反證法

高慧明

北京市中學數(shù)學特級教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學;教育部課程改革“全國先進工作者”，教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關(guān)數(shù)學課堂教學、班級管理、教師專業(yè)成長等專題報告多場;在《教育研究》《中國教育學刊》《數(shù)學教育學報》《數(shù)學通報》等學術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學復印報刊資料《中學數(shù)學教與學》《中小學教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學思想方法及應(yīng)用》《高考數(shù)學命題規(guī)律與教學策略》《讓高中生學會學習》《高慧明數(shù)學教學實踐與研究》（叢書）等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學著作30余部。

反證法屬于間接證明法，是從反面的角度思考問題的證明方法。具體地講，反證法是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題等相矛盾的結(jié)論。因為矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，就使命題獲得了證明。

反證法依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時為真，至少有一個為假，這就是“矛盾律”;兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，這就是“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、公理、定理、法則或已證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假;再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。

反證法的運用模式可以簡要概括為“否定→推理→否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤地推理導致邏輯矛盾，達到新的否定。應(yīng)用反證法證明主要有三步：否定結(jié)論→推導出矛盾→結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)，即做出與求證結(jié)論相反的假設(shè);第二步，歸謬，即將反設(shè)作為條件，通過一系列的正確推理導出矛盾;第三步，結(jié)論，即說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

反證法常用來證明的問題類型包括結(jié)論以“否定”“至少”“至多”“唯一”“無限”等形式出現(xiàn)的命題，或者否定結(jié)論更明顯的具體、簡單的命題，或者難以直接證明，需要改變思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考的命題。

反證法作為一種思想方法，在數(shù)學中有很多應(yīng)用。在小學數(shù)學教學中，教師應(yīng)注意以下三點。

第一，掌握它的基本原理和步驟。反證法采用的論證方式是演繹推理中的假言推理形式，依據(jù)的是排中律。它的證明步驟大致如下：假設(shè)待證的結(jié)論為假、反論題為真;從反論題出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理，得出與已知條件或者定義、定理、公理、事實等相矛盾的結(jié)論;根據(jù)排中律得出原結(jié)論成立。

第二，正確理解反證法涉及的一些概念和詞語。在描述一對概念間的關(guān)系時，“是”與“不是”、“等于”與“不等于”、“大于”與“小于”、“至少有一個”與“一個也沒有”等是相互矛盾的關(guān)系，而“大于5”與“小于5”、“正數(shù)”與“負數(shù)”等不是相互矛盾的關(guān)系，是對立關(guān)系。也就是說，兩個矛盾的種概念外延之和等于屬概念的外延，兩個對立的種概念外延之和小于屬概念的外延，如“大于”與“小于”中間有“等于”，“正數(shù)”和“負數(shù)”中間有0。

第三，學生通過簡單的案例、運用反證法通俗易懂的推理過程，能夠了解反證法的基本思想，培養(yǎng)思維的靈活性。如：“把11個參加活動的名額分配給6個班，每班至少分配1人。請說明：不管怎樣分，至少有3個班的名額相等?！边\用反證法思考，我們可以這樣分析這道題：假設(shè)名額相等的班級最多有2個，那么需要的名額總數(shù)至少應(yīng)為“（1+2+3）×2=12（個）”，而這個結(jié)論與已知條件“11個”名額相矛盾，所以至少有3個班的名額相等。

從“如果一個各項都不為零的三項數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則這個數(shù)列一定是常數(shù)數(shù)列”這個基本事實出發(fā)，把這樣的數(shù)列設(shè)計為超過三項，得到了本問題第一問中的兩個問題。第一個小問題，只能刪除第二或第三項;第二個小問題是如果這個數(shù)列有五項，則只能刪除中間一項。解決這個問題是反證的思想，即如果刪除其他項就會在數(shù)列中出現(xiàn)基本事實與題目中要求的公差不為零的矛盾。這個問題解決后，如果數(shù)列的項數(shù)超過，則無論刪除哪一項，都會出現(xiàn)基本事實，產(chǎn)生矛盾，從而使問題得到解決。本問題的第二問是一個結(jié)論為否定的存在性命題，解決的基本思想是反證，是一個以數(shù)列知識為依托，檢驗推理與證明的問題。

下期內(nèi)容預(yù)告：數(shù)學思想方法系列講座（11）

責任編輯? 姜楚華