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    循序漸進(jìn) 由簡(jiǎn)到繁

    2019-12-17 08:12:03江美紅
    初中生世界·八年級(jí) 2019年11期
    關(guān)鍵詞:勾股定理邊長(zhǎng)直角三角形

    江美紅

    勾股定理神秘而美妙,證法繁多,其中以“面積法”證明居多。國內(nèi)外數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗C明定理創(chuàng)造了很多幾何圖形,比較著名的圖形有趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯圖、劉徽證法圖等。近幾年的中考中也出現(xiàn)了對(duì)這類圖形的考查,本文圍繞幾個(gè)基本圖形選取一些中考題作簡(jiǎn)要講解,希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。

    一、趙爽弦圖

    例1 (2019·邵陽)公元3世紀(jì)初,中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí),創(chuàng)造了“趙爽弦圖”。如圖1,設(shè)勾a=6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是 ? ? ? ?。

    【解析】題中由勾a=6,弦c=10,利用勾股定理可得股為[102-62=8],因此小正方形的邊長(zhǎng)為8-6=2,小正方形的面積為22=4,故答案是4。

    【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理,全等三角形、正方形的性質(zhì),弄清組成“趙爽弦圖”各個(gè)圖形之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。

    圖1

    例2 (2019·大慶)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖2所示)。如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,那么(a-b)2的值是______。

    圖2

    【解析】由勾股定理得,a2+b2=13,直角三角形面積為(13-1)÷4=3,即[12]ab=3,得ab=6,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1。

    【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、完全平方公式。由題意得到關(guān)于a、b的二元二次方程組,在此不必解出a、b的值,利用整體思想求出(a-b)2即可。這里我們可以體會(huì)到整體思想的優(yōu)越性。

    二、畢達(dá)哥拉斯圖

    例3 (2019·寧波)勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載。如圖3,以直角三角形的各邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖4的方式放置在最大正方形內(nèi)。若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出()。

    A.直角三角形的面積

    B.最大正方形的面積

    C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積

    D.最大正方形與直角三角形的面積和

    圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4? ? ? ? ? ? ? 圖5

    【解析】由勾股定理可知,圖3中兩個(gè)小正方形面積和等于大正方形面積。設(shè)圖中三個(gè)正方形邊長(zhǎng)從小到大依次為a、b、c,如圖5,則S陰影=c2-a2-b2+S重疊,由勾股定理可知,c2=a2+b2,所以S陰影=S重疊,故選C。

    【點(diǎn)評(píng)】本題利用勾股定理知識(shí)解決陰影部分的面積問題,因疊合過程中出現(xiàn)重疊部分,所以本題的難點(diǎn)是用三個(gè)正方形邊長(zhǎng)表示出圖中陰影部分的面積。

    三、劉徽?qǐng)D

    例4 (2018·溫州)我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式。后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理。如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為()。

    A.20B.24C.[994]D.[532]

    圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7

    【解析】本題欲求矩形的面積,只需求出小正方形的邊長(zhǎng)即可。如圖7,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x,則AC=3+x,BC=4+x。在Rt△ABC中,利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程(3+x)2+(4+x)2=72,整理得:x2+7x-12=0,而長(zhǎng)方形的面積為x2+7x+12=12+12=24,∴該矩形的面積為24,故選B。

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明及應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用。在融合數(shù)學(xué)文化的同時(shí),注重整體思想和數(shù)形結(jié)合等思想方法。

    以上問題的出現(xiàn),是近幾年中考數(shù)學(xué)卷的一大特色。它們依托數(shù)學(xué)文化,關(guān)注核心素養(yǎng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。在學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們要提升在新技術(shù)情境下理解知識(shí)并將這些知識(shí)遷移到不同情境中的能力。

    (作者單位:江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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