備受青睞的概率結(jié)果——P（B）=[49]

眭亞燕

“等可能條件下的概率”是初中數(shù)學(xué)概率部分的重點(diǎn)，用畫樹狀圖法或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來計(jì)算概率是學(xué)好本章的關(guān)鍵，也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。本文以蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“等可能條件下的概率（一）”中的例4“摸球試驗(yàn)”為基本模型，以所求結(jié)果“P（B）=[49]”為主線，讓同學(xué)們體會(huì)不同背景下蘊(yùn)含的相同數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【基本模型】蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“等可能條件下的概率（一）”中的例4（P136）：

圖1

如圖1，一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率。列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件。

解法一：把2個(gè)紅球編號(hào)為紅1、紅2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

[ 白 紅1 紅2 白 （白，白） （白，紅1） （白，紅2） 紅1 （紅1，白） （紅1，紅1） （紅1，紅2） 紅2 （紅2，白） （紅2，紅1） （紅2，紅2） ][第二次][第一次][結(jié)果]

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱味济郊t球”記為事件B，它的發(fā)生有4種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

解法二：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，如圖2所示：

圖2

由樹狀圖可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟纱味济郊t球”記為事件B，它的發(fā)生有4種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）=[49]，即兩次都摸到紅球的概率是[49]。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟（例如摸兩個(gè)球）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法或畫樹狀圖法。解題時(shí)要注意此題屬于放回試驗(yàn)。

一、用基本模型解決拋擲骰子問題

例1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，求點(diǎn)數(shù)之積小于9的概率。

圖3

【解析】考慮到該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多，故選擇用列表法解決本題。

解：用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

[ 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 ][第二次][第一次][結(jié)果]

由表格可知，共有36種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！包c(diǎn)數(shù)之積小于9”記為事件B，它的發(fā)生有16種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）=[1636]=[49]，即點(diǎn)數(shù)之積小于9的概率是[49]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“拋擲骰子”，解題方法也只是優(yōu)選了表格法，但依然可以得到結(jié)果——P（B）=[49]。

二、用基本模型解決轉(zhuǎn)盤游戲問題

例2 小剛與小亮一起玩一種轉(zhuǎn)盤游戲。如圖4是兩個(gè)完全相同的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤分成面積相等的三個(gè)區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3。同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，任其自由停止。若兩指針?biāo)傅臄?shù)字和為奇數(shù)，則小剛獲勝;否則，小亮獲勝。若指針恰好停在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向某一個(gè)數(shù)為止。問在該游戲中小剛獲勝的概率是多少？

圖4

【解析】考慮到該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多，故選擇用畫樹狀圖法解決本題。

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，如圖5所示：

圖5

由樹狀圖可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！皟芍羔?biāo)傅臄?shù)字和為奇數(shù)”記為事件B，它的發(fā)生有4種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）=[49]，即在該游戲中小剛獲勝的概率是[49]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“轉(zhuǎn)盤游戲”，解題方法也只選用了畫樹狀圖法，但仍然可以得到結(jié)果——P（B）=[49]。

三、用基本模型解決乘坐公交問題

例3 小明周末要乘坐公交車到植物園游玩，從地圖上查找路線時(shí)發(fā)現(xiàn)，幾條線路都需要換乘一次。在出發(fā)站點(diǎn)可選擇空調(diào)車X、空調(diào)車Y、普通車a，換乘站點(diǎn)可選擇空調(diào)車M、空調(diào)車N、普通車b，且均在同一站點(diǎn)換乘?？照{(diào)車投幣2元，普通車投幣1元。求小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)的概率。（用畫樹狀圖法）

【解析】該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多，按照常規(guī)解法既可以選擇列表法，也可以用畫樹狀圖法解決本題。但是本題末尾括號(hào)內(nèi)規(guī)定“畫樹狀圖法”，所以只能選擇畫樹狀圖法。

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，如圖6所示：

圖6

由樹狀圖可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！靶∶鞯竭_(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)”記為事件B，它的發(fā)生有4種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（B）=[49]，即小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)的概率是[49]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“乘坐公交”，解題方法也規(guī)定了只能用畫樹狀圖法，但依然可以得到結(jié)果——P（B）=[49]。

四、用基本模型自編一組概率問題

聰明的你能否也來編一組概率問題，使得最終結(jié)果也為P（B）=[49]。

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)浦河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）