數(shù)學(xué)建模豈能造假？

孫莉平

摘 要：在數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐教學(xué)中，把教學(xué)方法、學(xué)習(xí)技巧進(jìn)行滲透，讓學(xué)生能夠在小學(xué)階段就奠定穩(wěn)定的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)模型有一定的了解。通過長期的訓(xùn)練，在數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)踐教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)成為主要的教學(xué)手段，有助于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比較，建立數(shù)學(xué)模型的是新穎的教學(xué)手段，能夠?qū)W(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、思維能力、邏輯能力等進(jìn)行不斷的培養(yǎng)。本文結(jié)合“植樹問題”這一經(jīng)典案例改編的“栽花問題”進(jìn)行分析，闡述了在教學(xué)中如何有效地發(fā)展學(xué)生的模型思想。

關(guān)鍵詞：有效;策略;數(shù)學(xué)建模

【中圖分類號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1008-1216（2019）09B-0093-02

世界著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出，“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育”，得到國際數(shù)學(xué)教育界的普遍認(rèn)同，也為廣大數(shù)學(xué)教師所接受。這一思想表明，學(xué)生通過熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，自己逐步發(fā)現(xiàn)和得出結(jié)論，稱之為數(shù)學(xué)建立模型。在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，構(gòu)建模型，表現(xiàn)的不僅是一種獨(dú)特的語言，而且也是一種獨(dú)特的結(jié)果，能夠把抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)用圖形的形式進(jìn)行描述與表達(dá)，使數(shù)學(xué)知識(shí)與具體的事物相結(jié)合。作為數(shù)學(xué)教師，我們該如何引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中有效地構(gòu)建模型，發(fā)展學(xué)生的模型思想，值得我們深思。

一、教學(xué)案例評(píng)析

教學(xué)案例：

在一次校級(jí)研討活動(dòng)中，一位新教師執(zhí)教了人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材四年級(jí)下冊“植樹問題”改編的“栽花問題”。在教學(xué)過程中，教師組織學(xué)生自主探究，通過畫圖、計(jì)算來探索種朵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。在學(xué)生學(xué)習(xí)、計(jì)算的基礎(chǔ)上，師生進(jìn)行了這樣的交流。

師：“同學(xué)們栽花的時(shí)候，每隔4米栽一朵，在一段20米長的花田里一共要栽朵花？”

（提出提問之后，學(xué)生們進(jìn)行自主思考。）

師：哪位同學(xué)可以說說自己的想法？

生1：我用20除以4得5，所以一共要栽5朵花。

師：其他同學(xué)也是這種做法嗎？

（只有個(gè)別幾個(gè)同學(xué)沒有舉手）

師：這樣的話，沒有舉手的同學(xué)說說自己的看法？

生2：我認(rèn)為是6棵樹。因?yàn)?0÷4=5，只是說明20米里面包含5個(gè)4米，我通過畫圖模擬實(shí)際情況發(fā)現(xiàn)因?yàn)閮深^都要栽花，因此我認(rèn)為是6朵花。

（學(xué)生上來演示畫圖）

師：很好，我們一起數(shù)一數(shù)圖中的情況是不是6朵花？似乎，栽花朵數(shù)與間隔數(shù)是不同的，還應(yīng)該怎么做？

生：應(yīng)該再加1。

師：對(duì)，類似這種栽花問題，植栽花朵數(shù)=間隔數(shù)+1。同學(xué)們記住這一點(diǎn)，我們在出現(xiàn)類似問題的時(shí)候就可以輕松解決了，是吧？

師：老師還有一個(gè)問題“24米長的花田，每隔3米的距離栽一朵花，總共要栽幾朵花？”

生：9朵。

師：如果每隔6米種一棵呢？

生：5朵。

師：每隔8米呢？

生：4朵。

師：看來同學(xué)們已經(jīng)知道了如何解決這類問題。

診斷分析：

栽花問題，這里不僅包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和文化，同時(shí)也包含著多個(gè)數(shù)學(xué)模型思想。本案例重在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“植樹棵樹=間隔數(shù)+1”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)模型。上述教學(xué)中，雖然老師也是通過具體問題抽象出這一數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)據(jù)改變來鞏固這一數(shù)學(xué)模型。但我們可以看出在數(shù)學(xué)建模方面，其實(shí)還可以做得更“厚”一些。

（一）抽象本質(zhì)“火候”的缺乏

從上述教學(xué)中可以看出，在大多數(shù)學(xué)生都誤以為栽花朵數(shù)就是間隔數(shù)5的情況下，有個(gè)別學(xué)生通過畫圖知道了是6朵花。這時(shí)，一方面可以讓全體學(xué)生都通過畫圖或擺小棒的方式再體會(huì)為什么是6朵花。另一方面還可以再出示兩道同類型題目讓學(xué)生解決之后，再去總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣得到的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)就比較扎實(shí)了。從具體到抽象的過程也水到渠成，自然了許多。

（二）變化應(yīng)用“層次”的缺失

在教學(xué)中，當(dāng)老師總結(jié)像這樣的栽花問題“植栽花朵數(shù)=間隔數(shù)+1”后，對(duì)栽花問題數(shù)學(xué)模型的變換應(yīng)用顯得有些單調(diào)，沒有層次感。教師采用集體問答的方式來解決一些相關(guān)的植樹問題，但都是數(shù)據(jù)的簡單變化，沒有太多的思維含量。這里我們可以稍加調(diào)整，比如第一層次直接應(yīng)用“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”這一模型解決案例里的問題。第二層次可以稍加變換，比如出現(xiàn)路的米數(shù)除以間隔的米數(shù)有余數(shù)的情況，或者路的一端或兩端是墻角等情況，即第一棵或最后一棵不算的情況等。以此來深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延。

（三）數(shù)學(xué)思想“靈魂”的缺少

數(shù)學(xué)建模和平時(shí)單純解決數(shù)學(xué)習(xí)題還是有些不同的，它的過程更具有綜合性。這一過程所具備的許多性質(zhì)特點(diǎn)都為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法帶來了更多的空間和自由，比如：問題性、活動(dòng)性、過程性、搜索性等。在解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程中，教師要避免“就數(shù)學(xué)練數(shù)學(xué)”框子，可以創(chuàng)設(shè)路燈的盞數(shù)，車站的個(gè)數(shù)與栽花問題中的“朵數(shù)”對(duì)應(yīng)起來，引導(dǎo)學(xué)生掌握自主探究、遷移畫圖等解決這類問題，把所學(xué)的知識(shí)與有趣的情境結(jié)合在一起，這樣學(xué)生對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)就變得立體豐富起來了，增加了建模的思維厚度，同時(shí)學(xué)生也學(xué)到了一些數(shù)學(xué)思想方法。

二、構(gòu)建模型的有效途徑

對(duì)于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，我國的數(shù)學(xué)教學(xué)人士對(duì)此進(jìn)行了探究，并且得出了合理的解答，在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》進(jìn)行了詳細(xì)地說明。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)與發(fā)展，需要遵循一定的教學(xué)理念，能夠把抽象的理論知識(shí)進(jìn)行推理，在推理的過程中構(gòu)建模型，對(duì)構(gòu)建的模型進(jìn)行直觀的分析，最后把能夠在我們的日常生活中將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行自由的運(yùn)用，可以在促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展發(fā)展的同時(shí)，使數(shù)學(xué)知識(shí)與外界進(jìn)行充分的融合，體現(xiàn)出彼此之間存在著的密切關(guān)系。因此，對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，要在構(gòu)建的過程中，不斷地滲透思想，也是最主要的教學(xué)方法，與傳統(tǒng)的教學(xué)方法進(jìn)行比較，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建教學(xué)能夠讓學(xué)生在各個(gè)環(huán)節(jié)中，積極自主地參與，通過學(xué)生的積極參與，提高學(xué)生自主探究的能力。數(shù)學(xué)建模的基本模式可以用下圖來體現(xiàn)：

（一）對(duì)建模的內(nèi)容進(jìn)行科學(xué)選擇

在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，采用模型教學(xué)手段，會(huì)影響整體的效果，對(duì)建模內(nèi)容的選擇需要教師在了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣之后，對(duì)建模的內(nèi)容進(jìn)行合理選擇，以教材的知識(shí)為建模的基礎(chǔ)，采用情景教學(xué)模式，在視覺、空間上對(duì)學(xué)生產(chǎn)生影響，為學(xué)生營造獨(dú)特的學(xué)習(xí)氛圍，增添了學(xué)生學(xué)習(xí)的情趣。在教師的正確引導(dǎo)下，使學(xué)生能夠積極自主地參與到實(shí)踐教學(xué)中，提出疑問，發(fā)散學(xué)生的思維能力，不對(duì)教師產(chǎn)生過多地依賴，在學(xué)習(xí)中逐漸感受到成就感，提升學(xué)生的自信心。因此，科學(xué)地選擇實(shí)踐教學(xué)的內(nèi)容，這一點(diǎn)十分的重要，一方面使學(xué)生能夠積極主動(dòng)，拓展學(xué)生的思維，另一方面使學(xué)生逐漸喜歡上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使課堂的實(shí)踐教學(xué)提升效率。

（二）本質(zhì)教學(xué)是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵

“栽花問題”是典型的應(yīng)用規(guī)律解決問題的課型。如上述教學(xué)中可以組織學(xué)生獨(dú)立嘗試在畫出長20米、24米的路上，種樹的基本情況，可以利用多媒體，把具體的內(nèi)容以播放圖片的形式進(jìn)行展示，在吸引學(xué)生注意力的同時(shí)，還可以把以往學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固與復(fù)習(xí)。教師要及時(shí)地對(duì)學(xué)生提出問題，使學(xué)生的思維一直處于活躍的狀態(tài)下，教師提出“如果要把小路的長度加長，該怎么畫呢？”的問題。

這時(shí)，學(xué)生會(huì)把自己的想法進(jìn)行描述與表達(dá)。有的學(xué)生提出以列式計(jì)算的形式進(jìn)行，教師與其進(jìn)行配合，在黑板上寫出：20÷4+1=6;24÷3+1=9;24÷6+1=5;24÷8+1=4。至此，實(shí)踐感悟、列式解答就一氣呵成了，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷畫線段圖、反復(fù)看線段圖，建立起栽花問題在兩端都種的情況下“朵數(shù)=間隔數(shù)+1”數(shù)學(xué)模型。

（三）靈活運(yùn)用，拓展數(shù)學(xué)建模

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過程之后，為了能夠更好地理解這一知識(shí)，強(qiáng)化了模型應(yīng)用功能的訓(xùn)練，與學(xué)生的實(shí)際生活相關(guān)聯(lián)，更加容易引導(dǎo)學(xué)生積極地參與解決，把所學(xué)習(xí)到的知識(shí)與方法，進(jìn)行靈活的運(yùn)用，也對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行了有效的拓展。像種花、擺花、排座位、安路燈、工人打地基等，構(gòu)筑知識(shí)與知識(shí)、知識(shí)與生活的普遍聯(lián)系，感受到看似沒有數(shù)學(xué)知識(shí)的生活，卻處處隱藏著數(shù)學(xué)的身影，使學(xué)生深深地體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力，深化了模型的內(nèi)涵，拓展了模型的外延。

三、結(jié)束語

對(duì)于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，是一個(gè)系統(tǒng)化的過程，需要經(jīng)過不斷地實(shí)踐研究，才能夠得出科學(xué)的結(jié)論。因此，所構(gòu)建的任何一個(gè)數(shù)學(xué)模型，都不是憑空想象的，都具有一定的科學(xué)依據(jù)，與實(shí)踐生活中構(gòu)建模型一樣，都需要一定的時(shí)間與材料，不要只注重結(jié)果而忽視了構(gòu)建的過程，讓我們與學(xué)生一起，開啟數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的奇妙之旅吧！

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀[M].北京：小學(xué)數(shù)學(xué)教育科學(xué)出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.