觸摸概念的本質(zhì)
——基于數(shù)學史視角的“平均數(shù)”教學設計

□張 平

平均數(shù)作為一個統(tǒng)計概念，在統(tǒng)計學中具有極其重要的地位。以往的平均數(shù)教學大都將教學重心放在解決問題層面上，更注重訓練學生平均數(shù)的計算技能。然而，在新課程標準中，“統(tǒng)計與概率”作為一大領域出現(xiàn)，[1]并且隨著信息技術的不斷發(fā)展以及“云技術”“大數(shù)據(jù)”的不斷涌現(xiàn)，學會數(shù)據(jù)分析和用數(shù)據(jù)說話，已經(jīng)成為每一個公民必備的數(shù)學素養(yǎng)和思維方式。在此背景下，平均數(shù)作為一個重要統(tǒng)計量的身份越來越被重視。與此同時，一些教師也已對平均數(shù)意義的教學做了很多有益的探索，但仍有一些不足。譬如，如何在數(shù)據(jù)分析的背景下促使學生理解平均數(shù)的意義，平均數(shù)的本質(zhì)究竟有哪些，等等。鑒于此，本文試著從平均數(shù)發(fā)展歷史的角度，嘗試解決上述平均數(shù)教學中的一些問題，以期為這一內(nèi)容的教學提供一些參考。

一、平均數(shù)的發(fā)展歷程

M.克萊因說：“數(shù)學史是教學的指南?！盵2]縱觀平均數(shù)的發(fā)展史，可見其極其豐富而又深刻的內(nèi)涵。正如一位學者所說的那樣，如果我們從理論的角度走一點極端，則可以說，一部數(shù)理統(tǒng)計學的歷史，就是從縱橫兩個方向?qū)λ阈g平均數(shù)進行不斷深入研究的歷史。[3]縱觀平均數(shù)的發(fā)展歷程，大致包括以下幾個方面（見表1）。

表1 平均數(shù)的發(fā)展歷程

續(xù)表

二、平均數(shù)的內(nèi)涵及其教學分析

學生學習平均數(shù)，關鍵是要理解其本質(zhì)。就數(shù)學概念而言，理解其本質(zhì)可以從多個層面入手，如邏輯關系、數(shù)學史的發(fā)展和教育心理學等。每個層面對于理解概念都會有不同的幫助。對于數(shù)學史而言，追溯一個概念的形成歷程，往往可以發(fā)現(xiàn)其“本來面目”，從而為理解其本質(zhì)和組織教學帶來有益的啟示。

（一）平均數(shù)的內(nèi)涵

通過平均數(shù)的發(fā)展歷程我們可以看到，平均數(shù)豐富而又深刻的統(tǒng)計意義是在各個發(fā)展階段逐步形成的。其主要特征有：平均數(shù)是被平均的數(shù)據(jù)的代表；平均數(shù)介于最小值和最大值之間；平均數(shù)易受到不等于平均數(shù)的數(shù)據(jù)影響；平均數(shù)不一定是數(shù)據(jù)中的一個值；平均數(shù)可能是一個在現(xiàn)實意義中不存在的數(shù)；計算平均數(shù)，要考慮數(shù)值為零的數(shù)據(jù)在內(nèi)。除此之外，平均數(shù)的統(tǒng)計意義主要包括：作為判斷事物的數(shù)量標準或參考。例如，評價某個學生的身高情況，通?？梢詫⑦@個學生的身高同這個地區(qū)同年齡同類型學生的平均身高進行比較；作為代表來比較不同總體之間的水平，如比較人數(shù)不相同的兩組學生投籃的水平。人數(shù)相同，則可以比較總數(shù)，人數(shù)不同，則可以用平均水平來比較；作為用樣本的平均數(shù)來推斷總體的水平。在統(tǒng)計估計中，往往是根據(jù)樣本的平均數(shù)來推測總體的平均數(shù)；作為總體的平均數(shù)通過在某段時間內(nèi)的發(fā)展變化，探索研究對象的發(fā)展規(guī)律。

與此同時，在平均數(shù)教學時，還必須厘清平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關系。在統(tǒng)計學中，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的統(tǒng)計量（具體關系可參見圖1）。當統(tǒng)計數(shù)據(jù)符合或者接近正態(tài)分布時，三者是基本一樣的，如果數(shù)據(jù)偏態(tài)分布，三者才會有區(qū)別。因此用三個中的哪一個來表示一般水平，需要看數(shù)據(jù)的情況。

圖1 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的關系

（二）平均數(shù)的教學分析

荷蘭學者A.Bakker曾做過專門研究，他發(fā)現(xiàn)學生對平均數(shù)的理解與歷史有相似之處。他通過分析歷史與個體學習過程之間的相似處與不同點，從眾多統(tǒng)計學歷史資料中甄選出有價值的材料用于教學，并發(fā)展了一套幫助學生學習平均數(shù)的教學方案，其基于平均數(shù)歷史的教學建議包括：估計大數(shù)是一種古老的統(tǒng)計方法，可以作為學生學習平均數(shù)的認知起點；學生可能會使用中點值作為求平均數(shù)的原始方法；利用條形圖表征數(shù)據(jù)能幫助學生使用補償策略來估計平均數(shù)。[4]

比較目前四種版本的小學數(shù)學教材（人教版、蘇教版、北師大版、青島版）發(fā)現(xiàn)，對于平均數(shù)內(nèi)容的編排，也借鑒了以上的一些研究成果，如比較重視條形統(tǒng)計圖來幫助學生實施移多補少的策略。在平均數(shù)的引入方面，四種版本的教材不約而同地采用了個數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)進行比較。當兩組數(shù)據(jù)不能用總數(shù)來比較時，需要尋求新的分析方法來解決問題。這樣導入的好處就是能直接引起學生的認知沖突。但問題是學生可能不能深入理解平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表。用平均數(shù)來估計大數(shù)，其核心思想就是在許多數(shù)據(jù)中找一個表示一般水平的代表。平均數(shù)的起源中數(shù)樹葉的故事，其方法就是找到一根屬于一般水平的枝條代表，從而估計出整棵樹的樹葉數(shù)。平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表，應該是平均數(shù)性質(zhì)中最核心的?；诖?，把估計總數(shù)作為認識平均數(shù)的起點是合適的?？梢钥闯?，平均數(shù)的公平分享起源與人們直覺中的公平、公正、平等是相互聯(lián)系的，這就意味著公平分享的背景有助于學生理解平均數(shù)的意義。

三、基于平均數(shù)發(fā)展史的教學設計

用平均數(shù)歷史來指導教學，關鍵要思考兩個問題：一是平均數(shù)核心的內(nèi)涵主要有哪些；二是如何設計一系列能夠觸及平均數(shù)意義和本質(zhì)的問題，讓學生在解決問題的過程中把握平均數(shù)內(nèi)涵，感悟平均數(shù)所蘊含的數(shù)據(jù)分析觀念。根據(jù)以上分析，筆者在設計平均數(shù)的意義時，把平均數(shù)的發(fā)展歷史作為教學的指南，力求讓學生經(jīng)歷創(chuàng)造平均數(shù)的歷程。具體過程如下。

（一）用估計總數(shù)作為認識平均數(shù)的起點

首先，筆者創(chuàng)設了學生熟知的做操的情境。操場上的10列學生，每一列人數(shù)不同（如圖2所示）。

圖2 學生做操隊列的人數(shù)

筆者讓學生不通過計算，用自己喜歡的方法來估計做操的人數(shù)。經(jīng)過交流，有學生認為人數(shù)在40與90人之間，因為最多一列人數(shù)是9人，最少一列人數(shù)是4人；也有學生說是60人左右，因為大多數(shù)的列是6人，少數(shù)列比6人多，還有少數(shù)列比6人少，所以把每一列都看作6人。這個方法得到了一致認可。從學生發(fā)表的幾種意見中，我們可以看到學生憑借其原有的生活經(jīng)驗和認知水平，敏銳地發(fā)現(xiàn)了這組數(shù)據(jù)中的典型數(shù)據(jù)，它可以作為這些數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)的代表，從而迅速估計出做操人數(shù)。學生在經(jīng)歷這樣的過程中實際已經(jīng)初步構建出平均數(shù)的雛形：數(shù)據(jù)的代表。這樣設計實際可以達到兩個目的，一是喚醒，學生的潛意識中都有均等意識，盡量使每一列人數(shù)一樣多是學生原有經(jīng)驗，設計中通過估計人數(shù)讓學生利用這個經(jīng)驗來解決實際問題，從而達到喚醒和強化的作用；二是鋪墊，尋找數(shù)據(jù)的代表，不僅能解決估計大數(shù)的問題，還能解決后面比較兩組數(shù)據(jù)的實際問題，這也是為經(jīng)驗的遷移做準備。

（二）在實際問題中還原平均數(shù)的本原意義

在這一個層次的教學中，筆者利用學生套圈游戲的情境，分四個小組對套中的情況進行分析。每一個小組情況的分析實質(zhì)都蘊含了平均數(shù)的不同層次的性質(zhì)。

圖3 第一、二小組學生套圈個數(shù)的條形圖

實際教學中，在比較第一小組和第二小組哪組套得準一些時，學生原有的比總數(shù)的經(jīng)驗還是有明顯的負遷移的作用。筆者在這里放手讓學生進行比較，通過思維的激烈碰撞，學生終于意識到在人數(shù)不同的情況下，采用比較總數(shù)的方法是不公平的，轉(zhuǎn)而尋找其他方法。學生發(fā)現(xiàn)可以找兩組數(shù)據(jù)的代表，前面的經(jīng)驗在這里得到了很好的遷移。由于條形圖的直觀性，學生容易發(fā)現(xiàn)通過移多補少就能找到一組數(shù)據(jù)的代表。當然也有水平更高的學生直接通過計算得到。在這個教學設計中，沒有突出平均數(shù)的計算方法，而是在不斷的認知沖突中，在對兩組數(shù)據(jù)充分比較分析中尋求解決問題的辦法，是真正讓學生在用數(shù)據(jù)說話的過程中完整而又深刻地理解平均數(shù)的意義。

表2 第三小組男生套中個數(shù)表

表3 第三小組女生套中個數(shù)表

計算第三小組男、女生套中的平均數(shù)（如表2、表3所示），男生平均套中個數(shù)很順利就解決了，計算女生平均套中個數(shù)時，出現(xiàn)了兩種不同意見，一種意見認為錢雅蕓同學沒有套中，不應該計算在內(nèi)，另一種意見則反之。本來在設計前認為很容易解決的問題，但在實際教學中學生的爭論比較激烈。不過，通過這樣有質(zhì)量的討論和交流，學生對于平均數(shù)的這一條性質(zhì)應該理解得比較透徹了。

第四小組情況分析分為兩個層次，首先是告訴學生第四小組4個學生的平均成績是5個，讓學生估計每個學生套中的個數(shù)，這是一個比較開放的問題。通過交流，學生知道平均數(shù)5個不一定是每個同學都套中5個，有可能比5個多，也有可能比5個少。由此可見，學生很好地理解了平均數(shù)是介于最大數(shù)和最小數(shù)之間的。其次，告訴3個學生套中的個數(shù)，讓學生想辦法算出第4個學生套中的個數(shù)。

通過上述一系列問題情境的設置，教師不斷地賦予平均數(shù)各種意義，使學生在認真分析一個個精心設計的數(shù)據(jù)時，通過對平均數(shù)算法的探索和對數(shù)據(jù)的觀察分析，自主構建平均數(shù)的意義。

（三）在應用中深化對平均數(shù)的理解

一般而言，在一個數(shù)學概念初步建構形成表象以后，需要不斷地在概念的應用中進一步抽象、概括、發(fā)展概念的內(nèi)涵，[5]平均數(shù)的教學也不例外。在應用層次的教學中，筆者設計了某小學10歲兒童平均身高的實際問題（如圖4所示）。

圖4 某校2014年10歲男童身高情況

這樣的設計實際上是把平均數(shù)放到一個更為廣闊的視野里讓學生來應用和理解其實質(zhì)。圍繞這個情境，筆者設計了如下問題：（1）請你估計學校10歲兒童的平均身高；（2）小明2014年正好10歲，他的身高是134厘米，請你分析小明的身高情況，你有什么建議？（3）你身邊還有哪些平均數(shù)可以像平均身高一樣用來比較？

關于第一個問題，學生都能夠比較準確地估計出平均身高，散點圖也能夠直觀地表達平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的意義。第二個問題實際是培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、判斷和決策的能力。第三個問題是讓學生意識到生活中平均數(shù)應用的廣泛性，生活中離不開數(shù)據(jù)的分析和比較。這三個問題旨在讓學生經(jīng)歷一次完整的數(shù)據(jù)整理、描述并做出判斷分析的過程，而這正是統(tǒng)計學的基本思想。

（四）在質(zhì)疑中進一步拓展平均數(shù)的內(nèi)涵

學貴有疑，平均數(shù)概念的“疑”在何處？平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的重要統(tǒng)計量，但數(shù)據(jù)的分布對其影響比較大，當數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時，人們一般用中位數(shù)替代平均數(shù)。有時個別數(shù)據(jù)也會對平均數(shù)產(chǎn)生影響，當極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)時，平均數(shù)代表的往往就不是一般水平了。認識平均數(shù)必須知道它的另一面，而這些也是平均數(shù)意義的一部分。

這一層次的教學，筆者設計了公司員工工資的問題，首先出現(xiàn)員工工資的數(shù)據(jù)，讓學生估計他們的平均工資。其次讓他們說說總經(jīng)理的工資，并根據(jù)學生說的數(shù)據(jù)讓他們畫畫平均數(shù)的位置，當總經(jīng)理工資很高時，學生發(fā)現(xiàn)表示平均工資的那根線已經(jīng)遠遠偏離了一般員工的工資。這時教師提問，如果以這樣的平均工資數(shù)去招聘員工合適嗎？學生馬上就產(chǎn)生了激烈的爭論，一部分認為這是公司的平均工資，沒有欺騙，一部分學生認為這樣應聘會上當受騙。再次，在學生的爭論中，教師適時指出平均數(shù)有時也有缺陷，像這樣的情況用平均數(shù)來表示公司員工工資的一般水平顯然不合適。“疑”有何用？當一組數(shù)據(jù)用平均數(shù)表示不合適時，就需要用新的表示方法來表示了，這也是數(shù)學概念發(fā)展的一般規(guī)律。

如何才能讓學生真正觸及概念的本質(zhì)，通過以上教學實踐，筆者以為至少要具備兩點，一是對于概念本身而言，它必須能夠揭示概念最本質(zhì)最原始的內(nèi)涵。數(shù)學概念往往在經(jīng)過動態(tài)演化的過程之后，凝聚成一個靜態(tài)的結構，在某種程度上掩蓋了深層次的同時又是作為數(shù)學核心的思想方法。比如在平均數(shù)的教學中，以前有的教師就簡化為求平均數(shù)，忽略了平均數(shù)形成過程中豐富而又深刻的統(tǒng)計思想。二是對學生而言，要讓學生自我建構，獲得自我的意義。用弗賴登塔爾的話就是要把“冰冷的美麗化為火熱的思考”。[6]倘若如此，教學中就要設計能夠讓學生觸及概念本質(zhì)的問題，用問題驅(qū)動學生進行自我建構，在問題解決的過程中讓學生獲得本質(zhì)的、樸素的數(shù)學思想和方法。