六自由度機(jī)械臂的建模與MATLAB仿真

馬宗家 石松泉

(1.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000；2.紹興文理學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，浙江 紹興 312000)

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人在許多行業(yè)有著廣泛的應(yīng)用.砌墻機(jī)器人作為建筑行業(yè)的新型設(shè)備，受到許多的科研人員的探索和研究.而機(jī)械臂作為機(jī)器人的執(zhí)行部件，同樣也是機(jī)器人課題研究中重要部分[1].其中，串聯(lián)機(jī)械臂是應(yīng)用最為廣泛的機(jī)械臂，它是通過多個關(guān)節(jié)連接若干個連桿組成的一種具有多自由度的機(jī)制[2].為了了解機(jī)械臂關(guān)節(jié)和連桿之間的運動規(guī)律，探究機(jī)械臂各部位之間的位姿關(guān)系，需要對其進(jìn)行運動學(xué)分析.通過機(jī)械臂的運動狀態(tài)可以將其分為正運動和逆運動，正運動則是在確定機(jī)械臂的初始參數(shù)(連桿轉(zhuǎn)角、連桿偏距、連桿長度)，通過關(guān)節(jié)角得到末端關(guān)節(jié)相對基坐標(biāo)系的位姿，逆運動則是通過末端執(zhí)行器的位姿來求得機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角的參數(shù)信息[3].為了得到機(jī)械臂一般運動規(guī)律并減少設(shè)計周期，于是使用MATLAB對其進(jìn)行建模，快速完成運動學(xué)分析及路徑規(guī)劃，為建筑機(jī)器人在實際作業(yè)中提供了理論數(shù)據(jù)支撐[4].

1 機(jī)械臂D-H模型的建立

本文研究的對象是擁有6個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂[5-6]，即6自由度機(jī)械臂.圖1為三菱六軸機(jī)械臂的實物結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)此類機(jī)械臂的特性，采用D-H參數(shù)法在各關(guān)節(jié)上建立D-H坐標(biāo)系，得到機(jī)械臂D-H模型[7]，完整的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系模型如圖2所示，其中是基坐標(biāo)系的原點o0和第一關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點o1相重合.圖中D-H坐標(biāo)系建立的步驟如下：

(1)坐標(biāo)系zi-1的方向和機(jī)械臂關(guān)節(jié)i的軸向方向一致.

(2)坐標(biāo)系xi的方向則是由相鄰zi和zi-1的公垂線來確定.

(3)坐標(biāo)系yi-1的方向是由zi-1和xi-1的叉積所得.

圖1機(jī)械實物結(jié)構(gòu)圖圖2機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系

根據(jù)圖2可以很直觀推算出D-H參數(shù)表1中各參數(shù)的值，其中的θ為關(guān)節(jié)角，α為機(jī)械臂的連桿轉(zhuǎn)角，a是相鄰關(guān)節(jié)間連桿的長度，d則是相鄰關(guān)節(jié)間連桿的偏移量[8].

表1 D-H參數(shù)表

連桿θn/(·)αn/(·)an/mmdn/mm關(guān)節(jié)范圍/(·)1θ19000-240～+2402θ20000～+1603θ39000-120～+1604θ4-900d4-200～+2005θ59000-120～+1206θ6000-360～+360

機(jī)械臂是由若干個關(guān)節(jié)通過剛體連接而成的開式運動鏈，因此要求得機(jī)械臂末端執(zhí)行器相對于基坐標(biāo)的位姿[9-10]，需要求得各個關(guān)節(jié)之間的變換矩陣.因此將表1中的參數(shù)代入下列齊次變換矩陣[11]：

nTn+1=An+1=Rot(z,θn+1)×Trans(0,0,dn+1)×Trans(an+1,0,0)×Rot(x,αn+1)

將表中D-H參數(shù)代入到公式(1)中，可以得到相鄰關(guān)節(jié)間的齊次變換矩陣，得到矩陣如下所示[12]：

對得到的齊次方程依次進(jìn)行相乘，最終得到基坐標(biāo)相對于機(jī)械臂末端的變換矩陣：

T=T1T2T3T4T5T6=

式中：ci=cosθi，si=sinθi，cij=cos(θi+θj)，sij=sin(θi+θj)，其中變換矩陣T是求解機(jī)械臂六個關(guān)節(jié)的位姿的函數(shù)，通過T可以得到機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的運動情況和末端姿態(tài)的關(guān)系.

2 六軸機(jī)械臂MATLAB仿真

2.1 機(jī)械臂建模

Robotics Toolbox是MATLAB專門用于機(jī)器人學(xué)的仿真工具包，為機(jī)器人的仿真提供了豐富的函數(shù)[13].其中Link函數(shù)和Serial Link是機(jī)械臂建模最重要的兩個函數(shù).在MATLAB的工作環(huán)境下，根據(jù)D-H參數(shù)表1，使用Link函數(shù)調(diào)用表中的參數(shù)就可以創(chuàng)建一個基于三菱機(jī)械臂仿真模型，具體指令如下所示.

L1=Link('alpha',pi/2,'d',0,'a',0);

L2=Link('alpha',0,'d',0,'a',0);

L3=Link('alpha',0,'d',0,'a',0);

L4=Link('alpha',pi/2,'d',0.2,'a',0);

L5=Link('alpha',-pi/2,'d',0,'a',0);

L6=Link('alpha',0,'d',0,'a',0);

robot=SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6]);

robotname='機(jī)械臂'；

theta=[pi/2 0pi/2pi/2-pi/2 0];

robot.plot(theta);

teach(robot);

圖3示教控制模塊的六個滑塊分別對應(yīng)著機(jī)械臂六個關(guān)節(jié)，通過移動滑塊可以改變關(guān)節(jié)角，從而可以很直觀地看到機(jī)械臂末端的位姿變化.

圖3 示教控制板和機(jī)械臂模型

2.2 運動學(xué)正逆解仿真

關(guān)于機(jī)械臂正運動問題，可以調(diào)用Robotics工具箱中fkine函數(shù)進(jìn)行求解[14].函數(shù)調(diào)用的格式為:T=R.fkine(Q),其中R表示機(jī)械臂模型，T為前向運動的正解，Q為機(jī)械臂六個關(guān)接變量值.取向量Q1=[pi/5 -pi/3pi/2 0 -pi/4pi/8]，代入fkine函數(shù)中進(jìn)行運算，最后得到一個齊次變換矩陣如下：

對于逆運動學(xué)問題，則需要調(diào)用Robotics工具包中的ikine函數(shù)對其求解[15].函數(shù)調(diào)用的格式為:Q=R.ikine(T,Q0,M)，其中R同樣是機(jī)械臂模型，T則是要進(jìn)行逆解的齊次矩陣，Q0是為機(jī)械臂初始位置，M則是的逆解需要忽視的關(guān)節(jié)，本次實驗使用的是六自由度機(jī)械臂，因此沒有需要忽略的關(guān)節(jié)，只需要定義M=[1 1 1 1 1 1] .結(jié)合本次仿真模型，確定初始位置Q0=[0pi/2pi/2 0pi/2 0],并且確定機(jī)械臂末端Q2點的變換矩陣，矩陣如下所示：

隨后調(diào)用ikine函數(shù)，最后可以得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置向量Q2=[0 0 0 0 0 0 ],同時將相應(yīng)的齊次變換矩陣代入運動學(xué)逆解方程中，求得的關(guān)節(jié)角的大小與仿真解一致，確定了逆解方程的正確性.

2.3 機(jī)械臂軌跡規(guī)劃

在robotics工具箱中研究機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃一般會使用jtraj或ctraj函數(shù)進(jìn)行規(guī)劃.這兩種函數(shù)分別對應(yīng)著兩種不同的方法，其中jtraj主要應(yīng)用于關(guān)節(jié)空間規(guī)劃，而ctraj則是對應(yīng)著笛卡爾空間規(guī)劃.這兩種方法都有各自的優(yōu)點：關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃簡單，算法運算量小，不易出現(xiàn)奇異方程.而笛卡爾空間規(guī)劃的末端運動軌跡直觀，便于觀察機(jī)械臂運動狀態(tài)[16].為了得到較好的仿真效果，本文機(jī)械臂同時采用兩種方法進(jìn)行軌跡的規(guī)劃.

2.3.1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

jtraj是用于規(guī)劃關(guān)節(jié)空間軌跡的常用函數(shù)，其調(diào)用的格式為[17]：[Q,QD,QDD]=jtraj(Q0,QF,T)，其中Q表示Q0點運行到QF點的運行軌跡，QD和QDD則是表達(dá)的軌跡規(guī)劃的速度和加速度.Q0和QF顯而易見的是機(jī)械臂運動的起始點和終點，T為給定的時間長度.假設(shè)本次仿真的時間為3秒，每次采集的時間間隔為50毫秒(即T=[0:0.05:2]).機(jī)械臂起點關(guān)節(jié)值Q1=[pi/5 -pi/3pi/2 0 -pi/4pi/8],終點關(guān)節(jié)值Q2=[0 0 0 0 0 0 ].在MATLAB環(huán)境下，將上面所得參數(shù)代入jtraj函數(shù)中運行，即可以求得各個關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度的變化曲線[18].如圖4所示.

圖4關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)角、速度、加速度圖

圖5 末端軌跡在三個面上

2.3.2 笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

在實際控制機(jī)械臂的情況下，許多時候只需要機(jī)械示教到幾個比較重要的點上，根據(jù)軌跡特征算出中間點，然后通過插補的方法進(jìn)行精確的控制[20].對于笛卡爾空間可以使用TC= ctraj(T0,T1, N)函數(shù)進(jìn)行規(guī)劃，TC為函數(shù)返回的軌跡矩陣，T0和T1則分別為路徑的起始點，N則是路徑上的點數(shù).本次仿真取空間Q1和Q2為例，將其代入函數(shù)中，進(jìn)行笛卡爾路徑規(guī)劃，Q1，Q2的變換矩陣如圖6、圖7所示.

圖6笛卡爾空間軌跡圖圖7末端位置

通過結(jié)合兩種空間規(guī)劃路徑的優(yōu)點，在MATLAB中可以直觀地看到機(jī)械臂末端的運行軌跡，也可以清楚了解到各個關(guān)節(jié)的位置，速度、加速度隨時間變化的情況，通過上述數(shù)據(jù)可以為之后機(jī)械臂抓取磚塊和躲避障礙物的研究奠定基礎(chǔ).

3 結(jié)論

本文研究的對象是一款來自于三菱公司的六軸機(jī)械臂，利用D-H法對機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建模，并且得到相應(yīng)的齊次變換矩陣，并且通過理論推導(dǎo)，得到運動學(xué)正逆解方程.使用MATLAB Robotics工具箱建立機(jī)械臂仿真模型，并通過正逆運動檢驗了模型的正確性以及公式推導(dǎo)的準(zhǔn)確性.機(jī)械臂在關(guān)節(jié)和笛卡爾空間下的軌跡規(guī)劃仿真，得到各關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度曲線和機(jī)械臂末端在笛卡爾空間中的運行路徑，為機(jī)械臂在建筑工業(yè)實際應(yīng)用提供了理論參考.