平面與空間上的余面積公式

郭洪欣，張楚楚，陳 璇

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合溫州大學(xué)本科生科研課題，本文的第一作者指導(dǎo)第二、第三作者，用本科生的基礎(chǔ)知識推導(dǎo)了平面與空間中的余面積公式，這里用的內(nèi)容是重積分的參數(shù)變換雅可比矩陣的計(jì)算、隱函數(shù)求導(dǎo)公式，同時(shí)結(jié)合第一型曲線積分、第一型曲面積分等，這些都是教學(xué)中的重點(diǎn).無論從本科生科研課題，還是教學(xué)上來講，本文都具有較好的借鑒意義.余面積公式適用于當(dāng)區(qū)域是由函數(shù)的等值面刻畫的時(shí)候.

我們知道，平面中半徑為R的圓周周長是2πR，所圍面積是πR2，前者是后者的導(dǎo)數(shù).空間中半徑為R的球面表面積是4πR2，所圍球體的體積是4πR3/3，前者也是后者的導(dǎo)數(shù).學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)，也很想知道，它背后的數(shù)學(xué)原理是什么？這種規(guī)律并不能想當(dāng)然地推廣，例如邊長為a的正方形，周長是4a，面積是a2，并沒有導(dǎo)數(shù)關(guān)系.那么怎樣去給出正確的公式？這就是我們要討論的余面積公式及其推論.

作為牛頓-萊布尼茲公式的推廣，二重積分的格林公式、三重積分的高斯公式給出了重積分與第二型曲線、曲面積分的關(guān)系.余面積公式給出的是有界區(qū)域的面積與其邊界上的第一型曲線、曲面積分的恒等式.在黎曼幾何中，余面積公式有更一般的表現(xiàn)形式和廣泛的應(yīng)用，讀者可參閱文獻(xiàn)[1-4]等.在本文中，我們需要的知識僅限于大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》，可參閱文獻(xiàn)[5-6]等.

1 二維余面積公式與例子

先討論2維的情形.設(shè)f(x,y)是可微函數(shù)，我們假設(shè)其梯度?f≠(0,0)，這樣在D中每點(diǎn)的鄰域，等值面f(x,y)=r總存在隱函數(shù)y=y(x,r)或x=x(y,r).

定理1 設(shè)D={(x,y):c1≤f(x,y)≤c2}，L(r)={(x,y)∈D:f(x,y)=r}，則區(qū)域D的面積可由下式計(jì)算：

這里ds是弧微分，是第一型曲線積分.

證明：D的面積我們先假設(shè)在用參數(shù)(x,r)來計(jì)算.設(shè)在其雅可比行列式為：所以有：

根據(jù)重積分的參數(shù)變換，有：

注意到L(r)的弧微分可得上式里面的積分：

如果在D上fx≠0，可以用參數(shù)(y,r)計(jì)算，得到相同的公式.而對于更一般的情形，我們把使得fx=0的區(qū)域記為D1，D1在D中的補(bǔ)集記為D2，分別在D1與D2上用參數(shù)(x,r)與(y,r)計(jì)算，再利用積分的可加性即可.證畢.

直觀地說，當(dāng)區(qū)域由函數(shù)的等值面（二維的情形實(shí)際上是等值線）刻畫時(shí)，L(r)與L(r+Δr)之間的面積，近似為等值線L(r)的長度乘以高得到，注意Δr是函數(shù)值f的變化，它所對應(yīng)的定義域(x,y)的變化是從曲線L(r)到L(r+Δr)的距離，是我們需要的“高”，記為h，它是與點(diǎn)有關(guān)的.注意到梯度向量?f為其等值線L(r)的法向量，所以L(r)與L(r+Δr)之間的面積近似為再對r積分就得到面積.

下面先舉兩個(gè)簡單的例子來看余面積公式的應(yīng)用.

例1 求由x≥0，y≥0以及{(x,y)|x+y=1}所圍成的閉區(qū)域A的面積.

解：設(shè)f(x,y)=x+y，例1中區(qū)域可以表示成{(x,y)|x+y=r,0≤r≤1}.因?yàn)?/p>

例2 求圓周{(x,y)|x2+y2≤R2}所圍圓D的面積.

2 三維余面積公式

對于3維情形，我們有類似的：

定理2 若空間有界區(qū)域V可表示為V={(x,y,z):f(x,y,z)=r,c1≤r≤c2}，則V的體積這里A(r)={(x,y,z):f(x,y,z)=r}為f的等值面，dS為A(r)的面積微元.

證明：假設(shè)fz≠0，對于一般的情形，采用定理1相同的處理.做參數(shù)變換，令

則由重積分的參數(shù)變換公式，需計(jì)算其雅可比矩陣：

方程r=f(x,y,z)確定了隱函數(shù)z=z(x,y,r)，由隱函數(shù)求導(dǎo)公式，有：

代入到體積公式，并注意到A(r)的面積元可得：

3 進(jìn)一步的討論

由定理1、定理2可以得到如下推論.

定理1、定理2與推論1告訴我們，一般情形下，圖形的面積與其邊界曲線、體積與其表面之間的關(guān)系。特別地，當(dāng)f是距離函數(shù)時(shí)，其梯度是單位向量，就是我們在開始提到的圓面積與其周長、球體積與其表面積之間的關(guān)系.

從余面積公式的表達(dá)式看到，如果f不可微的點(diǎn)是有限個(gè)，也是成立的.例如，本文開始提到的正方形，其面積與其邊界上的曲線積分的關(guān)系，如下給出：令則D={(x,y):0≤f(x,y)≤r}是邊長為的正方形內(nèi)部，Δ(D)=2r2，在推論1的1）中：這是Δ(D)=2r2的導(dǎo)數(shù).