時(shí)間加權(quán)非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程解的性質(zhì) ①

余巧云, 孟海霞

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

研究具有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的非局部擴(kuò)散方程

(1)

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解的局部存在性和唯一性，采用Bananch不動(dòng)點(diǎn)定理分別得到了Cauchy，Dirichlet 和Neumann初邊值問題下解的局部存在性和唯一性.

在擴(kuò)散問題的研究中，一類帶有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的擴(kuò)散作為描述擴(kuò)散現(xiàn)象的新模型，具有一定的實(shí)際的意義，引起了國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注. 其中經(jīng)典的局部(拉普拉斯算子Δu作為擴(kuò)散算子)擴(kuò)散問題可參閱文獻(xiàn)[7-10]及其參考文獻(xiàn). 特別地，在文獻(xiàn)[7-8]中Payne和Philippin研究了下列典型的具有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的半線性拋物型方程

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分別在Neumann邊界條件與Dirichlet邊界條件下解的情況. 在對(duì)反應(yīng)項(xiàng)做出某些適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，通過微分不等式的技巧，證明了解的存在性與爆破性，得到了爆破時(shí)間的上下界.在文獻(xiàn)[9]中Ahmed研究了下列反應(yīng)項(xiàng)為非局部的具有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的擴(kuò)散問題

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解的性質(zhì)，獲得了解全局存在及其發(fā)生爆破時(shí)的充分條件，還得到了爆破時(shí)間的上界. 再如2017年Marras和Vernier在文獻(xiàn)[10]研究了反應(yīng)項(xiàng)與邊界條件下均有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的擴(kuò)散方程

(5)

解的爆破時(shí)間的上下界. 自此之后就有大量的文獻(xiàn)研究此類方程及其變形式. 然而，對(duì)于具有時(shí)間加權(quán)系數(shù)的這種非局部(以卷積算子J*u-u作為擴(kuò)散算子)擴(kuò)散問題的研究就比較少. 如Zhang于2011年在文獻(xiàn)[11]研究了在Dirichlet邊界條件下帶有反應(yīng)項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程

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解的全局存在性. 利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明了方程組解的局部存在性和唯一性，通過建立比較原理，得到一定條件下方程組解的全局存在性.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，考慮到非局部擴(kuò)散具有研究范圍廣和一定的理論基礎(chǔ)，實(shí)際意義也更為豐富的優(yōu)點(diǎn)，本文研究了一類帶有時(shí)間加權(quán)系數(shù)非局部反應(yīng)源項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程(1)在Dirichlet邊界條件下解的局部存在性與爆破性. 既不同于上述[7-10]中的局部擴(kuò)散，也不同于[11-12]中將時(shí)間加權(quán)系數(shù)具體化，本文討論了一類范圍更廣，更具代表性的含有時(shí)間加權(quán)系數(shù)非局部反應(yīng)源項(xiàng)的非局部擴(kuò)散方程. 首先，通過引理1的證明及其結(jié)合Banach不動(dòng)點(diǎn)理論驗(yàn)證了解的局部存在性定理. 其次，通過構(gòu)造一個(gè)新的指數(shù)型輔助函數(shù)及其運(yùn)用微分不等式技巧，求得了解爆破的充分條件，并且得到了爆破時(shí)間的上界估計(jì). 主要的困難是尋找?guī)в袝r(shí)間加權(quán)系數(shù)k(t)的反應(yīng)源項(xiàng)對(duì)爆破解的影響及其證明爆破定理時(shí)輔助函數(shù)的構(gòu)造. 通過對(duì)問題(1)解的相關(guān)性質(zhì)的研究，發(fā)現(xiàn)無論是解的存在性還是爆破性均受到了非局部反應(yīng)源項(xiàng)的時(shí)間加權(quán)系數(shù)k(t)與非局部區(qū)域體積|Ω|的影響. 結(jié)構(gòu)安排為第二部分研究解的局部存在性，通過引理1的證明及其結(jié)合Banach不動(dòng)點(diǎn)定理驗(yàn)證了解的局部存在性. 第三部分研究解的爆破性質(zhì)，給出非局部算子在Dirichlet邊界條件下的特征值與特征函數(shù)，結(jié)合時(shí)間加權(quán)系數(shù)k(t)構(gòu)造了新的指數(shù)性輔助函數(shù)，運(yùn)用微分不等式的技巧，最終得到發(fā)生爆破時(shí)的充分條件與爆破時(shí)間的上界估計(jì).

1 解的局部存在性

這部分通過Banach不動(dòng)點(diǎn)理論研究問題(1)解的局部存在性.

先給出一些必要的準(zhǔn)備.

賦予范數(shù)

易知Xt0是Banach空間，令

且B(0,R)?Xt0，記映射

則問題(1)的解u(x,t)將由算子Tu0(u)(x,t)的不動(dòng)點(diǎn)得到，現(xiàn)引出以下引理:

進(jìn)一步，當(dāng)t0足夠小時(shí)，Tw0(w)(x,t)在球B(0,R)中是嚴(yán)格壓縮的.

|Tw0(w)(x,t1)-Tw0(w)(x,t2)|=

“北接松徑，南通巒雉，東以達(dá)虎角庵。游者之屨常滿，然而素桷茅榱，了不異人意?！盵3]426此亭構(gòu)造簡樸，一點(diǎn)也不吸引游者的眼球。然而登亭眺望，勝景撲面而來，使人油然而生山水魚鳥之情。

k(t0)αRα-1|Ω|)‖w-z‖Xt0t,

得Tw0(w)(x,t)在球B(0,R)中是嚴(yán)格壓縮的.

證明由Banach不動(dòng)點(diǎn)理論及其引理1，可以得到問題(1)在[0,t0]上存在唯一解.

2 解爆破的充分條件

這部分討論解的爆破性.為了估計(jì)爆破時(shí)間，首先引入關(guān)于非局部擴(kuò)散問題的特征值引理，參閱文獻(xiàn)[13-14].

引理2設(shè)非局部算子的Dirichlet特征值問題為

(5)

其中Ω是RN中的有界光滑區(qū)域. 則上述問題存在一個(gè)特征值λ1(Ω)與相應(yīng)的特征函數(shù)φ1(Ω)，并且特征值λ1(Ω)是唯一的，且滿足0<λ1(Ω)<1，而且該特征值可以表示成

由Schwarz不等式可得

則上式

?！?t)≥-λ1k′(t)Γ(t)-λ1Γ(t)+

k(t)|Ω|eλ1(α-1)k(t)Γα(t),

進(jìn)一步地由假設(shè)條件可得

Γ′(t)≥-λ1σκΓ(t)-λ1Γ(t)+

κ|Ω|eλ1(α-1)k(t)Γα(t)≥

-λ1(1+σκ)Γ(t)+κ|Ω|Γα(t),

解上面微分方程可得

則當(dāng)初值足夠大，且滿足

時(shí)，Γ在有限時(shí)間內(nèi)爆破，且