基于微分幾何方法的高維混沌系統(tǒng)間的復(fù)合同步控制

李 鋼， 唐 陶， 郭秀月， 劉 卓， 李 瑩

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

近年來，基于微分幾何方法的精確反饋線性化成為混沌控制與同步領(lǐng)域中的熱點(diǎn)[1-3]，在混沌同步控制中獲得了廣泛的應(yīng)用，但隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加，由于高維混沌系統(tǒng)內(nèi)部的非線性的復(fù)雜性，單入單出的微分幾何方法呈現(xiàn)出了固有的局限性.微分幾何方法中的部分反饋線性化，提供了一個(gè)靈活的方式，目前以單入單出的控制方式[4-7]為多，多入多出的控制方式[8]尚很少見.與單入單出的控制方式不同，多入多出的控制方式在控制器的設(shè)計(jì)上具有較大的靈活性，并且可以融合其他鎮(zhèn)定方法[9-11]而構(gòu)成復(fù)合控制，可望在高維混沌同步控制中獲得廣泛的應(yīng)用.

在多入多出仿射型高維混沌系統(tǒng)中，根據(jù)系統(tǒng)的非線性的特征可以通過選擇適當(dāng)?shù)妮敵龊瘮?shù)來獲得所需的小于系統(tǒng)維數(shù)的適當(dāng)相對(duì)階，將誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)變換為線性子系統(tǒng)與零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng).同時(shí)，使輸入控制成為零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)實(shí)際上的內(nèi)部控制，并在零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)中得以獨(dú)立設(shè)計(jì).為了獲得較好的魯棒性，本文在零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)中采用了滑?？刂芠12-13]方法，選擇適當(dāng)?shù)幕Ｃ娌⒁罁?jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理構(gòu)造了滑?？刂破鳎沟昧銊?dòng)態(tài)子系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至滑模面上后迅速收斂至0.最后，結(jié)合外環(huán)控制使誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)趨近于零點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)了高維混沌系統(tǒng)間的完全同步.

1 同步控制原理

考慮一個(gè)如下的仿射型MIMO非線性系統(tǒng)：

(1)

其中，x為n維非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，y為輸出函數(shù)，g0(x)是輸入函數(shù)，u0是輸入控制.根據(jù)m入m出定義，系統(tǒng)總相對(duì)階r=r1+r2+…+rm，當(dāng)r小于系統(tǒng)維數(shù)n時(shí)，可將系統(tǒng)(1)等效變換如下矩陣形式：

(2)

令

(3)

根據(jù)零輸出問題定義有

B(0,η)+A(0,η)u=0,

(4)

(5)

式(5)被稱為零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，仍然具有非線性特征，通過適當(dāng)選擇輸出與輸入函數(shù)使得u0中的部分控制進(jìn)入到零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)中，將這一部分控制記為u′，將未進(jìn)入零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的控制記為u.則式(1)改寫為

(6)

根據(jù)式(4)可得復(fù)合控制輸入

u=-A-1(0,η,u′)B(0,ζ,u′)+A-1(0,ζ,u′)v.

(7)

(8)

選用比例積分滑模面

(9)

(10)

(11)

(12)

2 同結(jié)構(gòu)Lorenz型高維混沌間的完全同步

以新七維Lorenz型混沌系統(tǒng)為例，其同結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程描述如下：

(13)

定義誤差ei(t)=yi(t)-xi(t), (i=1,2,3,4,5,6,7)，可得到如下誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

(14)

輸出函數(shù)選擇為[y1,y2,y3]T=[h1(e),h2(e),h3(e)]T=[e4,e5,e6]T，根據(jù)相對(duì)階定義有

r=r1+r2+r3=3

(15)

據(jù)式(9)和式(11)選取滑模面與相應(yīng)的滑?？刂破?

(16)

其中,參數(shù)q,κ3根據(jù)式(12)所需條件選擇，將外環(huán)控制代入式(7)得

(17)

以Matlab軟件為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)值仿真.根據(jù)線性最優(yōu)二次控制理論，參數(shù)選擇為c0=3.146,c1=12.413,c2=1.42，κ3=0.2，q=2，仿真步長(zhǎng)取0.001.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的初值隨機(jī)選擇為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),x7(0))=[2,-1,2,-1,2,1,1]，響應(yīng)系統(tǒng)初值隨機(jī)選擇為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0),y7(0))=[0.1,2,4,-1,-4,3,2]，如圖1所示，2個(gè)高維混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的同步具有較好的漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性，驗(yàn)證了控制方案的有效性.

圖1 2個(gè)七維混沌系統(tǒng)的誤差變量隨時(shí)間的演化

3 結(jié) 論

基于多入多出的微分幾何的零動(dòng)態(tài)方法在高維混沌同步控制中的應(yīng)用，能夠充分利用系統(tǒng)的非線性特征構(gòu)造靈活有效的外部控制，不僅使所構(gòu)造的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的控制得以獨(dú)立設(shè)計(jì)，而且零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的收斂可以融合各種可能的傳統(tǒng)方法，有效地解決了高維混沌系統(tǒng)的復(fù)雜控制問題.由于對(duì)由原混沌系統(tǒng)的誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的控制實(shí)際上變成了通過系統(tǒng)相對(duì)階的調(diào)整所構(gòu)造的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的控制，不僅降低了控制器設(shè)計(jì)的難度，而且增強(qiáng)了控制的魯棒性.該方法具有設(shè)計(jì)上的一般性，可被推廣到高維混沌系統(tǒng)間其他類型的同步控制中.