埃博拉流行病的離散logistic動(dòng)力學(xué)模型及其參數(shù)辨識(shí)

曹亞丹，魏順行，徐恭賢*,,2

(1. 渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013；2. 渤海大學(xué) 數(shù)字出版大數(shù)據(jù)挖掘與治理及呈現(xiàn)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 錦州 121013)

0 引言

埃博拉流行病是一種急性嚴(yán)重傳染病，其主要癥狀初期表現(xiàn)為乏力、發(fā)熱、肌肉疼痛、頭痛和咽喉痛，后期會(huì)出現(xiàn)嘔吐、腹瀉、皮疹、肝腎功能損害，甚至有可能出現(xiàn)內(nèi)外出血并且嚴(yán)重威脅生命安全〔1-2〕.2014年爆發(fā)了史上最嚴(yán)重的一次埃博拉疫情，疫情最先在幾內(nèi)亞發(fā)生，由于爆發(fā)地對(duì)于死者實(shí)行埋葬習(xí)俗、爆發(fā)地人口稠密、疫情國(guó)家之間的邊貿(mào)活動(dòng)頻繁等原因，疫情快速蔓延到其他國(guó)家.目前人們對(duì)埃博拉流行病的數(shù)學(xué)建模、傳染動(dòng)力學(xué)等方面進(jìn)行了廣泛研究，取得了一系列成果〔1-12〕.

本文研究埃博拉流行病的傳染動(dòng)力學(xué)模型建立及其參數(shù)辨識(shí)問題.首先構(gòu)建了埃博拉流行病的離散logistic動(dòng)力學(xué)模型，然后給出了參數(shù)辨識(shí)優(yōu)化問題，該優(yōu)化問題可以計(jì)算所提離散logistic數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)參數(shù)值.基于世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)的幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞等西非國(guó)家的病例數(shù)據(jù)，擬合出所構(gòu)建埃博拉離散logistic動(dòng)力學(xué)模型的最優(yōu)參數(shù)值，并對(duì)其進(jìn)行了參數(shù)分析.

1 埃博拉流行病的離散logistic非線性系統(tǒng)

目前有多種數(shù)學(xué)模型可以用來描述流行病的傳染動(dòng)力學(xué)〔13-14〕.基于埃博拉傳染病的流行特點(diǎn)，本文建立了如下離散logistic動(dòng)力學(xué)模型：

N(t+1)=N(t)+μN(yùn)(t)-λN2(t),t=t0,t0+1,…，tf-2,tf-1

(1)

N(t0)=N0

(2)

其中，N(t)表示第t天某國(guó)家埃博拉傳染病患者的累計(jì)人數(shù)，μ表示染病人數(shù)的增長(zhǎng)率，λ則表示埃博拉疾病的抑制常數(shù)〔1〕，N0表示在爆發(fā)初期感染埃博拉病毒的患者數(shù)量，t0表示初始染病時(shí)間，tf為埃博拉流行病結(jié)束的時(shí)間.

當(dāng)埃博拉流行病的染病人數(shù)不再上升時(shí)，我們有N(t+1)=N(t)，稱此時(shí)的N(t)為最大染病人數(shù)，記為Nmax，代入式(1)可得

(3)

染病人數(shù)的增長(zhǎng)率μ主要取決于埃博拉病毒本身的傳染性強(qiáng)弱，而埃博拉疾病的抑制常數(shù)λ則主要受疾病爆發(fā)后控制措施的合理性和有效性的影響.在埃博拉流行病爆發(fā)的初期，由于沒有采取有效的控制措施，抑制常數(shù)λ趨近于0，此時(shí)離散logistic動(dòng)力學(xué)模型(1)～(2)變?yōu)?/p>

N(t+1)=N(t)+μN(yùn)(t),t=t0,t0+1,…，tf-2,tf-1

(4)

N(t0)=N0

(5)

其解析解為

N(t)=N0(1+μ)t-t0,t=t0,t0+1，…，tf-1,tf

(6)

2 埃博拉流行病離散logistic模型的參數(shù)辨識(shí)

為方便起見，記

p=(p1,p2)T

=(μ,λ)T

根據(jù)各參數(shù)的實(shí)際意義可知：參數(shù)μ>0，λ>0，初始值N0>0，且μ，λ和N0均為有界變量，即存在

0

0

0

另設(shè)

f(N(t),p)=N(t)+p1N(t)-p2N2(t)

=N(t)+μN(yùn)(t)-λN2(t)

則式(1)～式(2)可重新表示為如下形式：

N(t+1)=f(N(t),p),t=t0,t0+1,…，tf-2,tf-1

(7)

N(t0)=N0

(8)

記某國(guó)家第ti(i=0,1,…,n)天的實(shí)際累計(jì)染病人數(shù)為Ne(ti).為了使離散logistic模型(7)～(8)能夠較好地描述埃博拉流行病的傳染過程，本文以第ti(i=0,1，…,n)天的理論計(jì)算值N(ti;N0,p)與實(shí)際累計(jì)染病人數(shù)Ne(ti)之差的平方和為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，建立了如下埃博拉流行病的參數(shù)辨識(shí)問題：

(9)

s.t.N(ti;N0,p)=f(N(ti-1;N0,p),p),i=2,3,…,n

(10)

N(ti;N0,p)=f(N(t0),p)

(11)

N(t0)=N0

(12)

p∈P

(13)

如果N0給定，則參數(shù)辨識(shí)問題(9)～(13)是關(guān)于參數(shù)向量p的連續(xù)非線性規(guī)劃問題.容易證明參數(shù)辨識(shí)問題(9)～(13)存在最優(yōu)解p*，即存在p*∈P，使得

F(p*)≤F(p),?p∈P

3 結(jié)果與分析

以世界衛(wèi)生組織公布的幾內(nèi)亞、塞拉利昂以及利比里亞三個(gè)國(guó)家的埃博拉流行病累計(jì)感染人數(shù)為實(shí)際數(shù)據(jù)(幾內(nèi)亞，塞拉利昂和利比里亞三個(gè)國(guó)家的數(shù)據(jù)起始時(shí)間分別為2014年3月22日、6月1日和6月16日，截止時(shí)間均為2015年12月30日).利用MATLAB軟件計(jì)算求得三個(gè)國(guó)家各自染病人數(shù)的增長(zhǎng)率μ和埃博拉疾病的抑制常數(shù)λ的值，(圖1、圖2).圖1和圖2也給出了連續(xù)logistic模型〔1〕的參數(shù)計(jì)算結(jié)果.

圖1 染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ的比較 圖2 抑制常數(shù)λ的比較

從圖1可以看出，三個(gè)國(guó)家的染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ從小到大排列為幾內(nèi)亞、塞拉利昂、利比里亞.染病人數(shù)增長(zhǎng)率主要由埃博拉病毒本身的性質(zhì)決定，但同時(shí)也受其他因素的影響，例如國(guó)家的地理位置、氣候條件、人口數(shù)量以及密度、經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度、醫(yī)療衛(wèi)生發(fā)展情況、國(guó)民身體素質(zhì)等.通常情況下，國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度越高，公共衛(wèi)生條件越好，則染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ的值就越小.反之，對(duì)于經(jīng)濟(jì)相對(duì)落后的國(guó)家，公共衛(wèi)生條件較差，則染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ的值就比較大.顯然，利比里亞的染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ的值甚至大于幾內(nèi)亞的2倍.

從圖2可以看出，三個(gè)國(guó)家抑制常數(shù)λ從小到大排列為塞拉利昂、利比里亞、幾內(nèi)亞.抑制常數(shù)λ的值顯然與人為控制因素有關(guān)，抑制常數(shù)λ的值越大，說明公共醫(yī)療衛(wèi)生設(shè)施更完善，對(duì)于傳染病的控制和預(yù)防更為及時(shí)和有效，例如疫苗的及時(shí)研發(fā)和廣泛接種、對(duì)感染病人的及時(shí)確診和有效隔離、政府對(duì)于疫情的高度重視.

幾內(nèi)亞、塞拉利昂、利比里亞三個(gè)國(guó)家是西非埃博拉疫情最為嚴(yán)重的國(guó)家，三個(gè)國(guó)家的地理位置彼此鄰近，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平都相對(duì)落后，衛(wèi)生條件都比較差，因此三個(gè)國(guó)家的染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ以及抑制常數(shù)λ的值都在同一數(shù)量級(jí)之內(nèi).三個(gè)國(guó)家中，幾內(nèi)亞對(duì)于埃博拉疫情的重視程度最高，因此與其他兩個(gè)國(guó)家相比，其染病人數(shù)增長(zhǎng)率μ的值不僅最小，同時(shí)抑制常數(shù)λ的值也最大，這說明埃博拉流行病的傳染在幾內(nèi)亞得到了更好的控制.利比里亞的抑制常數(shù)雖然約為塞拉利昂抑制常數(shù)的2倍，但由于其染病人數(shù)增長(zhǎng)率也較大，所以染病人數(shù)仍比較大.

圖3～5分別表示幾內(nèi)亞、塞拉利昂、利比里亞的埃博拉流行病染病人數(shù)仿真結(jié)果，可以看出模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)之間的擬合度較高.

圖3 幾內(nèi)亞埃博拉流行病染病人數(shù)仿真結(jié)果

圖4 塞拉利昂埃博拉流行病染病人數(shù)仿真結(jié)果

表1給出了幾內(nèi)亞、塞拉利昂、利比里亞三個(gè)國(guó)家埃博拉流行病的實(shí)際累計(jì)染病人數(shù)以及本文計(jì)算出的最大染病人數(shù)Nmax和連續(xù)logistic模型〔1〕給出的最大染病數(shù)Nmax值的比較.從表1中可以看出本文計(jì)算出的幾內(nèi)亞、塞拉利昂、利比里亞三個(gè)國(guó)家最大染病人數(shù)和實(shí)際累計(jì)染病人數(shù)的差值分別是31、820和443，而連續(xù)logistic模型計(jì)算出的三個(gè)國(guó)家最大染病人數(shù)和實(shí)際累計(jì)染病人數(shù)的差值分別是26、857和586.總體來說，本文離散logistic模型的計(jì)算值與實(shí)際結(jié)果更為接近，說明本文的計(jì)算結(jié)果要優(yōu)于連續(xù)logistic模型的計(jì)算結(jié)果.

圖5 利比里亞埃博拉流行病染病人數(shù)仿真結(jié)果

表1 兩種模型計(jì)算的各國(guó)埃博拉流行病最大染病人數(shù)對(duì)比

表2給出了兩種模型誤差值的對(duì)比，從中可以明顯看出離散logistic模型計(jì)算的三個(gè)國(guó)家的誤差值均明顯小于連續(xù)logistic模型〔1〕的誤差值，進(jìn)一步說明離散logistic模型比連續(xù)logistic模型更接近實(shí)際情況，能更準(zhǔn)確的描述埃博拉流行病的傳染規(guī)律.

表2 兩種模型的誤差值對(duì)比

4 結(jié)論

本文研究了埃博拉流行病的傳染動(dòng)力學(xué)問題.在前人建立的連續(xù)logistic模型基礎(chǔ)上，針對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)不具有連續(xù)性、連續(xù)logistic模型不能很好描述實(shí)際情況這個(gè)問題，建立了離散logistic非線性系統(tǒng)來描述埃博拉流行病的傳染規(guī)律.以世界衛(wèi)生組織公布的幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞三個(gè)西非疫情國(guó)家的埃博拉流行病實(shí)際染病人數(shù)為數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab軟件對(duì)構(gòu)建的離散logistic模型進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)研究，計(jì)算出各個(gè)國(guó)家的染病人數(shù)增長(zhǎng)率和抑制常數(shù)的值.結(jié)果表明，雖然埃博拉流行病在各國(guó)家的傳染情況不同，但三個(gè)國(guó)家的離散logistic模型均比連續(xù)logistic模型更符合實(shí)際情況，也就是說，與連續(xù)logistic模型相比，離散logistic模型能更準(zhǔn)確地描述埃博拉流行病在各個(gè)國(guó)家的傳播情況.