吸導(dǎo)結(jié)構(gòu)耐撞性的主從關(guān)聯(lián)拓撲優(yōu)化*

雷正保，黃 敏，茍明興

（長沙理工大學汽車與機械工程學院，長沙 410114）

前言

以往的抗撞結(jié)構(gòu)設(shè)計中，安全性評價指標雖然既要求最大碰撞加速度小又要求結(jié)構(gòu)變形量小，但二者的矛盾可以調(diào)和，因為滿足二者剛度要求的可行域有交集，可以使用現(xiàn)有基于單層規(guī)劃的優(yōu)化方法［1-3］。

隨著國家標準的不斷完善，抗撞結(jié)構(gòu)的導(dǎo)向性能受到關(guān)注，如汽車的25%重疊率偏置正面碰撞，交通安全設(shè)施中的20°正向側(cè)撞和20°反向側(cè)撞［4-5］。導(dǎo)向性要求結(jié)構(gòu)具有極高的剛度，而傳統(tǒng)安全性評價指標要求最大加速度最小化，本質(zhì)上要求結(jié)構(gòu)剛度較低，于是出現(xiàn)了同時滿足安全性與導(dǎo)向性要求的剛度設(shè)計域為空集的新情況，即具有優(yōu)越吸能性的滿足碰撞加速度與結(jié)構(gòu)變形量要求的傳統(tǒng)抗撞結(jié)構(gòu)，其導(dǎo)向性卻很差；而更嚴重的是，同時滿足優(yōu)越吸能性與良好導(dǎo)向性要求的剛度可行域為空集，致使基于單層規(guī)劃模型的拓撲優(yōu)化方法無法應(yīng)用。雙層規(guī)劃理論為解決這個問題提供了新思路［6］，但雙層規(guī)劃只適用于有具體數(shù)學表達式甚至有凸性要求的特殊情況［7］，而本文中的問題并不能用明確的數(shù)學模型表達，無法直接使用雙層規(guī)劃理論求解。

為此，將雙層規(guī)劃引入拓撲優(yōu)化中，通過創(chuàng)新性地植入導(dǎo)向剛度補償方法，提出一種吸能導(dǎo)向抗撞結(jié)構(gòu)的主從關(guān)聯(lián)耐撞性拓撲優(yōu)化方法。

1 問題分析

1.1 雙層規(guī)劃理論

雙層規(guī)劃具有主從關(guān)系，強調(diào)下層決策對上層目標的影響，且雙層規(guī)劃問題通常不能逐層獨立求解，其一般模型為

其中y解自于下面規(guī)劃問題：

式中：x∈Rm，y∈Rn分別為上層規(guī)劃和下層規(guī)劃的決策變量；F，f：Rm×Rn→R，分別稱為上層規(guī)劃和下層規(guī)劃的目標函數(shù)；g和h分別為上層規(guī)劃和下層規(guī)劃的約束條件，g：Rm×Rn→Rs，h：Rm×Rn→Rt。

1.2 主從關(guān)聯(lián)優(yōu)化模型

將抗撞結(jié)構(gòu)的吸能指標作為雙層規(guī)劃模型的下層，對應(yīng)的決策變量為碰撞加速度a與結(jié)構(gòu)變形量L；將導(dǎo)向指標作為雙層規(guī)劃模型的上層，考慮到碰撞前后速度差Δv能夠反映導(dǎo)向性能的優(yōu)劣，故將碰撞后的速度v作為導(dǎo)向性能的決策變量。于是，主從關(guān)聯(lián)雙層規(guī)劃優(yōu)化模型為

其中a和L為下面規(guī)劃的解：

式中：v∈Rn為上層規(guī)劃的決策變量；a∈Rma，L∈RmL為下層規(guī)劃決策變量。

上、下層規(guī)劃的目標函數(shù)為

上層規(guī)劃約束條件為

下層規(guī)劃的不等式約束條件和等式約束條件分別為

1.3 求解分析

由于優(yōu)化模型的設(shè)計變量太多，且變量之間的關(guān)系難以用數(shù)學方程表述并求解［8］，對其求解必須另辟蹊徑。

2 主從關(guān)聯(lián)耐撞性拓撲優(yōu)化方法

2.1 一體式耐撞性拓撲優(yōu)化

一體式耐撞性拓撲優(yōu)化方法是基于SIMP插值模型的方法，引入一種假想相對密度在0～1之間可變的材料，并在求解過程中使密度向0或1聚集，用連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型逼近0～1離散變量的優(yōu)化模型。即先建立拓撲優(yōu)化模型，后進行碰撞分析，并以混合元胞自動機（HCA）作為優(yōu)化迭代方法；迭代過程以應(yīng)變能密度為場變量；以應(yīng)變能密度均勻化為設(shè)計目標；以質(zhì)量分數(shù)為約束判斷準則，其流程如圖1所示。

圖1 一體式耐撞性拓撲優(yōu)化流程圖

圖中：ρ為材料密度；E為彈性模量；σY為屈服應(yīng)力；Eh為應(yīng)變硬化模量；下標“0”表示初始材料屬性；U為應(yīng)變能密度；x為設(shè)計變量，即材料相對密度，其值在0～1間變化，“0”表示無材料即孔洞，“1”表示滿材料。

2.2 導(dǎo)向剛度補償方法

抗撞結(jié)構(gòu)的碰撞吸能過程類似彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)振動過程，如圖2所示。k為彈簧剛度，c為黏性阻尼系數(shù)，m為抗撞結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

圖2 振動系統(tǒng)示意圖

將導(dǎo)向剛度補償裝置引入彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，即在系統(tǒng)中增加導(dǎo)向補償桿件，如圖3（a）所示。在偏置碰撞中使車輛產(chǎn)生回正力矩，實現(xiàn)導(dǎo)向；如圖3（b）所示，在正面碰撞時，導(dǎo)向補償桿件受力后自然后移，不阻礙抗撞結(jié)構(gòu)吸能，以滿足吸能與導(dǎo)向的雙重要求。

圖3中，導(dǎo)向桿件5具有相對高得多的結(jié)構(gòu)剛度，在受到碰撞載荷后，變形量很小或不變形，其一端與抗撞結(jié)構(gòu)前端用轉(zhuǎn)動副4連接，另一端與抗撞基礎(chǔ)導(dǎo)孔6組成移動副。

圖3 導(dǎo)向補償裝置

2.3 主從關(guān)聯(lián)耐撞性拓撲優(yōu)化方法

方法流程如圖4所示。

圖4 方法流程

首先，建立不考慮導(dǎo)向的初始優(yōu)化模型，運用一體式耐撞性拓撲優(yōu)化方法，獲取初始拓撲構(gòu)型，從而得到安全從屬模型。

其次，在安全從屬模型中植入導(dǎo)向剛度補償裝置。由于導(dǎo)向剛度補償裝置將對抗撞結(jié)構(gòu)的傳力路徑產(chǎn)生影響，故需重新規(guī)劃拓撲優(yōu)化空間，獲取主模型（整體模型）。

最后，進行拓撲優(yōu)化，重新獲取拓撲構(gòu)型。若對拓撲構(gòu)型不滿意，則調(diào)整補償裝置的安裝位置，再次構(gòu)建帶導(dǎo)向剛度補償裝置的主模型，如此循環(huán)，直到獲得滿意結(jié)果。

3 方法驗證

以純電動汽車中對導(dǎo)向有較高要求的小重疊率偏置碰撞［9］為例對該方法進行驗證。

首先，對整車進行拓撲優(yōu)化，獲取傳力路徑；隨后，在整車頭部引入導(dǎo)向剛度補償裝置；最后，考慮到安裝導(dǎo)向剛度補償裝置后，原車頭抗撞結(jié)構(gòu)的傳力路徑將受影響，再次構(gòu)建拓撲優(yōu)化模型并獲取傳力路徑清晰的拓撲構(gòu)型。

3.1 整車多目標耐撞性拓撲優(yōu)化

根據(jù)某純電動汽車的拓撲優(yōu)化空間，建立圖5所示的拓撲優(yōu)化模型。其中，安裝在乘員艙底部的電池箱、乘員艙、行李艙、風窗玻璃、車輪轉(zhuǎn)向空間及懸掛系統(tǒng)等所占空間設(shè)為非優(yōu)化區(qū)域。為避免材料分配不均衡，將整車優(yōu)化區(qū)域分為車頭h區(qū)、乘員艙b區(qū)、車尾r區(qū)和車門d區(qū)4個優(yōu)化區(qū)域，同時進行優(yōu)化。

考慮正面相容性碰撞、側(cè)面碰撞、側(cè)面柱碰、追尾碰撞和頂壓5種工況，但未考慮小重疊率偏置碰撞工況。為得到內(nèi)能密度分布統(tǒng)一的拓撲構(gòu)型，提高吸收能力［10］，則目標函數(shù)為

式中：x為設(shè)計變量；N為單元總數(shù)量，N＝138 718；U為單元i的內(nèi)能密度；U*為單元i的內(nèi)能密度目標值；ωj為工況j的權(quán)重。

將正面相容性碰撞、側(cè)面碰撞、側(cè)面柱碰、追尾碰撞和頂壓工況權(quán)重依次設(shè)為［1］：0.3，0.1，0.1，0.2和0.3。采用分區(qū)域質(zhì)量約束方法解決材料刪減不平衡問題，對應(yīng)的約束條件為

式中：Mi為i區(qū)域優(yōu)化后質(zhì)量；M*i為i區(qū)域初始質(zhì)量；h，b，r，d分別為車頭、乘員艙、車尾和車門優(yōu)化區(qū)域；a為優(yōu)化質(zhì)量分數(shù)。

隨后，進行拓撲優(yōu)化，經(jīng)29次循環(huán)迭代后收斂，且質(zhì)量分數(shù)分別為0.1，0.22，0.2和0.18時的拓撲構(gòu)型最清晰（圖 6（a）），簡化并抽象后，得圖 6（b）的最終拓撲構(gòu)型。

圖6 整體優(yōu)化結(jié)果

3.2 車頭導(dǎo)向剛度補償方法

為解決車頭的導(dǎo)向問題，運用導(dǎo)向剛度補償方法在車頭構(gòu)型上增加極高剛度的導(dǎo)向桿（圖7），導(dǎo)向桿件1立體斜置，前端焊接在前縱梁3端頭，后端與支撐副梁2導(dǎo)孔組成移動副，導(dǎo)向桿1內(nèi)套于吸能斜梁4中，參見圖7（a），車頭另一側(cè)布置方案可類推，其效果圖如圖7（b）所示。

圖7 車頭導(dǎo)向剛度補償方法圖

3.3 主模型的耐撞性拓撲優(yōu)化

為確保導(dǎo)向剛度補償裝置能夠發(fā)揮作用，將剛度補償裝置區(qū)域設(shè)定為非優(yōu)化區(qū)域，再次進行拓撲優(yōu)化。

參考歐洲汽車加強委員會（EEVC）提出的FWDB試驗方法，將碰撞相容性引入耐撞性拓撲優(yōu)化中，為此，在有限元模型中將碰撞壁高度方向劃分8行、寬度方向劃分24列（圖8），則碰撞力的平均高度AHOF位于第3行與第4行，這也是碰撞相容性研究的目標行。

圖8 相容性碰撞工況

經(jīng)38步迭代后收斂，得到的車頭構(gòu)型如圖9（a）所示。此時，車頭優(yōu)化區(qū)域呈現(xiàn)兩根構(gòu)型清晰的斜梁，該斜梁分別平行于高剛度導(dǎo)向桿件布置。原有的副梁加強筋已由斜梁代替，傳力路徑從前橫梁分別經(jīng)兩根斜梁傳遞分散到車身。此外，車身防火墻底板有少量加強筋保留，提取的最終車頭構(gòu)型見圖 9（b）。

圖9 車頭抗撞結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

3.4 結(jié)果分析

3.4.1 吸能特性分析

采用對吸能性要求較高的100%整車正面碰撞工況進行仿真驗證。下層吸能特性優(yōu)化（即傳統(tǒng)吸能優(yōu)化）、上層導(dǎo)向特性優(yōu)化（即剛度補償方法）和主從關(guān)聯(lián)整體模型優(yōu)化（即吸能導(dǎo)向優(yōu)化）的加速度曲線如圖10所示。

圖10 加速度對比圖

3.4.2 導(dǎo)向性分析

依據(jù)IIHS小重疊率偏置碰撞條件開展整車碰撞仿真試驗，此時，壁障與車輛的重疊率為25%，碰撞速度為64 km／h。圖11為兩種方法的車輛碰撞狀態(tài)對比。從圖11中看出，傳統(tǒng)方法得到的車頭，碰撞后未能避開壁障（圖11（a））；而本文方法得到的車頭，能夠避開壁障，實現(xiàn)對車輛的導(dǎo)向（圖11（b））。

圖11 車輛碰撞狀態(tài)對比

4 結(jié)論

提出一種吸能導(dǎo)向抗撞結(jié)構(gòu)的主從關(guān)聯(lián)耐撞性拓撲優(yōu)化方法，通過對某純電動汽車的對比表明：本文方法所得結(jié)果，在25%重疊率偏置碰撞中車輛能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)向，同時，在100%正面全寬碰撞中，車輛的碰撞吸能性能滿足要求，表明本文方法能夠解決吸能與導(dǎo)向?qū)偠纫鬅o交集的矛盾，從而為抗撞結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供了一種新方法。

在以車輛小重疊率偏置碰撞兼顧100%正面碰撞的驗證中，雖然得到了滿意的優(yōu)化結(jié)果，但由于仿真僅考慮車身骨架的吸能效果，而實際上，車輛碰撞加速度還會受其它附屬部件吸能的影響，故所選用的案例可能與實車碰撞試驗數(shù)據(jù)有少許誤差。