腔自旋波混合系統(tǒng)的研究進(jìn)展*

沈瑞昌 張國(guó)強(qiáng) 王逸璞 游建強(qiáng)?

1) (北京計(jì)算科學(xué)研究中心,量子物理與量子信息部,北京 100193)

2) (浙江大學(xué)物理系,杭州 310027)

近年來腔自旋波混合系統(tǒng)引起人們的研究興趣.基于自旋波體系的優(yōu)點(diǎn),有望建立一個(gè)以自旋波量子為核心的、實(shí)現(xiàn)不同物理系統(tǒng)之間信息傳遞的平臺(tái).本文簡(jiǎn)要介紹了腔自旋波混合系統(tǒng)的發(fā)展進(jìn)程,闡明自旋波量子與微波腔光子的耦合機(jī)制；著重介紹了近期在腔自旋波混合系統(tǒng)中關(guān)于非線性和贗厄米性方面的研究進(jìn)展,其中包括非線性效應(yīng)引起的腔自旋波量子極化激元的雙穩(wěn),宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱哈密頓量的實(shí)現(xiàn)和PT對(duì)稱自發(fā)破缺相變二階奇點(diǎn)的觀測(cè),以及如何構(gòu)造非PT對(duì)稱的贗厄米哈密頓量來實(shí)現(xiàn)三階奇點(diǎn)等.

1 引 言

量子計(jì)算的概念從費(fèi)曼最早提出到現(xiàn)在已近四十年,經(jīng)過科學(xué)家的共同努力,已取得了很大的進(jìn)展.1994年,Shor[1]提出應(yīng)用于大數(shù)分解的Shor算法；1996年,Grover[2]提出量子搜索算法.至此,量子計(jì)算的應(yīng)用前景逐漸展現(xiàn)出來,并因此進(jìn)入一個(gè)快速發(fā)展的階段.隨后一系列可能用于量子計(jì)算的物理系統(tǒng)被提出,比如囚禁的離子和原子[3,4]、電子自旋和核自旋[5,6]、超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)[7-11]等.這些系統(tǒng)各有優(yōu)點(diǎn),其在量子計(jì)算[12-14]和量子模擬[15-17]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景.然而,這些系統(tǒng)也有各自的缺點(diǎn),例如超導(dǎo)比特系統(tǒng)雖然具有很好的拓展性和操控性,但因?yàn)槌瑢?dǎo)比特和環(huán)境之間存在較強(qiáng)的相互作用,導(dǎo)致其相干時(shí)間不是很長(zhǎng)；而金剛石氮空位中心雖然擁有較長(zhǎng)的相干時(shí)間,但其可拓展性不夠.針對(duì)這些問題,科學(xué)家們開始探索將不同的物理系統(tǒng)結(jié)合起來的新方案[18,19],利用這些新的方案來實(shí)現(xiàn)一些新奇的應(yīng)用,例如將電路量子電動(dòng)力學(xué)和電子自旋系統(tǒng)結(jié)合起來以提高電子自旋的檢測(cè)靈敏度[20].

在自旋系綜和微波腔耦合的系統(tǒng)中,當(dāng)樣品較小以至于可以近似地認(rèn)為樣品中每個(gè)自旋與微波腔的耦合強(qiáng)度都一樣時(shí),自旋系綜和微波腔之間的有效耦合強(qiáng)度可以表示為其中g(shù) 為單個(gè)自旋的耦合強(qiáng)度,N為樣品中的自旋數(shù)[21].這里,自旋數(shù)取決于樣品的體積 V和自旋密度 ρ,即N=ρV.顯然,要增大有效耦合強(qiáng)度就必須增大單個(gè)自旋的耦合強(qiáng)度g 或增加自旋數(shù)N.單個(gè)自旋與微波腔的耦合強(qiáng)度較弱,而提升自旋數(shù)面臨諸多困難,如提高金剛石中氮空位中心(即自旋)密度會(huì)導(dǎo)致自旋系綜的相干時(shí)間變短.基于此,2010年,Soykal和Flatte[22,23]從理論上提出了腔自旋波混合系統(tǒng)的概念,他們建議利用鐵磁材料(例如釔鐵石榴石晶體(YIG))中的自旋系綜代替順磁材料中的自旋系綜以便實(shí)現(xiàn)微波腔和自旋系綜之間的強(qiáng)耦合.不同于順磁材料,YIG不僅天然具有較高的自旋密度(～ 2.1× 1022cm3),而且自旋之間存在較強(qiáng)的交換作用使得自旋系綜集體激發(fā)的自旋波量子具有較低的耗散率(～1 MHz),這使得實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)自旋波量子與微波腔光子之間的強(qiáng)耦合成為可能.2013年,Huebl等[24]首次在實(shí)驗(yàn)上觀察到了自旋波量子和一維超導(dǎo)微波腔的強(qiáng)耦合,其良好的耦合特性展現(xiàn)了自旋波量子廣闊的應(yīng)用前景,但是在超導(dǎo)微波腔和鐵磁系綜的耦合中存在一個(gè)明顯的缺點(diǎn),即受外加偏置磁場(chǎng)影響,超導(dǎo)微波腔的品質(zhì)因子會(huì)變小.2014年,Zhang等[25]和Tabuchi等[26]在實(shí)驗(yàn)上利用三維銅腔克服了這一困難,他們分別在室溫和低溫下實(shí)現(xiàn)了自旋波量子和三維銅腔中微波光子的強(qiáng)耦合；Zhang等[27]則對(duì)同一腔自旋波混合系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)上展示了其在低溫和室溫下不同的相干特性.2015年,Bai等[28]從Landau-Lifshitz-Gilbert方程出發(fā)建立模型,實(shí)驗(yàn)上證明了自旋抽運(yùn)可以對(duì)自旋波量子-光子模式進(jìn)行電探測(cè).Haigh等[29]通過回音壁模式實(shí)現(xiàn)了自旋波量子和光波段光子的耦合.隨后,Tabuchi等[30]以腔模為中介實(shí)現(xiàn)了自旋波量子和三維Transmon超導(dǎo)量子比特的耦合,首次觀察到了自旋波量子的數(shù)態(tài)[31].2016年,Zhang等[32]又實(shí)現(xiàn)了YIG小球中的自旋波量子和聲子的耦合,在自旋波量子與聲子相互作用的基礎(chǔ)上觀察到了電磁誘導(dǎo)透明和吸收.2018年,自旋波量子與微波光子之間耗散耦合導(dǎo)致的能級(jí)吸引被觀察到,實(shí)現(xiàn)了對(duì)自旋波量子和微波光子之間相干耦合和耗散耦合的控制[33-35].Xiao等[36]對(duì)能級(jí)吸引也給出了理論解釋,而Yuan等[37]發(fā)現(xiàn)能級(jí)吸引處的態(tài)是自旋波量子和光子的最大糾纏態(tài).最近,Wang等[38]實(shí)現(xiàn)了腔自旋波混合系統(tǒng)中微波傳輸方向的調(diào)控.因此,基于自旋波量子與其他量子系統(tǒng)良好的耦合特性,有望以自旋波量子為核心建立不同系統(tǒng)之間信息傳遞的平臺(tái)[39].

本文著重介紹近期關(guān)于腔自旋波混合系統(tǒng)的非線性和贗厄米性方面的研究進(jìn)展.在非線性方面,介紹自旋波量子非線性效應(yīng)(即克爾效應(yīng))的產(chǎn)生機(jī)制[40],以及一定條件下克爾非線性效應(yīng)引起的腔自旋波混合系統(tǒng)中腔自旋波量子的雙穏現(xiàn)象[41].在贗厄米性方面,介紹腔自旋波混合系統(tǒng)中利用相干完美吸收構(gòu)造宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱的哈密頓量以及在此系統(tǒng)中所實(shí)現(xiàn)的二階奇點(diǎn)[42],最后,介紹如何構(gòu)造非PT對(duì)稱的贗厄米哈密頓量,并在系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)高階奇點(diǎn)[43].

2 腔自旋波混合系統(tǒng)

通常,腔自旋波混合系統(tǒng)是將一個(gè)鐵磁材料的樣品(比如YIG)置于一個(gè)三維微波腔中組成,其中微波腔模和YIG材料中的自旋系綜通過磁偶相互作用耦合起來.實(shí)驗(yàn)上,為了獲得較高的Q因子,三維微波腔是由高導(dǎo)電的銅材料制作而成.對(duì)于三維微波腔,其腔模頻率和腔模的磁場(chǎng)分布可以通過設(shè)計(jì)其尺寸和形狀來確定.在腔自旋波混合系統(tǒng)的研究中,一般只關(guān)注微波腔的某一特定模式(比如基模),其對(duì)應(yīng)的哈密頓量可以表示成Hc=ωca?a ,其中 ωc為腔模的頻率,a?和 a 為腔模中微波光子的產(chǎn)生和湮滅算符.為了簡(jiǎn)便取 ?=1.

對(duì)于鐵磁材料樣品,實(shí)驗(yàn)中一般選擇直徑在亞毫米量級(jí)的YIG小球.在YIG小球中,根據(jù)波矢將自旋波模分為兩類：波矢為零的自旋波模(即Kittel模)和波矢不為零的其他自旋波模.本文的研究對(duì)象是波矢為零的Kittel模.在一個(gè)沿z 軸的外加偏置磁場(chǎng)作用下,YIG小球被均勻飽和磁化.此時(shí),YIG小球中的自旋系綜可以視為一個(gè)宏觀自旋 S≡(Sx,Sy,Sz) ,其中自旋量子數(shù)為 S=Ns ,s 為單個(gè)自旋的自旋量子數(shù),N為自旋系綜中的自旋數(shù)目.自旋系綜的能量包括塞曼能、各向異性能、退磁場(chǎng)能和海森伯交換相互作用能四部分,但對(duì)于Kittle模而言,相應(yīng)的退磁場(chǎng)能和海森伯交換相互作用能是常量[41].在線性區(qū)域,各向異性能也是常量,但在非線性區(qū)域,各向異性能會(huì)使系統(tǒng)呈現(xiàn)克爾效應(yīng).本節(jié)只考慮線性區(qū),第3節(jié)將介紹各向異性能產(chǎn)生的非線性效應(yīng).利用Holstein-Primakoff 變換[44]和可以將宏觀自旋算符 S和自旋波Kittle模的產(chǎn)生和湮滅算符 b?和 b 聯(lián)系起來,從而得到Kittel模的哈密頓量 Hm=ωmb?b ,其中ωm=γB0為自旋波量子的角頻率,γ=geμB/? 為旋磁比,ge為朗德 g 因子,μB為玻爾磁子.顯然,自旋波量子的頻率可由外加偏置磁場(chǎng)調(diào)控.

為了實(shí)現(xiàn)Kittel模和微波腔模的強(qiáng)耦合,實(shí)驗(yàn)上需要將YIG小球樣品放置于腔內(nèi)合適的位置,并調(diào)節(jié)外加偏置磁場(chǎng)的方向使得外加偏置磁場(chǎng)和腔的磁場(chǎng)分量相互垂直.此時(shí),自旋波量子與腔模相互作用的哈密頓量可以寫為 HI=gm(a?b +ab?) ,其中為Kittel模和腔模的耦合強(qiáng)度,gs為單個(gè)自旋和腔場(chǎng)之間的耦合強(qiáng)度,N為YIG小球中自旋系綜包含的自旋數(shù)目.為了使得單個(gè)自旋和腔模的耦合強(qiáng)度達(dá)到最大,實(shí)驗(yàn)中通常將YIG小球放置在腔磁場(chǎng)分量最強(qiáng)處.同時(shí),由于YIG材料天然具有很高的自旋密度,這使得自旋波量子與微波腔光子之間易于實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合,甚至可以達(dá)到超強(qiáng)耦合[45].至此,可以寫出腔自旋波混合系統(tǒng)的總哈密頓量

3 腔自旋波混合系統(tǒng)中的雙穩(wěn)現(xiàn)象

在腔自旋波混合系統(tǒng)中,由于YIG小球中存在的各向異性場(chǎng),哈密頓量中存在非線性項(xiàng),稱之為自旋波克爾項(xiàng).在低驅(qū)動(dòng)功率時(shí)自旋波克爾項(xiàng)可以忽略,從而自旋波模近似為線性諧振子.但隨著驅(qū)動(dòng)功率增大,這樣的非線性效應(yīng)無法忽略,其可在系統(tǒng)中產(chǎn)生雙穏現(xiàn)象[41],甚至可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[46].

3.1 自旋波克爾效應(yīng)

如前所述,當(dāng)YIG小球的自旋系綜的激發(fā)數(shù)較多時(shí),各向異性能會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生明顯的克爾效應(yīng).考慮到自旋波模的激發(fā)數(shù)相對(duì)于YIG小球中總自旋數(shù)是小量,對(duì)不包含宏觀自旋非線性項(xiàng)的系統(tǒng)哈密頓量做Holstein-Primakoff變換時(shí)仍舊只保留到一階項(xiàng),則得到包含宏觀自旋非線性項(xiàng)的系統(tǒng)總哈密頓量為[40]

其中 K是克爾系數(shù).需要注意的是,外加偏置磁場(chǎng)沿著不同的晶軸,各向異性能也不同,從而系統(tǒng)哈密頓量中的克爾非線性系數(shù)具有不同的值.對(duì)YIG小球的[110]晶軸沿著外加偏置磁場(chǎng)的情況,K=- 13u0Kanγ2/(16M2Vm),其小于0；對(duì)[100]晶軸沿著外加偏置磁場(chǎng)的情況,K=u0Kanγ2/(M2Vm) ,其大于0.其中 u0為真空磁導(dǎo)率,Vm為YIG小球的體積,Kan為一階各向異性系數(shù),M為飽和磁化強(qiáng)度.顯然,外加偏置磁場(chǎng)所沿著晶軸的方向決定了克爾系數(shù)的正負(fù).從克爾系數(shù)的表達(dá)式可以看出,克爾系數(shù)的絕對(duì)值與YIG小球的體積成反比,即體積越小,非線性系數(shù) K越大,但隨之而來的結(jié)果就是耦合強(qiáng)度變?nèi)?實(shí)驗(yàn)中,大家期望在強(qiáng)耦合區(qū)域獲得較強(qiáng)的非線性.因此,為了兼顧耦合強(qiáng)度和非線性系數(shù),實(shí)驗(yàn)上選擇合適尺寸的YIG小球至關(guān)重要.據(jù)估算[47],實(shí)驗(yàn)上選擇直徑在0.1 mm到1.0 mm之間的YIG小球比較合適.

3.2 腔自旋波混合系統(tǒng)中的雙穩(wěn)特性

針對(duì)在腔自旋波混合系統(tǒng)中由腔模和自旋波模的強(qiáng)耦合形成的準(zhǔn)粒子(即腔自旋波量子極化激元),Wang等[41]實(shí)驗(yàn)上觀察到了由于自旋波模的克爾效應(yīng)導(dǎo)致的腔自旋波量子極化激元的雙穩(wěn)效應(yīng).對(duì)腔自旋波混合系統(tǒng)的(總)哈密頓量進(jìn)行Bogoliubov變換[48],并定義 pp?和 q (q?) 分別是下支和上支極化激元[49]的湮滅(產(chǎn)生)算符,

其中

而 Δ=ωc-ωm為腔模與自旋波模之間的頻率失諧,可得到對(duì)角化后的系統(tǒng)總哈密頓量為：

其中 H0為變化后的線性哈密頓量,HK為變換后的克爾項(xiàng),Hd為變換后的驅(qū)動(dòng)項(xiàng),ωUP和 ωLP為上支和下支極化激元的頻率,ΔUP和 ΔLP為上支和下支極化激元的頻率移動(dòng),ωd為驅(qū)動(dòng)微波頻率,Ωd是拉比頻率.此時(shí),上下兩支極化激元的頻率移動(dòng)之間滿足關(guān)系式 ΔUP=ξΔLP,其中 ξ=v2/u2是一個(gè)由失諧量 Δ和耦合強(qiáng)度 gm決定的常數(shù).當(dāng)腔模和自旋波模共振時(shí)(即 Δ=0),ξ=1 ,上下兩支極化激元的頻率移動(dòng)保持一致.

當(dāng)|ωLP-ωd|?|ωUP-ωd|時(shí),驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的下支極化激元數(shù)目遠(yuǎn)大于上支.對(duì)于下支極化激元,通過量子郎之萬(wàn)方程,得到下支極化激元的頻率移動(dòng)ΔLP和驅(qū)動(dòng)功率 Pd之間的關(guān)系式為

其中 δLP=ωLP-ωd為下支極化激元和驅(qū)動(dòng)場(chǎng)之間頻率失諧,γLP=u2γm+v2κc為下支極化激元的衰減率,κc和 γm分別為腔模和自旋波模的衰減率.這是一個(gè)關(guān)于 ΔLP的三次方程,在一定參數(shù)條件下,方程存在三個(gè)實(shí)根.物理上,方程的最大和最小兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的是穩(wěn)定的物理狀態(tài),而中間的一個(gè)代表的是不穩(wěn)定狀態(tài),這就對(duì)應(yīng)于腔自旋波量子極化激元的雙穩(wěn)現(xiàn)象.

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示,YIG小球放置在一個(gè)三維微波腔中,并在外加偏置磁場(chǎng) B0的作用下均勻飽和磁化.三維腔的端口1和端口2與網(wǎng)絡(luò)分析儀(VNA)相連,用于探測(cè)微波腔的傳輸譜,端口3與微波源(MW)相連,通過環(huán)形天線直接驅(qū)動(dòng)YIG小球.YIG小球的自旋波模和微波腔的TE102模式耦合,TE102模式的磁場(chǎng)分布如圖1所示,YIG小球放置在TE102模式磁場(chǎng)最強(qiáng)處.

圖1 YIG小球和三維微波腔耦合系統(tǒng)示意圖及腔內(nèi)磁場(chǎng)分布模擬圖[41]Fig.1.Schematic of YIG sphere and three-dimensional microwave cavity coupling system and the simulation of magnetic field distribution in cavity[41].

圖2 自旋波模和腔模共振時(shí)下支極化激元的頻率移動(dòng)隨驅(qū)動(dòng)功率變化情況 (a)偏置磁場(chǎng)沿晶軸[100]的情況；(b)偏置磁場(chǎng)沿晶軸[110]的情況[41]Fig.2.When the magnon resonated with the cavity mode,the curves of the frequency shift of the lower-branch cavity magnon polaritons ΔLP versus the driving power Pd：(a) The bias magnetic field is along the crystal axis [100]；(b) the bias magnetic field is along the crystal axis [110][41].

當(dāng)自旋波模和腔模共振時(shí),兩支極化激元中腔模和自旋波模的成分各占一半,兩支極化激元的頻率移動(dòng)情況相同.對(duì)于外加偏置磁場(chǎng) B0沿晶軸[100](即克爾系數(shù) K＞ 0)和沿晶軸[110](即克爾系數(shù) K＜ 0)兩種情況,下支極化激元的頻率移動(dòng)ΔLP隨驅(qū)動(dòng)功率 Pd的變化情況如圖2所示.當(dāng)偏置磁場(chǎng) B0沿晶軸[100]時(shí),下支極化激元的頻率移動(dòng)ΔLP為正.在一定頻率失諧量下,腔自旋波量子極化激元的頻率移動(dòng) ΔLP隨驅(qū)動(dòng)功率 Pd變化,并在臨界點(diǎn)發(fā)生跳變,圖中箭頭表示跳變方向.驅(qū)動(dòng)功率Pd先增大再減小的過程中,腔自旋波量子極化激元的頻率移動(dòng) ΔLP變化曲線形成一個(gè)逆時(shí)針的遲滯回線,即腔自旋波量子極化激元的頻率移動(dòng)存在雙穏現(xiàn)象.下支極化激元頻率 ωLP和驅(qū)動(dòng)微波頻率ωd失諧 δLP的絕對(duì)值越大,遲滯回線面積越大.當(dāng)偏置磁場(chǎng) B0沿晶軸[110]時(shí),隨著驅(qū)動(dòng)功率增加,下支極化激元的頻率移動(dòng) ΔLP為負(fù),遲滯回線為逆時(shí)針,其他性質(zhì)與偏置磁場(chǎng) B0沿晶軸[100]時(shí)類似.圖2中圓圈代表功率逐漸增大時(shí)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),三角形代表功率逐漸減小時(shí)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),虛線為理論結(jié)果.顯然,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬相符合.

4 腔自旋波混合系統(tǒng)中的贗厄米性

4.1 贗厄米性

量子力學(xué)表明,對(duì)于一個(gè)封閉的物理系統(tǒng),哈密頓量必須是厄米的才能保證其本征值是實(shí)的.但任何實(shí)驗(yàn)上可實(shí)現(xiàn)的量子系統(tǒng)都是開放系統(tǒng),其有效哈密頓量本質(zhì)上是非厄米的.1998年,Bender和 Boettcher[50]發(fā)現(xiàn)對(duì)于滿足PT對(duì)稱性的哈密頓量,其所有本征值都是實(shí)的或復(fù)共軛對(duì).對(duì)于PT對(duì)稱的物理系統(tǒng),通過在臨界點(diǎn)附近改變哈密頓量中某一參數(shù),系統(tǒng)可以在參數(shù)空間中實(shí)現(xiàn)從PT對(duì)稱相到PT對(duì)稱破缺相的相變[51],相變的臨界點(diǎn)稱作n 階奇點(diǎn).這里所謂的n 階奇點(diǎn),物理本質(zhì)上就是非厄米物理系統(tǒng)中的n 階簡(jiǎn)并點(diǎn).在n 階奇點(diǎn)處,系統(tǒng)的n 個(gè)本征值以及對(duì)應(yīng)的n 個(gè)本征矢都合并到一起.2002年,Mostafazadeh[52,53]將PT對(duì)稱理論拓展為：對(duì)于任意一個(gè)哈密頓量 H,如果能夠找到一個(gè)線性的厄米算符 U使得哈密頓量滿足 H?=UHU-1,則這個(gè)哈密頓量就是贗厄米的,其所有本征值都是實(shí)的或復(fù)共軛對(duì).此外,Mostafazadeh還證明PT對(duì)稱哈密頓量是贗厄米哈密頓量的一種.以下文中凡是提到的贗厄米性均表示非PT對(duì)稱的贗厄米性.這里,贗厄米哈密頓量、PT對(duì)稱哈密頓量和厄米哈密頓量三者之間的關(guān)系如圖3所示.

圖3 贗厄米哈密頓量、PT對(duì)稱哈密頓量和厄米哈密頓量之間關(guān)系示意圖Fig.3.Relationship between the pseudo-Hermitian,the PT-symmetric Hamiltonian and the Hermitian Hamiltonian.

4.2 腔自旋波混合系統(tǒng)中的二階奇點(diǎn)

如圖4所示,將一個(gè)粘在細(xì)棍一端的YIG小球通過三維微波腔側(cè)面的小孔置于腔內(nèi),該混合系統(tǒng)的哈密頓量如(1)式所示,其中腔模和Kittel模之間的耦合強(qiáng)度可以通過移動(dòng)細(xì)棍來調(diào)節(jié)[42].此外,通過三維微波腔的端口1和2將兩束頻率相同的微波場(chǎng)饋入腔內(nèi).在端口i 處(i = 1,2),輸入場(chǎng)輸出場(chǎng)和腔場(chǎng) a 之間滿足其中由端口i 誘導(dǎo)的衰減κ可以通過改變

i伸入端口i 的傳輸線長(zhǎng)度來調(diào)節(jié).在一定參數(shù)條件下,系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)相干完美吸收(即)；此時(shí),輸入場(chǎng)與腔場(chǎng)之間滿足在相干完美吸收的情況下,腔自旋波混合系統(tǒng)的有效哈密頓量可以表示成

其中 κg=κ1+κ2-κint＞0是腔模的有效增益,κint是腔模的固有損耗率,γm是自旋波模的衰減率.這是一個(gè)非厄米的哈密頓量,其本征頻率是復(fù)的.通過調(diào)節(jié)自旋波模頻率和端口衰減使得系統(tǒng)參數(shù)滿足 ωc=ωm及 κg=γm時(shí),系統(tǒng)的有效哈密頓量具有PT對(duì)稱性.由此,利用相干完美吸收在腔自旋波混合系統(tǒng)中構(gòu)建了一個(gè)PT對(duì)稱的哈密頓量.該哈密頓量的本征值為

PT對(duì)稱性的自發(fā)破缺點(diǎn)在 gm=γm處,即二階奇點(diǎn)處.當(dāng) gm＞γm時(shí),哈密頓量的本征值 ω1,2都是實(shí)的,此時(shí)系統(tǒng)處于PT對(duì)稱區(qū)；當(dāng) gm＜γm時(shí),哈密頓量的本征值 ω1,2為復(fù)共軛對(duì),系統(tǒng)處于PT對(duì)稱自發(fā)破缺區(qū).

圖4 PT對(duì)稱系統(tǒng)示意圖 (a)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖；(b)腔TE101模和TE102模磁場(chǎng)分布模擬圖[42]Fig.4.Schematic of PT-symmetrical system：(a) The schematic of experimental device；(b) the simulation of cavity mode TE101 and TE102[42].

實(shí)驗(yàn)中[42],通過測(cè)量系統(tǒng)的總傳輸譜|Stot(ω)|2=|S1(ω)|2+|S2(ω)|2來觀察系統(tǒng)的PT對(duì)稱自發(fā)破缺相變,其中對(duì)應(yīng)于端口1(2)的傳輸系數(shù).顯然,當(dāng)相干完美吸收發(fā)生時(shí),系統(tǒng)的總傳輸譜 |Stot(ω)|2=0.實(shí)驗(yàn)上利用腔的 TE102模和自旋波模耦合,如圖4(b)所示初始時(shí)將YIG小球放置在腔磁場(chǎng)分量最弱處,自旋波模與腔模之間耦合強(qiáng)度最小,然后通過沿 x 軸調(diào)節(jié)YIG小球偏離初始位置位移 x 來改變自旋波模與腔模之間的耦合強(qiáng)度.圖5分別從數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)上展示了總傳輸譜 |Stot(ω)|2隨YIG小球位置 x 以及輸入場(chǎng)頻率 ω的變化情況,圖中白色圓圈為系統(tǒng)本征能譜,白色圓點(diǎn)為二階奇點(diǎn).正如所期待的那樣,系統(tǒng)的實(shí)本征能譜和相干完美吸收頻率一致.當(dāng)耦合強(qiáng)度 gm逐漸減小過程中系統(tǒng)的兩個(gè)實(shí)本征能量逐漸靠近,gm=γm時(shí)只有一個(gè)實(shí)本征能量,實(shí)本征能量合并處即為從PT對(duì)稱相到PT對(duì)稱破缺相的二階奇點(diǎn).因此,可以通過測(cè)量腔模的總傳輸譜來觀察PT對(duì)稱系統(tǒng)的自發(fā)破缺相變和二階奇點(diǎn).最近,Grigoryan等[54]從不同的角度出發(fā),考慮補(bǔ)償?shù)淖孕D(zhuǎn)矩,理論上給出了實(shí)現(xiàn)PT對(duì)稱的自旋波量子與諧振腔耦合的體系.

圖5 PT對(duì)稱系統(tǒng)中總傳輸譜 |Stot(ω)|2隨YIG小球位置x 以及輸入場(chǎng)頻率 ω的變化情況 (a)理論模擬結(jié)果；(b)實(shí)驗(yàn)結(jié)果[42]Fig.5.The total transmission spectrum |Stot(ω)|2versus the position of YIG sphere x and the frequency of input field ω：(a) The theoretical simulation results；(b) the experimental results[42].

4.3 腔自旋波混合系統(tǒng)中的三階奇點(diǎn)

如圖6(a)所示,類似于PT對(duì)稱的腔自旋波混合系統(tǒng)的裝置,在腔內(nèi)放置兩個(gè)YIG小球,但每個(gè)YIG小球?qū)?yīng)的Kittel模的頻率可以單獨(dú)調(diào)控.這兩個(gè)YIG小球中的Kittel模與同一個(gè)腔模通過磁偶極相互作用耦合,混合系統(tǒng)的總哈密頓量可以寫為

圖6 贗厄米系統(tǒng)示意圖和理論結(jié)果模擬圖[47](a)贗厄米系統(tǒng)示意圖；(b)理論模擬總傳輸譜 |Stot(ω)|2隨耦合強(qiáng)度 g1以及輸入場(chǎng)和腔模之間的頻率失諧量 ω-ωc的變化情況Fig.6.The system schematic and the simulation of theoretical results of pseudo-Hermitian system[47]：(a) The schematic of pseudo-Hermitian system；(b) the total transmission spectrum |Stot(ω)|2versus the coupling strength g1 and the frequency detuning between the input field and the cavity mode ω-ωc.

其中 γ1(2)為第1(2)個(gè)YIG小球中自旋波模的耗散率.不失一般性,假設(shè)這兩個(gè)Kittel模具有相同的耗散率(即 γ1=γ2≡γm),且兩個(gè)Kittel與同一腔模之間的耦合強(qiáng)度相同(即 g1=g2≡gm),利用贗厄米哈密頓量的性質(zhì),可以證明當(dāng)腔自旋波混合系統(tǒng)的參數(shù)滿足時(shí),系統(tǒng)的哈密頓量具有贗厄米性,其中Δ1(2)=ω1(2)-ωc是第1(2)個(gè)YIG小球中自旋波模與腔模之間的頻率失諧.在贗厄米條件下,腔自旋波混合系統(tǒng)的有效贗厄米哈密頓量對(duì)應(yīng)的三個(gè)本征值為

這種情況下,通過量子郎之萬(wàn)方程可以求出系統(tǒng)的相干完美吸收條件[43].比較相干完美吸收對(duì)應(yīng)的頻率和系統(tǒng)本征值可以發(fā)現(xiàn),與PT對(duì)稱的腔自旋波混合系統(tǒng)類似,贗厄米混合系統(tǒng)中的相干完美吸收頻率也和系統(tǒng)的實(shí)本征值一致.因此,可以利用相干完美吸收觀察系統(tǒng)的本征能譜和三階奇點(diǎn).圖6(b)展示了傳輸譜 |Stot(ω)|2隨輸入場(chǎng)與腔模之間頻率失諧量 ω-ωc以及自旋波模與腔模之間耦合強(qiáng)度 gm的變化情況,其中白色虛線代表贗厄米有效哈密頓量 Heff的實(shí)本征能譜,白色星形代表贗厄米系統(tǒng)中的三階奇點(diǎn).結(jié)果顯示可以通過傳輸譜來觀察贗厄米的腔自旋波混合系統(tǒng)的本征能譜和三階奇點(diǎn).

相比二階奇點(diǎn),高階奇點(diǎn)具有更豐富的物理特性,例如具有更豐富的拓?fù)涮匦院瓦M(jìn)一步增強(qiáng)探測(cè)的靈敏度.最近,曹云姍等[55]利用腔自旋波混合系統(tǒng)構(gòu)建了PT對(duì)稱的哈密頓量,預(yù)言在三階奇點(diǎn)附近腔自旋波量子極化激元的磁靈敏度將比現(xiàn)有的磁電傳感器高兩個(gè)數(shù)量級(jí).

5 總 結(jié)

本文介紹了腔自旋波混合系統(tǒng)中關(guān)于非線性和贗厄米性的實(shí)驗(yàn)與理論工作.在非線性方面,闡明了自旋波量子的非線性效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理[40],以及利用非線性效應(yīng)實(shí)現(xiàn)的腔自旋波量子極化激元的雙穏[41,47].在贗厄米性方面,利用腔自旋波混合系統(tǒng)良好的可調(diào)控性,通過相干完美吸收在系統(tǒng)中構(gòu)建了具有PT對(duì)稱性的有效哈密頓量,并顯示了實(shí)驗(yàn)上觀察到的腔自旋波混合系統(tǒng)的PT對(duì)稱破缺相變[42]；此外,在腔自旋波混合系統(tǒng)中還構(gòu)建了非PT對(duì)稱的贗厄米有效哈密頓量,其存在三階奇點(diǎn)[43].關(guān)于腔自旋波混合系統(tǒng)的非線性和贗厄米性還有很多新奇的現(xiàn)象,比如腔自旋波混合系統(tǒng)中的多穏現(xiàn)象和更為復(fù)雜的對(duì)稱性破缺相變等.這些現(xiàn)象的研究在實(shí)驗(yàn)上依舊是具有挑戰(zhàn)性的科學(xué)問題,有待科學(xué)家們的不懈努力去探索與發(fā)現(xiàn).