基模高斯激光與高能電子相互作用引起的波包形狀變化

許曉騰

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

超強超短脈沖激光是研究強場和物質(zhì)相互作用的極其重要的工具，其產(chǎn)生的基本原理是：將低能的脈沖激光通過展寬器將其展寬，經(jīng)過放大后再通過壓縮器將其壓縮回原來的寬度.超短脈沖激光在數(shù)學(xué)描述上可由相應(yīng)的激光光束疊加而成，因此，理論上研究超強超短脈沖和物質(zhì)的作用可歸結(jié)為相應(yīng)的激光光束和物質(zhì)的相互作用。

已有的實驗和理論[1]研究表明，激光一次加速電子并不能使電子獲得很高能量，激光本身在一次加速電子中損失的能量和激光本身的能量相比極少。如果同一束激光對電子能夠?qū)崿F(xiàn)多次加速，將具有非常重要的應(yīng)用價值。在多次加速過程中，激光加速電子后引起波包的改變是一個重要問題。本文給出的波包改變的計算方法不僅可以計算激光一次加速電子后的波形變化，還可以計算和波包相互作用后電子的能量，可為高能激光連續(xù)多次加速電子這一重大的理論和實驗問題提供計算依據(jù)。

本文將計算高斯型激光與電子作用引起的波包改變.第一部分計算高斯型激光的傅里葉變換，第二部分用量子電動力學(xué)方法計算電子與光子的相互作用，第三部分計算電子靜止坐標(biāo)系中出射光子的幾率和平均值，最后利用最速下降法得到基模高斯光束形狀的變化.

1 基模高斯激光

描述基模高斯激光[2-5]時采用高斯單位制.定義變量κ表示波數(shù)，r0為束腰半徑，為瑞利長度.因為κr0＞＞1，因此s為無量綱小量.基模高斯激光可以表達(dá)為s的級數(shù)形式.取至四級近似，高斯基模激光的表達(dá)式為[6]：

定義傅里葉變換為：

2 高能電子與光子相互作用

基模高斯激光經(jīng)過傅里葉變換為平面波光子的疊加，每個平面波光子與自由電子的相互作用，可以使用量子電動力學(xué)的方法來研究.電子與光子相互作用的兩個最低階Feynman圖見圖1.

圖1 二階Feynman圖Fig 1 Second-order Feynman Graphs

在樹圖近似下，由費曼規(guī)則可得相應(yīng)的S矩陣元為[7]（使用自然單位，光速c=1，普朗克常數(shù)?=1）：

上式中V為單位體積，m為電子質(zhì)量，e為電荷，pi,pf分別為入射電子四矢量和出射電子四矢量，Ei,Ef分別為電子入射能量和出射能量，為電子傳播子，u(pi,si)為電子旋量波函數(shù)，si為電子自旋，ω和ω'分別為光子入射能量和出射能量，εν(k,λ)為光子極化矢量，γν為狄拉克矩陣，k0和k'分別為入射光子四矢量和出射光子四矢量，δ4(pf+k'-pi-k0)表示四動量守恒.

上述筆者分析了現(xiàn)階段我國企業(yè)財務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理當(dāng)中存在的一系列的問題，為了提高企業(yè)財務(wù)管理和企業(yè)整體的經(jīng)營管理水平，有必要對財務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理工作進行強化和改善，如此才能有效促進企業(yè)在行業(yè)發(fā)展當(dāng)中獲得更多、更好的發(fā)展，促進企業(yè)經(jīng)濟效益提高。下面將對強化企業(yè)財務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理的要點進行分析。

3 電子靜止坐標(biāo)系中散射波矢的幾率和平均值

3.1 幾 率

表示對電子的初態(tài)自旋平均和末態(tài)自旋求和，以及對λ和λ'求和，極化依賴項求平均所得的散射截面，對（5）式積分可得：

分別表示電子靜止坐標(biāo)系中散射波矢量的分量.由對稱性可求得散射部分平均值同樣可求得散射部分的平均值為：

4 基模高斯波包的形狀改變

4.1 變換回實驗室參考系后平均值k1的k1x分量

圖2顯示了實驗室坐標(biāo)系與電子靜止坐標(biāo)系中入射電子方向與入射光子夾角的關(guān)系.

設(shè)k0z沿實驗室參考系入射光子k洛倫茲變換到電子靜止坐標(biāo)系k0（電子靜止坐標(biāo)系未散射部分仍沿該方向）方向，可知亦沿該方向，又電子靜止坐標(biāo)系因此散射波矢平均值剛好等于洛倫茲變換為線性變換，逆變換回實驗室坐標(biāo)系的k1，仍沿入射光子方向，并且由于沿垂直實驗室坐標(biāo)系p方向洛倫茲變換保持不變，因此可得k1=其中k1為實驗室坐標(biāo)系中散射光子平均值大小，表示平均值，α為實驗室坐標(biāo)系入射光子方向與電子入射方向夾角，α'為電子靜止坐標(biāo)系中入射光子與電子速度方向夾角.為計算sinα'，可設(shè)其中k⊥為實驗室坐標(biāo)系中散射光子平均值k1沿垂直于電子初速方向的分量，k1//為實驗室坐標(biāo)系中散射光子平均值k1沿平行于電子初速方向的分量，為電子靜止系中沿垂直于電子初速方向的分量，為電子靜止系中沿平行于電子初速方向的分量.

實驗室坐標(biāo)系中k1x平均值為：

其中θ1為實驗室坐標(biāo)系中光子入射方向與x軸夾角，ω1為實驗室坐標(biāo)系中入射光子能量.

將（6）式代入（7）式可得：

在電子靜止坐標(biāo)系中取各級平均值的近似值：

4.2 形狀改變

通過下式將a中電子靜止坐標(biāo)系各量代換回實驗室坐標(biāo)系相應(yīng)量：

高斯型激光最后表達(dá)式為：

（11）式第一項為原波包C(ρ,z)，第二項為波包改變，設(shè)為B.由最速下降法可得：

由于kρ＞0，分析可知，下降最快角度即為其中

表1顯示電子能量為10Mev，tgθ=0.1[8]，波包s=0.02時的數(shù)值積分，最速下降法結(jié)果，θ為實驗室坐標(biāo)系中p與z軸夾角.

表1 兩種計算方法數(shù)據(jù)表（ζ=3）Table 1 Data Tables for Two Computational Methods (ζ=3)

5 總 結(jié)

本文對基模高斯激光進行傅里葉變換，利用量子電動力學(xué)方法計算了平面波光子與電子的相互作用，最后計算出射光子平均值，代入激光表達(dá)式中，并利用最速下降法，得到波包改變.本文算得的波包改變對研究激光加速電子問題有重要意義，不僅可以利用它計算一次加速電子獲得的能量，還可以利用它計算下一次激光與電子的相互作用.