基于最小作用量原理對經(jīng)典力學規(guī)律的導出

宿非凡

(中國科學院物理研究所 北京 100080)

1 廣義坐標

從純力學角度來說，加速度與坐標、速度的關(guān)系式稱為運動方程.對于函數(shù)q(t)來說，這個關(guān)系式是二階微分方程，原則上，將其積分就可以求出函數(shù)q(t)繼而確定系統(tǒng)的運動軌跡.

2 最小作用量原理與運動方程

則最小作用量原理表達為

δS=0

應(yīng)當說明，最小作用量原理是力學的最基本原理，很多實驗和實際過程都證明了最小作用量原理的正確性.在這里將其視為基本原理，承認其正確性而不去證明.

這樣一來

由變分定義可知δt=0，故有

為了統(tǒng)一變分變量以得到更明顯的物理意義，對上式作分部積分有

由于?q為變分虛位移，故在t1與t2時刻?q(t1)與?q(t2)相同為零且δq為任意值，故有

故根據(jù)最小作用原理，得到了力學中普適的運動方程

這個方程就是Lagrange方程.

從微分方程理論可知，若要完全確定力學系統(tǒng)的運動，必須知道描述系統(tǒng)在某個給定時刻狀態(tài)的初始條件.而且，如果兩個Lagrange量相互獨立則系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以寫為

L=LA+LB

Lagrange函數(shù)的這種性質(zhì)反映出：系統(tǒng)中每一個獨立部分的運動方程不可能包含與另一部分相關(guān)的量.從運動的角度而言，這就是各個分運動之間的獨立性.

至此，我們已經(jīng)討論了力學最基本系統(tǒng)及導出了系統(tǒng)的運動方程——Lagrange運動方程并對其進行了一些討論，得到了分運動的獨立性.

3 Lagrange方程與Newton定律

在研究力學體系時必須選擇參考系.相對于任意參考系，空間可以是非均勻且各向異性的.但是這樣一來，時間和空間的這些性質(zhì)會使力學現(xiàn)象的描述變得極其復(fù)雜.(注：這里已經(jīng)考慮了廣義相對論情況)

然而，在一般的情況下我們可以找到足夠“精確”的近似，即找到某種參考系，空間相對它是均勻且各向同性的，時間對它也是均勻的.這樣的參考系被稱之為慣性參考系.

下面從最簡單的情況入手，先研究自由質(zhì)點在慣性系中的運動情況，再研究有相互作用的封閉系統(tǒng)的運動，最后研究開放系的運動.

3.1 自由質(zhì)點在慣性系中的運動

在慣性參考系中，對于自由運動的質(zhì)點時間和空間的均勻性意味著這個函數(shù)不顯含質(zhì)點的矢徑和時間t，即L只是速度的函數(shù).由于空間各向同性，Lagrange函數(shù)也不會為速度矢量的方向，只能是速度大小的函數(shù)，也就是說L是v2n的函數(shù),即

L=L(v2n)

不失一般性取n=1，即

L=L(v2)

Lagrange方程為

且L不依賴于空間量r,所以

可見，在慣性參考系中任何自由運動的質(zhì)點其運動的速度矢量不變.這就是Newton第一運動定律.

3.2 Galileo相對性原理與質(zhì)量

實驗證明：不僅在慣性參考系中滿足上述討論，在任意其他相對于這個慣性參考系勻速運動的參考系中仍然成立.這個結(jié)論稱為Galileo相對性原理.

這里需指明，Galileo相對性原理只在慣性參考系中成立.這是由經(jīng)典的均勻時空觀所決定的，在非慣性參考系Galileo相對性原理不再成立；在時空不均勻的慣性參考系中Galileo相對性原理也不再成立.

下面討論兩個不同的慣性參考系的Lagrange函數(shù)之間的關(guān)系.基于絕對時空觀Galileo變換為：在兩個不同的參考系K和K′，其中K′相對K以速度v運動，同一個質(zhì)點相對這兩個參考系的坐標和滿足關(guān)系式

在以下的所有部分中，若未特殊說明均在慣性參考系中討論.(簡稱參考系)

進一步計算這兩個參考系的作用量

?S′=S+f(q(t2),t2)-f(q(t1),t1)

可見，兩個任意的參考系的作用量僅差一個附加項.而在確定邊界條件之下該附加項的變分將很快消失，即有

δS′=δS

即兩參考系的運動方程形式相同，符合Galileo相對性原理.由于上述討論基于絕對時空假設(shè)，根據(jù)Galileo變換必然可以導出Galileo相對性原理.可見在絕對時空假設(shè)之下，整個討論自洽.

進一步考慮，由前面的討論知道自由質(zhì)點在參考系中Lagrange函數(shù)只可能是v2的函數(shù)，即L=L(v2).若兩個參考系相對運動速度為ε(遠小于質(zhì)點的速度v)，由Galileo變換可知

L′=L(v′2)=L(v2+2v·ε+ε2)

將其展開并取一階近似有

其中m為常數(shù)，這個常數(shù)就是體系的質(zhì)量.

由于相互獨立則系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可加性可知多系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)可以表示為

3.3 Newton第二運動定律

進一步地，在質(zhì)點間有相互作用但不受外部作用的封閉體系之中，為描述質(zhì)點之間的相互作用，可以在自由質(zhì)點系的Lagrange函數(shù)中增加坐標的某一函數(shù)以描述相互作用.將這個函數(shù)記為-U，則

先來討論這時的Lagrange函數(shù)，其中勢能項僅依賴于系統(tǒng)中所有質(zhì)點在同一時刻的位置，這就是說其中任意一個質(zhì)點的位置改變立即會影響到所有其他質(zhì)點，即相互作用可以瞬時傳遞.

這在經(jīng)典力學中并不稀奇，它是絕對時空觀假設(shè)的必然結(jié)果.如果相互作用不是瞬時傳遞的，即其以一個有限的速度傳遞，那么總可以找到兩個參考系使得存在相互作用的兩個物體的運動規(guī)律在同一時刻的不同參考系里不同.這明顯違背了Galileo相對性原理，故相互作用必然瞬時傳遞.

由于Lagrange函數(shù)為

可見其在時間上是各向同性的，即用-t來替換t并不會改變其運動方程.也就是說如果在參考系中某種運動是可能的，則其逆運動也是可能的，也可以說遵循經(jīng)典力學定律的所有運動都是可逆的.

在討論清楚此時Lagrange函數(shù)的性質(zhì)后，來求封閉系統(tǒng)的運動方程.

因為運動方程

所以將其代入Lagrange方程之中，可以得到

此即Newton第二定律，是相互作用質(zhì)點力學的基礎(chǔ)，大家比較熟悉這里就不再贅言.Newton方程中的

稱為作用在第a個質(zhì)點上的力.其與U一樣，只

3.4 Newton第三定律

很自然地就可以將上述討論推廣到非封閉質(zhì)點系.由于總可以得到一個更大的封閉系統(tǒng)，所以,所有上面的討論均成立.

運動方程仍可為

設(shè)有兩個相互獨立的封閉系A(chǔ)與B，其二者的Lagrange量分別為

若選取一個更大的系統(tǒng)，使之包含A與B兩個子系統(tǒng).則A和B可視為開放系統(tǒng)而C為封閉系統(tǒng).

這樣一來，由之前的討論可知

LC=LA+LB

且

所以有

U(ra)=-U(rb)

進一步有

可見兩體系的相互作用力大小相等、方向相反、性質(zhì)相同、同時產(chǎn)生同時消失且作用于不同的系統(tǒng)之上.此即Newton第三定律.

4 結(jié)束語

至此，從力學最基本的最小作用量原理導出最一般的力學體系所遵守的規(guī)律.可見，所有的經(jīng)典力學的結(jié)論都可以基于最小作用量原理和均勻時空假設(shè)得到.整個推導過程有益于掌握更本質(zhì)的物理內(nèi)涵，明確基本物理意義且對研究更加基本的物理學有一定的啟發(fā)作用.