基于非迭代多點(diǎn)插值DFT的諧波電能計(jì)量算法

唐旭明，翁?hào)|波，宋雅楠，郝晶晶，張 明，李 冰

(1.國(guó)網(wǎng)淮南供電公司，安徽 淮南 232007；2.煙臺(tái)東方威思頓電氣有限公司，山東 煙臺(tái) 264000)

0 引言

伴隨國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的需求，現(xiàn)代化電氣高速鐵路、特高壓輸電等加快投入使用。一方面，這促進(jìn)了固態(tài)開關(guān)器件、非線性電力電子開關(guān)負(fù)載、工業(yè)設(shè)備整流器和逆變器新型電力電子器件在電網(wǎng)系統(tǒng)中大量應(yīng)用，使得系統(tǒng)控制、保護(hù)等更為準(zhǔn)確、穩(wěn)定。另一方面，非線性電力電子器件應(yīng)用產(chǎn)生大量諧波(穩(wěn)態(tài)或動(dòng)態(tài))[1-2]所帶來的電能質(zhì)量問題，不僅危及供電系統(tǒng)整體安全、穩(wěn)定運(yùn)行，而且直接影響電能計(jì)量的準(zhǔn)確性，進(jìn)而造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，在這種情況下，精確諧波電能計(jì)量顯得尤為必要和重要。這已成為電力公用事業(yè)及其客戶的重要研究課題。

在非正弦含諧波情況下，諧波標(biāo)準(zhǔn)IEEE STD 1459[3]有功功率定義為：

(1)

式(1)表明，準(zhǔn)確估計(jì)測(cè)量直流、基波及各次諧波參數(shù)(幅值、相位及頻率)是確保諧波電能精確計(jì)量的前提。常用諧波估計(jì)算法分為時(shí)域和頻域兩大類。由于頻域方法具有高精度和較低計(jì)算負(fù)擔(dān)，在處理實(shí)時(shí)應(yīng)用時(shí)它們通常比時(shí)域方法更受青睞。

插值離散傅里葉變換(interpolated discrete Fourier transform,IpDFT)是較廣泛采用的頻域方法。該類算法采用加窗和插值的方法，分別處理非相干采樣引起的頻譜泄漏，以及由頻譜中離散頻率引起的柵欄效應(yīng)引起的估計(jì)不準(zhǔn)確影響，并基于快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)使得算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且可用于實(shí)時(shí)處理。典型IpDFT算法有非參數(shù)插值(補(bǔ)零、線性調(diào)頻和頻率翹曲[3-4])和特定時(shí)間窗函數(shù)方法。其中，通過剖析頻譜泄漏現(xiàn)象的本質(zhì)，采用加余弦窗(包括多級(jí)卷積窗[5-6])的線性插值及多點(diǎn)譜線加權(quán)插值(multipoint weighted interpolated discrete fourier transform,MWIpDFT)方法是目前研究的重要方向[7-11]。該類方法通常分粗略估計(jì)和精細(xì)補(bǔ)償校正兩步實(shí)現(xiàn)。粗略估計(jì)通過基于頻率估計(jì)器對(duì)采樣信號(hào)使用加窗FFT(windowing FFT,WFFT)并搜索幅度譜全局最大值實(shí)現(xiàn)；精細(xì)補(bǔ)償校正通常通過內(nèi)插與最大譜線相鄰譜線來實(shí)現(xiàn)，以補(bǔ)償校正柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的偏移誤差。

在插值補(bǔ)償校正時(shí)，由于偏移補(bǔ)償量與DFT譜線幅度譜的非線性關(guān)系通常采用多項(xiàng)式近似逼近，因而在一定程度上降低了補(bǔ)償精度。文獻(xiàn)[12]提出提升插值離散傅里葉變換(enhanced interpolated discrete Fourier transform,EIpDFT)算法。其核心在于采用迭代過程消除了與共軛分量及其他頻次諧波對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響，大幅度提高了頻率校正及幅值相位估計(jì)精度。但迭代過程的高額計(jì)算成本使得其在實(shí)時(shí)計(jì)算應(yīng)用存在困難。

因此，本文在EIpDFT算法的基礎(chǔ)上，采用非迭代方式擴(kuò)展應(yīng)用基于任意階最大衰減旁瓣窗(maximum decay sidelobe windows,MSDW)的多點(diǎn)插值方法，在短時(shí)間窗長(zhǎng)內(nèi)對(duì)多頻諧波信號(hào)的基本正弦分量進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。最后，根據(jù)諧波標(biāo)準(zhǔn)IEEE STD 1459功率定義，將得到的諧波參數(shù)用于諧波電能準(zhǔn)確計(jì)量。一方面，非迭代方式有效降低了每次參數(shù)估計(jì)的計(jì)算負(fù)擔(dān)。另一方面，短時(shí)間窗截?cái)嗍沟迷擃愃惴ㄟ€可應(yīng)用于快速波動(dòng)情況下電網(wǎng)信號(hào)諧波參數(shù)估計(jì)，擴(kuò)大了IpDFT的應(yīng)用范圍。

1 通用加窗傅里葉變換

假設(shè)信號(hào)中僅含有單一頻率分量，其離散時(shí)間采樣表示為：

(2)

式中：An、fin和θin分別為信號(hào)幅值、頻率和起始相位；fs、N為采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)。

實(shí)際情況下，考慮非同采樣情況，信號(hào)頻率可以表示為：

(3)

式中：Δf為N點(diǎn)采樣下的頻率分辨率；η為信號(hào)截?cái)嘀芷跀?shù)；l(整數(shù))為η的四舍五入值；τ∈[-0.5,0.5]為信號(hào)頻率在離散譜線間的所處位置，即歸一化情況的頻率偏差。

對(duì)N點(diǎn)離散信號(hào)進(jìn)行加窗w(n)傅里葉變換，得：

λ-η)ejθin+W(l+λ+η)e-jθin

(4)

式中：λ用于確定在插值中使用的多條譜線位置[13]；W()為窗函數(shù)的離散頻譜表達(dá)式。

根據(jù)H階最大衰減旁瓣余弦窗的定義：

(5)

對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)分別為：

(6)

(7)

則當(dāng)H>1、ζ=N及N>1時(shí)，H階最大衰減旁瓣余弦窗的頻譜表達(dá)式近似為：

(8)

根據(jù)式(8)，H≤6的窗函數(shù)系數(shù)及重要性能指標(biāo)，包括主瓣寬度(MLBW)、旁瓣衰減速度(SLdec,單位dB/oct)及等效噪聲帶寬(ENBW)。最大衰減旁瓣余弦窗參數(shù)如表1所示。

表1 最大衰減旁瓣余弦窗參數(shù)

2 插值校正

多點(diǎn)插值校正方法在前述加窗DFT基礎(chǔ)上，通常分兩步實(shí)現(xiàn)：粗略估計(jì)和精細(xì)補(bǔ)償校正。以常用三譜線插值修正算法為例[15]。首先，利用局部峰值搜索(周期圖)，在等間隔離散頻譜上尋找實(shí)際峰值頻率點(diǎn)附近最大譜線，將其作為粗略頻率估計(jì)值。其次，聯(lián)立峰值譜線左右兩個(gè)次最大譜線幅值，采用非線性擬合方式得到頻率修正系數(shù)，完成精細(xì)補(bǔ)償校正過程(若需進(jìn)一步計(jì)算幅值和相位，則可再次通過非線性擬合方式得到頻率修正系數(shù)與幅值及相位的關(guān)系，將其代入得到幅值和相位的補(bǔ)償校正)。

值得注意的有兩點(diǎn)：①非線性擬合方式精度與其采用的計(jì)算方法有著直接的關(guān)系，同時(shí)也額外增加了計(jì)算成本；②在利用三譜線非線性擬合求頻率修正的過程中，常用方法往往忽略了共軛負(fù)頻率部分旁瓣泄漏的影響(如文獻(xiàn)[5])。插值校正流程如圖1所示。

圖1 插值校正流程圖

為解決上述兩個(gè)問題，文獻(xiàn)[16-18]提出了采用迭代的提升插值離散傅里葉變換算法，對(duì)應(yīng)流程如圖1所示。該方法優(yōu)點(diǎn)在于充分考慮了共軛負(fù)頻率旁瓣衰減對(duì)校正方法的影響，即圖1中迭代過程窗譜函數(shù)完整包含了負(fù)頻率部分，對(duì)應(yīng)公式為：

(9)

基于上述特點(diǎn)，迭代算法可以在很短信號(hào)周期內(nèi)提供準(zhǔn)確的諧波信號(hào)參數(shù)估計(jì)。但迭代過程的高額計(jì)算成本，使得其應(yīng)用于實(shí)時(shí)計(jì)算時(shí)存在困難。

3 非迭代插值算法

①頻率估計(jì)。

假設(shè)信號(hào)頻率處于其對(duì)應(yīng)離散傅里葉變換的第kp根譜線附近，聯(lián)合峰值譜線左右兩根次最大譜線(kp±1)，進(jìn)而根據(jù)加窗傅里葉變換式(4)，可得：

(10)

式(10)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

AB=0

(11)

式中：0為零矩陣。

(12)

由于幅值和相位組成的變量矩陣不可能為0，因此方程系數(shù)矩陣的行列式ΔA等于0，即：

(13)

進(jìn)一步根據(jù)式(8)，可得下述比例關(guān)系：

(14)

將式(14)代入式(13)，利用行列式性質(zhì)，化簡(jiǎn)為：

(15)

通過對(duì)上述行列式分解，可得關(guān)于η的代數(shù)方程為：

Γ1-η2Γ2=0

(16)

(17)

則可得頻率估計(jì)為：

(18)

②幅值和相位估計(jì)。

假設(shè)：

(19)

則根據(jù)式(4)可得：

(20)

同理，聯(lián)合左右兩根次最大譜線(kp±1)，以矩陣方式重寫式(20)，可得：

CD=E

(21)

矩陣C、D和E分別為：

(22)

D=[ab]T

(23)

E=[XR(kp)XR(kp)]T

(24)

聯(lián)立式(21)～式(24)，采用最小二乘法，可得：

(25)

則幅值和相位分別為：

(26)

基于非迭代散點(diǎn)插值校正可精確得到單一頻率信號(hào)參數(shù)估計(jì)。通過前述推導(dǎo)，上述估計(jì)方法可進(jìn)一步擴(kuò)展應(yīng)用于諧波情況下各頻次參數(shù)估計(jì)，具體差異在于式(11)和式(20)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣構(gòu)造。

4 諧波電能計(jì)量

根據(jù)前述得到的被測(cè)信號(hào)基波和各次諧波分量的幅值、相位和頻率，可完成基波和諧波電能精確計(jì)算。假設(shè)電網(wǎng)電壓電流信號(hào)分別為：

(27)

根據(jù)IEC STD 61000-4-7，在k個(gè)基波周期T內(nèi)，單一頻率分量的標(biāo)準(zhǔn)諧波電能公式為：

(28)

則在計(jì)及基波及各次諧波正反向電能情況下，可得總電能為：

(29)

基于非迭代插值校正諧波電能計(jì)量流程如圖2所示。

圖2 基于非迭代插值校正諧波電能計(jì)量流程圖

5 算法仿真分析

5.1 窗譜近似誤差

窗頻譜及對(duì)應(yīng)近似誤差如圖3所示。

圖3 窗頻譜及對(duì)應(yīng)近似誤差圖

在前述頻率估計(jì)過程中，為滿足方程解析過程需要，根據(jù)文獻(xiàn)[19]近似得到最大衰減旁瓣余弦窗的頻譜，因此需要分析近似可能帶來的估計(jì)誤差。其中，根據(jù)H階最大衰減旁瓣余弦窗定義，其準(zhǔn)確頻譜根據(jù)離散時(shí)間傅里葉變換得到，為：

(30)

窗頻譜近似首先會(huì)造成式(4)頻域離散采樣誤差。而從圖3可明顯看出，在主瓣內(nèi)W(ζ)與W″(ζ)近似誤差非常小，基本在10-9范圍以下，表明以式(17)和式(18)連續(xù)三頻域離散采樣點(diǎn)線性組合的頻率估計(jì)是非常精確的。同時(shí)，用于方程求解的式(14)線性變換準(zhǔn)確度也可以得到保證。

5.2 單一頻率信號(hào)參數(shù)估計(jì)

假設(shè)單一頻率離散采樣信號(hào)為：

s(n)=Aincos(2πfinnT+θin)

(31)

此處參數(shù)設(shè)置分別為：幅值A(chǔ)in=5;頻率fin=49.52 Hz;初始相位θin=π/3;采樣周期T=1/5 000 s。

上述信號(hào)充分考慮了實(shí)際電網(wǎng)信號(hào)頻率波動(dòng)范圍，因而具有典型性。分別采用本文設(shè)計(jì)的非迭代三譜線插值和典型加漢寧窗三點(diǎn)權(quán)重插值方法。從結(jié)果可以明顯看出，本文設(shè)計(jì)的方法較加漢寧窗三點(diǎn)權(quán)重插值方法精度高出約4個(gè)數(shù)量級(jí)，整體相對(duì)誤差零級(jí)在10-6左右；值得特別注意的是在短時(shí)截?cái)嗲闆r下，非迭代方法也可以準(zhǔn)確得到信號(hào)參數(shù)，因而可應(yīng)用于短時(shí)波動(dòng)信號(hào)分析。

5.3 諧波電能計(jì)量

假設(shè)含諧波離散采樣信號(hào)為：

(32)

諧波分量參數(shù)如表2所示。基波頻率為49.8 Hz，采樣頻率為5 000 Hz。

表2 諧波分量參數(shù)

首先，以電壓作為分析對(duì)象，分別采用H=2、3、4、5所對(duì)應(yīng)的4個(gè)不同離散時(shí)間窗，得到的不同階窗函數(shù)下周期數(shù)與估計(jì)誤差如圖4所示。

圖4 不同階窗函數(shù)下周期數(shù)與估計(jì)誤差

最后以5個(gè)基波周期截?cái)?，分別計(jì)算電壓、電流各次諧波幅值、相位，得到功率及誤差，如表3所示。

表3 諧波分量誤差

6 結(jié)束語

常用多點(diǎn)線性插值方法未考慮負(fù)頻率共軛部分帶來的長(zhǎng)泄漏干擾，對(duì)于高精度諧波電能計(jì)量，會(huì)帶來累積誤差。本文提出的基于非迭代多點(diǎn)插值DFT精確諧波電能計(jì)量算法，充分考慮并消除了與共軛分量相關(guān)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響，利用多階最大衰減旁瓣窗函數(shù)高精度近似，進(jìn)一步消除近似誤差對(duì)窗譜函數(shù)的影響。而采用穩(wěn)健的三點(diǎn)線性組合方式，有效避免了幅值和相位波動(dòng)對(duì)頻率估計(jì)的影響，理論分析及仿真結(jié)果表明，該方法在短時(shí)窗情況也具有很高的計(jì)算精度，因而基于該非迭代插值方法的電能計(jì)量算法理論的可用于動(dòng)態(tài)負(fù)荷諧波電能計(jì)量，較以往其他計(jì)量算法具有更廣的適用性。

鑒于篇幅有限，本文未進(jìn)一步就算法抗噪特性進(jìn)行分析和仿真，因而下一步將重點(diǎn)研究算法在含噪聲情況下性能評(píng)估和提升；同時(shí)，還將該算法進(jìn)一步推廣應(yīng)用于非平穩(wěn)信號(hào)參數(shù)估計(jì)，以解決復(fù)雜工況下諧波電能計(jì)量問題。