過觀察抽象歸納辨析等獲得集合（數(shù)學(xué)研究對(duì)象）—研究集合的表示—類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系研究集合之間的關(guān)系—類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算研究集合的運(yùn)算—集合的應(yīng)用。通過這一方式，幫助學(xué)生使用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)研究對(duì)象，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流，體會(huì)用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的優(yōu)點(diǎn)，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、在集合單元的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

不同版本的高中數(shù)學(xué)教材都有集合初步單元，它們都呈現(xiàn)了“集合的含義—集合表示—集合之間關(guān)系—集合運(yùn)算”等知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)較好地反映了課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于集合單元的內(nèi)容要求，為實(shí)現(xiàn)集合單元的育人價(jià)值提供了載體。 如何在集合單元的教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要依托以下三個(gè)過程。

（一）依托集合的概念理解與表示過程

集合的概念是通過概括實(shí)例形成的。我們可以借助實(shí)例，分析這些實(shí)例中各自的研究對(duì)象。如果發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象都滿足一定要求或具有一定特征，則把研究對(duì)象的總體稱為集合，集合中的對(duì)象稱為元素。

上述過程是理解集合含義不可或缺的過程，其中實(shí)例要豐富和典型，它是理解集合含義的素材。這些實(shí)例既要包括學(xué)生在小學(xué)和初中接觸過的一些數(shù)學(xué)的例子，如自然數(shù)、有理數(shù)的集合，不等式x-2＜3的解的集合，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；又要包括現(xiàn)實(shí)生活中的例子，如學(xué)校于2019年9月入學(xué)的所有高一學(xué)生；還要包括科學(xué)情境的例子，如我國從1970年到2018年發(fā)射的所有人造衛(wèi)星等。豐富而典型的實(shí)例，既可以幫助學(xué)生打開視野，又可以幫助學(xué)生辨析、理解概念含義，領(lǐng)會(huì)其中的概括原則。

理解集合的含義，需要感悟集合中蘊(yùn)含的外延原則，即給定一個(gè)集合，任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了；一個(gè)給定集合的元素是互不相同的，集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。這樣只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等。

理解集合的含義，還需要經(jīng)歷一個(gè)用自然語言到用符號(hào)語言、圖形語言描述集合的過程。例如，教師可以結(jié)合幾個(gè)具體的例子設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)：試比較用自然語言、列舉法、描述法和區(qū)間表示集合時(shí)，各自的特點(diǎn)和適用的對(duì)象。在自然語言描述集合、列舉法表示集合、描述法表示集合、區(qū)間表示集合和文氏圖表示集合的轉(zhuǎn)換中，感受各種語言和方法表示集合的優(yōu)點(diǎn)及適用對(duì)象，體會(huì)用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的簡明和深刻性。一般地，集合A的元素用x表示，所有x的共同的特征性質(zhì)用P（x）表示，則集合A就能表示成{x│P（x）}。集合A表示成{x│P（x）}意味著，凡具有性質(zhì)P（x）的對(duì)象x都是A的元素，凡是A的元素都具有性質(zhì)P（x）。

（二）依托集合的關(guān)系建立與運(yùn)算求解

集合之間的關(guān)系和運(yùn)算對(duì)學(xué)生來講是全新的內(nèi)容，但教師可以借助學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)引發(fā)思考，如實(shí)數(shù)有相等關(guān)系和大小關(guān)系，你能由實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系，類比想到集合之間的何種關(guān)系？你又是如何類比兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算，兩個(gè)集合之間有什么運(yùn)算？教師設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)思考與探究活動(dòng)，結(jié)合具體的問題情境，在類比、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，建立集合的關(guān)系和基本運(yùn)算，就能有效地幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力。

又如，集合之間包含關(guān)系的建立。在問題“如何類比兩個(gè)數(shù)的關(guān)系思考兩個(gè)集合之間的關(guān)系”的引導(dǎo)下，觀察如下具體的集合實(shí)例。

（2）設(shè)A是我校高一（1）班的全體學(xué)生組成的集合，B是我校全體學(xué)生組成的集合。

（3）C={x│x是兩條邊相等的三角形}，D={x│x是等腰三角形} 。

通過觀察上述分別用列舉法、自然語言和描述法表示的三組集合，發(fā)現(xiàn)每組集合中，第一個(gè)集合中的每個(gè)元素都屬于第二個(gè)集合，把兩個(gè)集合之間的這種關(guān)系概括出來就形成子集的概念；進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)上述（3）中集合D中的每個(gè)元素也都屬于集合C，這樣集合相等的概念自然而生（與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b且a≤b則a=b”類比）；再進(jìn)一步，還可以發(fā)現(xiàn)上述（1）（2）中至少有一個(gè)存在于B中但不屬于A的元素，這樣真子集的概念應(yīng)運(yùn)而生。

如此，在類比思想的指導(dǎo)下，通過觀察、分析一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合的從屬關(guān)系，進(jìn)而概括出兩個(gè)集合之間的基本關(guān)系，并用文字和符號(hào)語言加以定義、用圖形語言加以表示。學(xué)生的抽象概括能力就是在這樣具體概念的建立、表征過程中逐步形成的。

（三）依托集合的語言表達(dá)與運(yùn)用

使用集合的語言，可以準(zhǔn)確、簡潔地表示所要研究的對(duì)象，這源自集合蘊(yùn)含的概括原則和外延原則；依據(jù)集合的表示、基本關(guān)系和基本運(yùn)算，我們可以更好地描述所研究的對(duì)象之間的關(guān)系去解決問題。

首先，教師使用集合語言，引導(dǎo)學(xué)生梳理、表達(dá)學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容。例如，我們可以用集合語言表示平面幾何對(duì)象或位置關(guān)系。用點(diǎn)P表示平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則以點(diǎn)O為圓心，半徑為5的圓表示為集合{P│PO=5}；設(shè)平面內(nèi)有△ABC，且點(diǎn)P表示這個(gè)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，我們可以問學(xué)生集合{P│PA=PB}表示什么？屬于集合 {P│PA=PB}∩ {P│PB=PC}的點(diǎn)又是什么？我們還可以用集合語言表示平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系：①直線l1、l2相交于一點(diǎn)P可表示為l1∩l2={點(diǎn)P}；②直線l1、l2平行可表示為；③直線l1、l2重合可表示為

其次，教師使用集合語言，引導(dǎo)學(xué)生描述和解決問題。用集合語言描述問題，可以幫助學(xué)生打開分析、解決問題的新思路。例如，學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A={x│x是參加100米跑的學(xué)生}，B={x│x是參加200米跑的學(xué)生}，C={x│x是參加400米跑的學(xué)生}。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的學(xué)生最多只能參加兩項(xiàng)，我們就可以引導(dǎo)學(xué)生利用集合的運(yùn)算來說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋“A∩B”“A∩C”的實(shí)際含義。在上述背景下，高一（1）班進(jìn)行了預(yù)賽，共有28名學(xué)生參加上述三項(xiàng)比賽，有15人參加100米跑，有14人參加200米跑，有8人參加400米跑，同時(shí)參加100米跑和200米跑的有3人，同時(shí)參加100米和400米跑的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽。我們就可以引導(dǎo)學(xué)生借助集合運(yùn)算的文氏圖，求得同時(shí)參加200米跑和400米跑的有多少人，只參加400米跑這一項(xiàng)比賽的有多少人，等等。

以課程標(biāo)準(zhǔn)中最基本的核心知識(shí)為載體，利用學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解釋現(xiàn)實(shí)的、數(shù)學(xué)的、科學(xué)的情境中的問題，以蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)解決問題，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵過程。

三、進(jìn)一步思考

筆者認(rèn)為上述對(duì)集合單元育人價(jià)值及如何發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的分析，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有進(jìn)一步啟示。

（1）要重視挖掘有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面可能的推動(dòng)與貢獻(xiàn)。課程標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)凝練出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是與具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的。鑒于此，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容單元對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的貢獻(xiàn)，建構(gòu)與教材單元（章節(jié)）內(nèi)容對(duì)應(yīng)的核心素養(yǎng)細(xì)目表，是利用數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量實(shí)現(xiàn)立德樹人目標(biāo)的正確方向。

（2）要設(shè)計(jì)、選擇與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容特征、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得需要與習(xí)得知識(shí)的科學(xué)過程要相匹配，只有這樣，知識(shí)技能才有可能成為素養(yǎng)。換言之，學(xué)什么（知識(shí)與技能），怎樣學(xué)（過程與方法）和學(xué)會(huì)什么（能力、品格、觀念）是一個(gè)整體，具有內(nèi)在的一致性，我們不能把三者割裂開來去行動(dòng)。 探索與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)匹配的學(xué)習(xí)方式，這是數(shù)學(xué)教育走向?qū)I(yè)化的必經(jīng)之路。

綜上所述，集合作為高中數(shù)學(xué)課程的起始單元，學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的經(jīng)歷和成效，對(duì)其學(xué)習(xí)整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式有重要影響。我們應(yīng)該盡可能地以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，組織合適的現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境，從中概括出集合、集合的關(guān)系和運(yùn)算等數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，用自然語言、圖形語言、符號(hào)語言表達(dá)這些數(shù)學(xué)研究對(duì)象，并進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換，展現(xiàn)集合語言的魅力，用這樣的數(shù)學(xué)方式促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。