關(guān)于《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)的幾點(diǎn)思考

韓明華　尚海濤

【摘 要】實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)核心課程，掌握好本課程對(duì)于后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。本文從注意引導(dǎo)、重視基礎(chǔ)概念及加強(qiáng)對(duì)比三個(gè)方面介紹了如何有效地開(kāi)展實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】實(shí)變函數(shù);Riemann積分;Lebesgue積分

中圖分類(lèi)號(hào)： O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 2095-2457（2019）33-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.067

Some Thoughts on the Teaching of Real Variable Function

HAN Ming-hua1 SHANG Hai-tao2

（1.College of science， kaili university， Kaili Guizhou 556000， China;

2.School of science and technology， east China jiaotong university， Nanchang Jiangxi 330100， China）

【Abstract】Functions of Real Variable is a core course for mathematics and applied mathematics major. It is very important to master this course for the following related courses. This paper introduces how to teach function of real variable effectively from three aspects： paying attention to guidance， paying attention to foundational concept and strengthening contrast.

【Key words】Fuction of real variable; Riemann integral; Lebesgue integral

0 引言

《實(shí)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)重要的專業(yè)核心課程，該課程是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一些基礎(chǔ)的分析課程后進(jìn)行開(kāi)設(shè)。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，由于教學(xué)內(nèi)容的高度抽象化，概念過(guò)于隱晦難懂，教學(xué)課時(shí)量有限，學(xué)生普遍感覺(jué)該門(mén)課程比較困難，難以理解課程內(nèi)蘊(yùn)的本質(zhì)和思想，不能較好地運(yùn)用其中的方法，學(xué)完一段時(shí)間以后就容易遺忘，大家經(jīng)常戲稱實(shí)變函數(shù)要學(xué)十遍才能掌握精髓。本文結(jié)合作者多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就如何有效開(kāi)展《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)提出一些見(jiàn)解。

1 注意引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性

部分學(xué)生剛剛接觸《實(shí)變函數(shù)》課程，會(huì)對(duì)該課程產(chǎn)生一定的誤解和偏見(jiàn)，從而影響學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。學(xué)生的第一感覺(jué)是該課程復(fù)雜難懂，第二感覺(jué)是該課程并不實(shí)用。由于大部分?jǐn)?shù)學(xué)類(lèi)師范專業(yè)學(xué)生畢業(yè)后從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作，他們片面認(rèn)為該門(mén)課程內(nèi)容與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作并不相關(guān)，無(wú)法在日后的教學(xué)中發(fā)揮作用。另外一部分同學(xué)有繼續(xù)深造的愿望，但是考研的科目通常也不包含實(shí)變函數(shù)課程，因此，他們或多或少地認(rèn)為實(shí)變函數(shù)課程的實(shí)用性不大，僅僅為了應(yīng)付期末考試通過(guò)而消極被動(dòng)學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇見(jiàn)困難就會(huì)產(chǎn)生抵觸情緒，并不能發(fā)揮主觀能動(dòng)性去解決困難。為了消除學(xué)生的偏見(jiàn)和誤解，教師在課程教學(xué)內(nèi)容正式開(kāi)始前，有必要介紹這門(mén)課程的來(lái)龍去脈，思想方法及在整個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)中的地位。它是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)和擴(kuò)展，它的思想和方法貫穿在泛函分析、微分方程及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中，也是傳統(tǒng)的代數(shù)、幾何進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿的必要橋梁之一。同時(shí)通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力及分析解決問(wèn)題的能力，這些能力的提高將對(duì)學(xué)生終身受益。通過(guò)理清實(shí)變函數(shù)課程的作用地位，有助于學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到課程的重要性及實(shí)用性，通過(guò)積極引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和積極主動(dòng)性，這些對(duì)于學(xué)生學(xué)好實(shí)變函數(shù)是必不可少的。

2 重視基礎(chǔ)，理解概念、定理的內(nèi)涵

《實(shí)變函數(shù)》課程包含大量抽象難懂的概念、定義、定理，許多教材為了簡(jiǎn)潔需要，基本都是直接給出概念的定義，然后在此基礎(chǔ)上給出定理并給予證明。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，難以把握概念的實(shí)質(zhì)，不知概念產(chǎn)生的前因后果，也不清楚概念在課程中的作用和地位。因此在教學(xué)過(guò)程中，可以介紹該概念的作用，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要這樣來(lái)定義，用這種方式定義的作用和好處是什么，它能夠解決哪些問(wèn)題，而不是僅僅簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生前人就是這樣定義的。經(jīng)過(guò)這樣教學(xué)處理能夠起到一些較好的效果，第一、降低了教學(xué)難度，將看上去冰冷的概念注入了背景，學(xué)生也明白了并不是無(wú)緣無(wú)故這樣去定義的，它是有現(xiàn)實(shí)背景的，這樣能夠讓抽象的數(shù)學(xué)生動(dòng)化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;第二、可以引導(dǎo)學(xué)生自主思考，讓學(xué)生遵循前人的思想脈絡(luò)去思考問(wèn)題，經(jīng)過(guò)多次這樣的練習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的能力。

例如，在講授完備集合的概念時(shí)，書(shū)上一般就是直接給出，若E=E'，則E就被稱為完備集合。從該定義出發(fā)，我們并不知道究竟什么樣的集合才是完備集合，為什么要這樣定義完備集合，許多學(xué)生也是直接記住該定義，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后就很容易跟其他的概念產(chǎn)生混淆。在具體教學(xué)時(shí)，先給出一個(gè)不是完備集合的例子，討論這種情況對(duì)所研究問(wèn)題造成的影響，引導(dǎo)學(xué)生思考如何彌補(bǔ)這樣的缺陷，從而一步步引出完備集的準(zhǔn)確定義，這樣學(xué)生就會(huì)對(duì)該概念有個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)。再給學(xué)生列舉一些常見(jiàn)的完備集合和非完備集合，使得學(xué)生對(duì)于完備集合有個(gè)更加直觀的了解。最后再以著名的Cantor三分集為例，打破他們對(duì)于該概念淺顯簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)，直擊完備集合的本質(zhì)。經(jīng)過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生對(duì)于該概念有個(gè)較好的認(rèn)識(shí)，充分理解完備集合的作用，真正掌握該概念的本質(zhì)。有的同學(xué)甚至還會(huì)進(jìn)一步探究，當(dāng)一個(gè)集合不是完備集的時(shí)候該如何處理，其實(shí)這就是完備化的范圍，這樣就能激發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

3 加強(qiáng)對(duì)比，實(shí)現(xiàn)從Riemann積分到Lebesgue積分的遷移學(xué)習(xí)

實(shí)變函數(shù)課程的一個(gè)重要內(nèi)容是討論一類(lèi)新的積分的性質(zhì)和運(yùn)用。隨著微積分的發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越感覺(jué)到Riemann積分的一些缺陷，例如，一些看上去性質(zhì)非常簡(jiǎn)單的函數(shù)并不可積，要想逐項(xiàng)積分，或者交換兩個(gè)無(wú)窮積分的順序，通常需要附加很強(qiáng)的條件，但在日常所遇見(jiàn)的問(wèn)題中，這些苛刻的條件可能無(wú)法滿足，這樣就限制了Riemann積分的使用，因此有了發(fā)展新的積分的動(dòng)力，而Lebesgue積分就是在這樣的背景下應(yīng)運(yùn)而生。

在給出Lebesgue積分的定義時(shí)，許多教材采用了和Riemann積分確界式定義類(lèi)似的定義方式，從此定義出發(fā)得到了大量與Riemann積分相同的性質(zhì)。學(xué)生們通過(guò)學(xué)習(xí)前期的《數(shù)學(xué)分析》課程，已經(jīng)對(duì)Riemann積分的性質(zhì)有了比較好的掌握，這兩種積分性質(zhì)的共同點(diǎn)有利于學(xué)生掌握新的Lebesgue積分的性質(zhì)，并且讓學(xué)生在心理上容易接受新的事物。兩種積分既有聯(lián)系也有區(qū)別，除了對(duì)比它們之間的共同之處，更為重要的是要對(duì)比兩者之間的不同之處。有的性質(zhì)從形式上來(lái)看是一致的，但內(nèi)涵的思想和本質(zhì)可能有大的區(qū)別，而有的性質(zhì)是Lebesgue積分所獨(dú)有的，要給學(xué)生仔細(xì)分析這些獨(dú)特性質(zhì)產(chǎn)生的根源，這些性質(zhì)對(duì)于Lebesgue積分的運(yùn)用起到了哪些作用。正是通過(guò)這些對(duì)比，幫助學(xué)生掌握兩者之間的異同，真正理解Lebesgue積分的思想，知道Lebesgue積分如何發(fā)揮其獨(dú)有的作用。

例如，為了介紹Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，通常列舉一些不Riemann可積但是Lebesgue可積的函數(shù)，這就從一個(gè)方面說(shuō)明了Lebesgue積分的適用范圍要更加廣泛，能夠處理一些Riemann積分無(wú)法處理的問(wèn)題。教材一般都是給出定義在[0，1]上的Dirichlet函數(shù)，該函數(shù)是Lebesgue可積但并不Riemann可積的典型例子。通過(guò)仔細(xì)分析該函數(shù)，讓學(xué)生明白函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上Riemann可積的本質(zhì)就是其在[a，b]上的不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的集合是一個(gè)零測(cè)度集，從而掌握兩種積分之間的本質(zhì)區(qū)別。進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生思考還有什么常見(jiàn)的函數(shù)符合這樣的情形，或者讓學(xué)生自己嘗試構(gòu)造符合該條件的函數(shù)，在此過(guò)程中逐漸培養(yǎng)學(xué)生自主思考問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維和能力。

4 總結(jié)

針對(duì)實(shí)變函數(shù)課程的特點(diǎn)，利用先進(jìn)的教學(xué)理念，不斷摸索探究符合實(shí)際的教學(xué)方法，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)專業(yè)水平和使用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)合格的數(shù)學(xué)專業(yè)人才是個(gè)值得永遠(yuǎn)思考的課題。

【參考文獻(xiàn)】

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