“勾股定理”錯(cuò)題筆記

龔輝

勾股定理的重要性不言而喻，同學(xué)們?cè)趹?yīng)用它解題時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，我們要及時(shí)整理、歸納，認(rèn)真做好錯(cuò)題筆記。龔老師整理了一些經(jīng)典案例，希望同學(xué)們以此為戒，在錯(cuò)題本上進(jìn)行完善和補(bǔ)充，并在復(fù)習(xí)和練習(xí)時(shí)避免犯類(lèi)似的錯(cuò)誤。

一、忽略勾股定理的前提

例1 如圖1，四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。

圖1

【錯(cuò)解】連接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四邊形ABCD=30+6=36。

【剖析】沒(méi)有說(shuō)明△BCD是直角三角形，不能直接運(yùn)用面積公式。本題要運(yùn)用勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形。這道題告訴我們，在解決問(wèn)題時(shí)要有嚴(yán)密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

【正解】連接BD。

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=5。

∵BD2+CD2=25+144=169=BC2，

∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形。

∴S△BCD=[12]×5×12=30。

∴S四邊形ABCD=30+6=36。

二、生搬硬套，思維定式

例2 在Rt△ABC中，a=6，b=8，若∠B=90°，求第三邊c的長(zhǎng)。

【錯(cuò)解】由勾股定理，得c2=a2+b2=36+64=100，∴c=10。

【剖析】我們?cè)谟洃浌垂啥ɡ淼墓綍r(shí)通常記作a2+b2=c2，很容易先入為主地默認(rèn)為∠C=90°，因此犯了上述錯(cuò)誤。同學(xué)們一定要認(rèn)真審題，分清直角、斜邊。

【正解】∵∠B=90°，∴b2=a2+c2。

∴c2=b2-a2=64-36=28，∴c=[27]。

三、已知條件指代不清要分類(lèi)討論

例3 已知Rt△ABC的兩條邊長(zhǎng)為3和4，求第三條邊長(zhǎng)。

【錯(cuò)解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：第三邊c=5。

【剖析】本題的錯(cuò)誤由兩個(gè)原因?qū)е?。一是思維定式，由“勾三股四弦五”直接想到答案為5;二是題中的條件是兩邊為3和4，并未指明是哪兩條邊，有可能出現(xiàn)兩種情況：兩條邊都是直角邊，一條斜邊一條直角邊。因此，本題需要分兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。

【正解】①若3和4都是直角邊，由勾股定理得：c=[32+42]=5;

②若3是直角邊，4是斜邊，則c=[42-32]=[7]。

綜上所述，第三條邊長(zhǎng)為5或[7]。

四、設(shè)錯(cuò)未知數(shù)誤入死胡同

例4 如圖2，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=4，BC=8，AC=6，求AD的長(zhǎng)。

圖2

【錯(cuò)解】設(shè)AD=x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：

BD=[16-x2]，CD=[36-x2]。

∵BC=8，∴[16-x2]+[36-x2]=8。

部分同學(xué)感到困惑：根式方程無(wú)法解決……

【剖析】利用勾股定理列方程解決問(wèn)題時(shí)，由于勾股定理的特點(diǎn)，邊長(zhǎng)通常會(huì)帶根號(hào)，因此要避免出現(xiàn)帶根式的方程。本題可以通過(guò)設(shè)間接未知數(shù)BD=x或CD=x解決。

【正解】設(shè)BD=x，則CD=8-x。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，分別由勾股定理得：AD2=16-x2，AD2=36-（8-x）2。

∴16-x2=36-（8-x）2。解之得：x=[114]。

在Rt△ABD中，由勾股定理得AD的長(zhǎng)為[3154]。

同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題時(shí)容易犯的錯(cuò)誤不僅僅是上述這些，大家一定要仔細(xì)審題，明確題目條件的特點(diǎn)，深入挖掘隱含條件，力求簡(jiǎn)便、巧妙地解答。同時(shí)，我們要關(guān)注和整理解題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤，包括自己的或同學(xué)的錯(cuò)誤，對(duì)典型的錯(cuò)誤進(jìn)行分類(lèi)歸納。我們要透過(guò)錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并利用錯(cuò)誤資源，認(rèn)真反思、制訂策略并積極地開(kāi)展有針對(duì)性的訓(xùn)練，從錯(cuò)題中積累經(jīng)驗(yàn)、完善思維、提高能力。

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市沙溪第一中學(xué)）