奇思·方法·學習

任衛(wèi)兵

【教學內容】

帕斯卡與“三角形內角和”的故事

1.故事導入

帕斯卡（1623—1662）對概率研究做出了很大貢獻。他是法國著名的數(shù)學家、物理學家、哲學家和散文家。

帕斯卡的父親是一位受人尊敬的數(shù)學家，有一天帕斯卡問父親，什么是幾何？父親很簡單地回答說：“幾何就是教人在畫圖時能作出正確又美觀的圖。”于是帕斯卡就拿了粉筆在地上畫起各種圖形來。畫著畫著，12歲的帕斯卡發(fā)現(xiàn)任何一個三角形內角和都是180°。

問題一：你知道帕斯卡是怎樣通過長方形的內角和推想出其中一個直角三角形的內角和的嗎？

長方形的四個角都是直角，長方形的四個角的和一定是360°。把長方形沿對角線一分為二，就變成兩個直角三角形，每個直角三角形的內角和就是360°除以2等于180°。因為任意一個直角三角形都可以看作是長方形剪開的，所以任意直角三角形的內角和一定是180°（如圖1）。

問題二：你知道帕斯卡是怎樣通過直角三角形的內角和推想出其他三角形的內角和的嗎？

任何一個鈍角三角形都可以沿高分為兩個直角三角形，兩個直角三角形的內角和180°+180°=360°，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，所以真正作為鈍角三角形的三個內角的和就是360°-90°-90°=180°。同樣的道理可以說明銳角三角形的內角和也是180°（如圖2）。

2.故事啟迪

思路點睛：求多邊形的內角和，就是看這個多邊形最少可以分成幾個三角形，分成了幾個三角形，多邊形的內角和就是180°乘幾。

3.故事延伸

古埃及人從鋪地板中發(fā)現(xiàn)，三角形三內角和為一平角（即180°）。在圖3中，繞一頂點的六個角，合起來一共是一周角（即360°），因此正三角形三內角和為一平角。這雖只是特例，但卻是進一步發(fā)現(xiàn)真理的契機。

利用旋轉鉛筆的實驗，也可得出三角形三內角和為一平角的結論（如圖4）。

【課堂實錄】

一、用故事豐富學生思想

師：回憶一下，我們是怎樣研究三角形的內角和的？

生：我們是用量、拼、折等方法，來驗證三角形的內角和是180°的。

師：300多年前，有一個名叫帕斯卡的法國男孩獨自發(fā)現(xiàn)了任何一個三角形的內角和都是兩直角。

課件播放帕斯卡發(fā)現(xiàn)“三角形內角和”的故事。

教師出示問題1和問題2，請學生先獨立思考，再在小組內交流，最后進行全班匯報。

生：因為任何兩個完全一樣的直角三角形都可以拼成一個長方形，長方形的內角和是360°（4個直角），每個直角三角形的內角和就是180°（2個直角）。

生：兩個直角三角形中所有銳角的和是180°（2個直角），那么一個直角三角形中兩個銳角的和就是90°（一個直角），再加上一個直角，所以直角三角形的內角和是兩個直角，即180°。

生：鈍角三角形可分成兩個直角三角形，兩個直角三角形的內角和是360°（180°×2），其中兩個直角正好拼成一個平角，所以鈍角三角形的內角和是360°-180°=180°。

生：不管是鈍角三角形還是銳角三角形，都可以分成兩個直角三角形。因為每個直角三角形的兩個銳角的和都是一個直角，而鈍角三角形或銳角三角形的內角和包括兩個直角三角形的所有銳角，所以無論是哪種三角形的內角和都是兩個直角，也就是180°。

師：為什么要把兩個直角三角形拼成長方形，要把鈍角（或銳角）三角形分成兩個直角三角形呢？

生：這是把未知的知識轉化成已經(jīng)知道的知識。

師：把未知轉化成已知，是一種很重要的數(shù)學思想。

師：把任意三角形分成兩個直角三角形，兩個直角三角形是6個角，而任意三角形是3個角。這6個角和3個角一樣嗎？

生：從圖中就可以看得很清楚，這6個角中有2個角拼成了大三角形的1個角，還有2個直角拼成了1個平角。

生：也就是說，6個角中有2個直角與大三角形的內角沒有關系，剩下的4個角就等于大三角形的3個內角。

師：這下我們不僅看清楚，也真正聽清楚、理清楚了。

二、分圖形實現(xiàn)多元表征

師：拿出一張五邊形的紙片，自己想想辦法，求出它的內角和，再在小組內交流。（學生獨立探索后小組交流）

生：我把五邊形分成了3個三角形，3個三角形的內角和相加就是五邊形的內角和，是180°×3=540°。

生：我把五邊形分成了4個三角形，其中有4個角拼成了一個平角，五邊形的內角和是180°×4-180°=540°。

生：我從中間選一點，把五邊形分成了5個三角形，有5個角拼成了一個周角，五邊形的內角和是180°×5-360°=540°。

師：聽了剛才幾位同學的介紹，大家還有什么問題嗎？

生：為什么把五邊形分成的三角形的個數(shù)不同，最后算出的內角和還是不變的？

師：好深刻的一個問題?。⊥纼扇擞懻撚懻?。

生：把五邊形分成3個三角形大家都明白。分成4個三角形，因為有4個角拼成的一個180°的角在一條邊上，不包含在五邊形的內角和中，所以五邊形的內角和等于4個三角形的內角和減去一個180°的角，也就是3個三角形的內角和。

生：我來解釋一下，把五邊形分成5個三角形，因為中間5個角拼成的一個360°的角也不包含在五邊形的內角和中，所以五邊形的內角和等于5個三角形的內角和減去一個360°的角，還是等于3個三角形的內角和。

師：誰還有不一樣的想法？

生：我們可以用乘法分配律來說明。分成4個三角形，五邊形的內角和=180°×4-180°=180°×（4-1）=180°×3……

師：我要打斷你一下，用這樣的方法，分成5個三角形，五邊形的內角和——（根據(jù)學生回答，完成板書：五邊形的內角和=180°×5-360°=180°×5-180°×2=180°×（5-2）=180°×3。）

師：看來，要求多邊形的內角和，“分”是一種好辦法。把五邊形分成三角形，最少分幾個？怎么分？

生：最少分3個。只要從一個頂點出發(fā)，另外連兩條線，就可以分成3個三角形了。

師：如果是六邊形、十邊形、一百邊形呢？

生：六邊形最少可以分成4個三角形，十邊形最少可以分成8個三角形。

生：一百邊形最少可以分成98個三角形。

師：把多邊形分成三角形的個數(shù)究竟和什么有關呢？這其中有什么規(guī)律？

生：分成的三角形的個數(shù)和連線條數(shù)有關。

生：我認為和邊的條數(shù)有關。

生：我覺得和多邊形的頂點個數(shù)有關。

師：其實大家的想法都很有道理。從一個頂點出發(fā)，連線的數(shù)量總比三角形的個數(shù)少1。另外，多邊形邊的數(shù)量和頂點的個數(shù)也是相同的，它們與連線數(shù)的差也是不變的。這其中的規(guī)律，就留給大家今后去揭示吧……

三、借實驗感悟數(shù)學原理

師：關于三角形的內角和，有人曾做過這樣一個實驗（課件播放實驗視頻，見圖4）。

師：請大家在紙上任意畫一個三角形，根據(jù)剛才的實驗步驟，動手做一做。

生：我發(fā)現(xiàn)以三個頂點為中心，按順時針方向旋轉，最后鉛筆正好換了一個方向。

生：按逆時針方向也可以。

師：關于“三角形的內角和”，還有哪些不同的推理方法呢？到時候把你的故事和大家一起來分享吧！

【教學思考】

一、好的故事具有更新、豐富認知系統(tǒng)的功能

關于“三角形的內角和”，現(xiàn)有教材多采用量、拼或折的方法，盡管這些方法比較適合學生的年齡特點，但思維含量不高。上述案例中以“帕斯卡與三角形內角和” 的故事引入，一下激起學生的探究欲望。通過方法引領、自主推想、質疑問難、補充完善，學生的數(shù)學思考、理性思維得到了“恣意”的生長。同時，透過故事，還能從中感悟到“轉化”的數(shù)學思想。學生發(fā)現(xiàn)，無論是三角形內角和的規(guī)律，還是平面圖形的面積推導，它們都是建立在“轉化”這一數(shù)學思想基礎上的，而這種數(shù)學思想統(tǒng)領下的知識建構，是一種高觀點下的知識建構。

二、好的教學一定是多元的、發(fā)散的

受帕斯卡與三角形內角和故事的啟發(fā)，在獨立探究五邊形內角和的問題時，學生自然會嘗試、遷移這一數(shù)學思想方法。在把五邊形分成三角形時，由于給足了學生探究的空間，學生得以盡情地去思考、去研究、去表達。其中有從一個頂點出發(fā)來分的，有從邊上一點出發(fā)來分的，也有從圖形中間一點出發(fā)來分的。多元的方法，拓寬了學生的思路，發(fā)散了學生的思維，激活了學生強烈的問題意識——“為什么把五邊形分成的三角形的個數(shù)不同，最后算出的內角和還是不變的？”“把多邊形分成三角形的個數(shù)究竟和什么有關呢？”學生努力調用已有的知識、經(jīng)驗，用獨具個性的表達詮釋自己的理解與思考。這樣的學習體驗是深刻的、彌足珍貴的，浸潤于這樣的數(shù)學學習環(huán)境中，學生的思考力、表達力、創(chuàng)造力必然會潛滋暗長。

三、好的學習需要找到一種“似曾相識”的感覺

課中，教師借助旋轉鉛筆的實驗，讓學生感悟數(shù)學的“簡約”與“神奇”，并使這一數(shù)學“意象”固著在學生的頭腦中。隨著學生已有知識、經(jīng)驗的增多，借助某一契機，他們會猛然發(fā)現(xiàn)原先的“旋轉鉛筆”的實驗與“過三角形一頂點作對邊平行線”的方法有著一種內在的、本質的聯(lián)系。先前固著在學生頭腦中的已有“意象”與新的“對象”發(fā)生了粘連，進而產(chǎn)生了新的聯(lián)結。這樣的一種“似曾相識”的感覺恰是數(shù)學的迷人之處。

（江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心? ?226300）