求解受力平衡問題的多種方法賞析

■山東省菏澤市第三中學(xué) 閆雨華

方法一：合成與分解法

利用力的合成與分解能夠解決三力平衡問題,求解時有兩種思路:一是將其中一個力沿另兩個力的反方向進(jìn)行分解,將三力轉(zhuǎn)化為四力,構(gòu)成兩對平衡力,根據(jù)平衡條件列式求解;二是將其中兩個力進(jìn)行合成,將三力轉(zhuǎn)化為二力,構(gòu)成一對平衡力,根據(jù)平衡條件列式求解。

例1(1)如圖1甲所示,質(zhì)量為m的物塊靜置在粗糙斜面上,斜面傾角θ=30°,求斜面受到的壓力和摩擦力。

圖1

(2)如圖1乙所示,輕繩一端固定在天花板上的O點,另一端系住一個質(zhì)量為m的物塊,物塊靜置在光滑斜面上,斜面傾角θ=30°,輕繩與豎直方向之間的夾角也為θ=30°,求輕繩受到的拉力及斜面受到的壓力。

解析：(1)對物塊進(jìn)行受力分析,如圖2甲所示,物塊在重力mg、斜面對它的支持力N、摩擦力f的作用下處于平衡狀態(tài),根據(jù)平衡條件可得,將重力mg沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解,則重力mg沿平行于斜面方向的分力與摩擦力f,重力mg沿垂直于斜面方向的分力與支持力N,構(gòu)成兩對平衡力,根據(jù)幾何關(guān)系得N=mgcosθ=。根據(jù)牛頓第三定律可知,斜面受到的壓力,方向垂直于斜面向下;斜面受到的摩擦力f'=,方向沿斜面向下。

圖2

(2)對物塊進(jìn)行受力分析,如圖2 乙所示,物塊在斜面對它的支持力N、輕繩的拉力T、重力mg的作用下處于平衡狀態(tài),根據(jù)平衡條件可得,支持力N與拉力T的合力與重力mg構(gòu)成一對平衡力,根據(jù)幾何關(guān)系得。根據(jù)牛頓第三定律可知,物塊對斜面的壓力,方向垂直于斜面向下;輕繩受到的拉力T'=,方向沿輕繩斜向下。

方法二：正交分解法

正交分解法是指將物體受到的各力分解到相互垂直的x軸和y軸上,運用物體在兩坐標(biāo)軸上受到的合外力等于零列式求解,這種方法多用于求解物體在三個以上共點力作用下的平衡問題。x軸、y軸方向選擇的原則:(1)在平衡狀態(tài)下,少分解力或?qū)⑷菀追纸獾牧M(jìn)行分解;(2)在非平衡狀態(tài)下,通常沿加速度方向和垂直于加速度方向進(jìn)行分解;(3)盡量不要分解未知力。

例2如圖3所示,斜劈A靜置在水平地面上,質(zhì)量為m的物體B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面向下運動。當(dāng)外力F1的方向水平向右,外力F2的方向沿斜面向下時,斜劈A受到地面的摩擦力方向向左,則下列說法中正確的是( )。

圖3

A.若同時撤去外力F1和F2,則物體B的加速度方向一定沿斜面向下

B.若只撤去外力F1,則在物體B仍向下運動的過程中,斜劈A所受地面摩擦力的方向可能向右

C.若只撤去外力F2,則在物體B仍向下運動的過程中,斜劈A所受地面摩擦力的方向可能向右

D.若只撤去外力F2,則在物體B仍向下運動的過程中,斜劈A所受地面摩擦力的方向不變

解析：對物體B和斜劈A分別進(jìn)行受力分析,如圖4所示。斜劈A在水平方向上受力平衡,且斜劈A受到地面的摩擦力方向向左,對斜劈A有NB'sinθ＞fB'cosθ,fB'=fB=μN(yùn)B,NB'=NB,即μ＜tanθ。當(dāng)同時撤去外力F1、F2時,對物體B有mgsinθ＞μmgcosθ,即物體B的加速度方向一定沿斜面向下,選項A 正確。若只撤去外力F1,則在物體B仍向下運動的過程中,對物體B有NB=mgcosθ,fB=μmgcosθ＜mgsinθ,對斜劈A有NB'sinθ＞fB'cosθ,即斜劈A所受地面摩擦力的方向仍向左,選項B 錯誤。若只撤去外力F2,則在物體B仍向下運動的過程中,斜劈A所受地面摩擦力的方向仍向左,選項C錯誤,D 正確。

圖4

答案：AD

方法三：整體法和隔離法

選擇研究對象是解決物理問題的首要環(huán)節(jié)。若一個平衡問題中涉及兩個或兩個以上物體,則在選取研究對象時,要靈活運用整體法和隔離法。如果不需要求物體間的相互作用力,那么優(yōu)先采用整體法,這樣涉及的研究對象少,未知量少,方程少,求解簡便;多數(shù)情況下,往往需要采用整體法和隔離法相結(jié)合的方法分析與求解。

例3如圖5所示,頂端裝有定滑輪的斜面體放置在粗糙水平面上,A、B兩物體通過細(xì)繩相連,并處于靜止?fàn)顟B(tài)(不計細(xì)繩的質(zhì)量、細(xì)繩與滑輪間的摩擦)?，F(xiàn)用水平向右的力F作用在物體B上,將物體B緩慢拉高一定的距離,在此過程中斜面體與物體A仍然保持靜止?fàn)顟B(tài)。下列說法中正確的是( )。

圖5

A.力F一定逐漸變小

B.斜面體所受地面的支持力一定變大

C.物體A所受斜面體的摩擦力一定變大

D.地面對斜面體的摩擦力一定變大

解析：選物體B為研究對象進(jìn)行受力分析,如圖6所示,則。在物體B被緩慢拉高的過程中,θ增大,則水平力F隨之變大,選項A 錯誤。對由A、B兩物體和斜面體組成的整體而言,斜面體與物體A仍然保持靜止?fàn)顟B(tài),在水平方向上受到力F和地面對它的摩擦力的作用,隨著力F的增大,地面對斜面體的摩擦力一定變大,在豎直方向上受到的重力和支持力保持不變,則斜面體所受地面的支持力不變,選項B錯誤,D 正確。在物體B被緩慢拉高的過程中,盡管細(xì)繩的張力變大,但是因為不知道初始狀態(tài)下物體A所受斜面體的摩擦力的方向,所以無法確定物體A所受斜面體的摩擦力的變化情況,選項C錯誤。

圖6

答案：D

方法四：圖解法

圖解法適用于一個物體受到三個力(或可等效為三個力)作用而處于平衡狀態(tài)的問題,特別是物體的動態(tài)平衡問題或物體受力平衡中的臨界和極值問題。

例4如圖7所示,光滑的小球靜止在斜面和豎直放置的木板之間,已知小球的重力為G,斜面的傾角為θ,現(xiàn)使木板沿逆時針方向繞O點緩慢移動,小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫υ鯓幼兓?

圖7

解析：選小球為研究對象,進(jìn)行受力分析,如圖8所示,小球受重力G、斜面的支持力N1和木板的支持力N2三個力作用,處于平衡狀態(tài),這三個力構(gòu)成力的矢量三角形。木板繞O點緩慢移動,小球處于動態(tài)平衡狀態(tài)。木板對小球的支持力N2的方向與豎直方向之間的夾角由90°緩慢減小,重力G的大小和方向都不變,斜面對小球的支持力N1的方向也不變,由矢量三角形可知,N1將逐漸變小,N2將先變小后變大。

圖8

方法五：相似三角形法

“相似三角形”的主要性質(zhì)是對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等。當(dāng)涉及矢量運算,又構(gòu)建了矢量三角形時,若矢量三角形與圖中的某個幾何三角形為相似三角形,則可利用相似三角形法解題。

例5如圖9所示,A、B兩球通過勁度系數(shù)為k1的輕彈簧相連,小球B用長為L的細(xì)繩懸于O點,小球A固定在O點正下方的支架上,且小球A到O點的距離恰為L,系統(tǒng)平衡時細(xì)繩所受的拉力為F1?，F(xiàn)把A、B兩球間的彈簧換成勁度系數(shù)為k2的輕彈簧,仍使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),此時細(xì)繩所受的拉力為F2,則F1與F2的大小關(guān)系為( )。

圖9

A.F1＞F2B.F1=F2

C.F1＜F2D.無法確定

解析：選小球B為研究對象,進(jìn)行受力分析,如圖10所示,小球B受到重力G、彈簧的彈力F和細(xì)繩的拉力T三個力作用,根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知,圖中△OAB(幾何三角形)與△BGT'(矢量三角形)相似,因為OA=OB,所以細(xì)繩的拉力T'等于小球B的重力G,即F1=F2=G。

圖10

答案：B

方法六：正弦定理法

物體受到三個力作用處于平衡狀態(tài)時,三個力的合力為0,三個力可構(gòu)成一個封閉的矢量三角形,若由題設(shè)條件可以尋找到角度關(guān)系,則可利用正弦定理列式求解。

例6一盞電燈的重力為G,懸于天花板上的A點,在電線上的O處系一細(xì)線OB,使電線OA與豎直方向之間的夾角β=30°,如圖11所示?，F(xiàn)保持β角不變,緩慢調(diào)整細(xì)線OB的方向至細(xì)線OB的張力最小,此時細(xì)線OB與水平方向之間的夾角α等于多少? 細(xì)線OB的最小張力是多少?

圖11

解析：選O點為研究對象,進(jìn)行受力分析,如圖12所示,根據(jù)三力平衡特點可知,電線OA、細(xì)線OB對O點的作用力TA、TB的合力T與電燈的重力G等大反向,即T=G。在△OTBT中,∠TOTB=90°-α,又有∠OTTB=∠TOA=β,故∠OTBT=180°-(90°-α)-β=90°+α-β,根據(jù)正弦定理得解 得TB=因為β角不變,所以當(dāng)α=β=30°時,TB最小,且。

圖12