從數(shù)學(xué)、力學(xué)教學(xué)淺談類比思維

薛大文

摘 要：數(shù)學(xué)和力學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，既具有很強的理論性，又具有廣泛的應(yīng)用性。在數(shù)學(xué)和力學(xué)的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握相關(guān)的理論知識和解答技巧，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和思維方法。類比思維是一種重要的思維方法，其根據(jù)已有知識展開聯(lián)想或與已有知識的相似性進(jìn)行一定的對比，解決新問題和達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新能力等目的。本文通過“小數(shù)階乘”和“伽瑪函數(shù)”的概念，闡述類比思維在數(shù)學(xué)和力學(xué)教學(xué)中的功能和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：類比法 小數(shù)階乘 伽瑪函數(shù) 教學(xué)

中圖分類號：G64文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-9082（2019）11-0-01

一、類比思維方法

類比法是數(shù)學(xué)、力學(xué)學(xué)習(xí)中重要方法之一。類比法是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法。

通常來說，在研究和認(rèn)識新事物、新對象的過程中，通過聯(lián)想與其相似的已知的熟悉對象，通過觀察和思考新對象與已知對象之間的相同點和相似性，通過已知事物所具有的屬性，從而推斷出其新事物也具有相似的屬性，得出相關(guān)結(jié)論，從而引起發(fā)現(xiàn)新規(guī)律和新思維的方法。[1]

類比法是一種平行思維方法，類比也應(yīng)該是在同層次之間進(jìn)行。亞里士多德在《前分析篇》中指出：“類推所表示的不是部分對整體的關(guān)系，也不是整體對部分的關(guān)系?！鳖惐韧评硎且环N或然性推理，前提真結(jié)論未必就真。要提高類比結(jié)論的可靠程度，就要盡可能地確認(rèn)對象間的相同點。相同點越多，結(jié)論的可靠性程度就越大，因為對象間的相同點越多，二者的關(guān)聯(lián)度就會越大，結(jié)論就可能越可靠。反之，結(jié)論的可靠性程度就會越小。[2]

總而言之，類比思維就是一種用已知熟悉的事物去替代陌生事物、將陌生轉(zhuǎn)為熟悉的思維，通過思維的發(fā)散，在腦海中找到一種似曾相識的感覺，再加上想象力和創(chuàng)新能力的完善，達(dá)到解決問題獲取新知識的途徑。

二、類比思維應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，我們學(xué)過階乘的概念，一個正整數(shù)的階乘被定義為所有小于及等于該數(shù)的正整數(shù)的積，且0的階乘定義為1，是由基斯頓卡曼于1808年引入。任一自然數(shù)n的階乘寫作n！，定義為：

通過上式，我們可以求得任一自然數(shù)n的階乘。如圖2所示為n取1，2，3，4所得的階乘在坐標(biāo)軸中的點列。對于該圖，很容易提出這樣的問題，如果取橫軸坐標(biāo)為1.5，則對應(yīng)的縱軸坐標(biāo)是多少？更進(jìn)一步，若將圖中各點用光滑曲線連接（圖3），則該曲線形狀及其表達(dá)式又是什么？

這就是針對于正整數(shù)的階乘性質(zhì)，經(jīng)過聯(lián)想，通過類比的思維將正整數(shù)推廣到小數(shù)，對小數(shù)求階乘。事實上，對于任意正數(shù)的階乘這一問題的研究可以追溯到17世紀(jì)，經(jīng)過沃利斯、棣莫弗、斯特林、哥德巴赫、伯努利等幾代數(shù)學(xué)家的努力，最終由18世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)家歐拉完美解決，解決該問題時，歐拉年僅23歲，這一年神奇的伽瑪函數(shù)在數(shù)學(xué)史的誕生。

應(yīng)用分布積分法，不難證明伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)， ，

顯而易見，伽瑪函數(shù)與 在遞推公式上具有一致性，且 ，因而伽瑪函數(shù)是作用在實數(shù)域上廣義階乘。至此，我們還可以畫出伽瑪函數(shù)在坐標(biāo)軸上的曲線圖，如圖4所示，這正是前文所述將各正整數(shù)階乘點列連接的光滑曲線。

伽瑪函數(shù)自誕生以來棲身于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支，在微積分、概率論、偏微分方程、組合數(shù)學(xué)等都起著重要的作用，[3]并且其絕非數(shù)學(xué)家們憑空臆想的一個抽象玩具，它同時具有極高的實用價值，頻繁現(xiàn)身于在現(xiàn)代科學(xué)尤其是物理學(xué)之中。

從以上不難看出，類比法的特點是“先比后推”。[4]“比”是類比的基礎(chǔ)，“推”是類比的核心。在應(yīng)用類比法教學(xué)的過程中，首先找到兩類不同對象之間的相似特征，根據(jù)這一類對象的已知特點，去推測另一類對象可能的特征，從而大膽猜想，小心驗證。通過“類比歸納”、“類比猜想”、“類比推理”、“類比驗證”等過程實現(xiàn)由此及彼。[5]

類比思維能夠幫助我們預(yù)見事物的發(fā)展進(jìn)程、體現(xiàn)象背后的本質(zhì)，理解比較抽象的概念、規(guī)律的內(nèi)涵等。通過類比思維的教學(xué)運用能夠幫助學(xué)生巧妙地越過思維障礙，建立熟悉的模型，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、知識與技能的遷移能力。類比思維的教學(xué)與訓(xùn)練對于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析解決問題的能力、促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1]王艷紅. 數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用類比法的分析[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2014（17）：89.

[2]李長華. 類比法在物理學(xué)中的應(yīng)用[J]. 淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）. 2004（4）：94-97.

[3]田德建， 索新麗， 許盈盈. 伽馬函數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2017（23）：7-8.

[4]杜永來. 類比思維法在初中物理教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 林區(qū)教學(xué). 2010（12）：100-101.

[5]關(guān)冬月. 類比思維法在高等數(shù)學(xué)及其教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）.2005（3）： 86-88.