基于數(shù)學(xué)史的探究式教學(xué)研究*

□文 萍 岳增成

一、引言

探究式教學(xué)是一種研究與教學(xué)相融合的師生互動型教學(xué)，它自古有之，古希臘先賢蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”就具有探究思想。著名的教育家杜威提出了較為系統(tǒng)的探究式教學(xué)理論，他認為探究是兒童的本能，教學(xué)應(yīng)該以兒童的經(jīng)驗為核心，強調(diào)“做中學(xué)”，通過“在做中思維”培養(yǎng)學(xué)生的主動探索、勇于創(chuàng)新的精神。[1]美國教育學(xué)家施瓦布認為探究式教學(xué)過程應(yīng)該是一種在教師指導(dǎo)下展開的具有嚴密的學(xué)術(shù)性和創(chuàng)造性活動。[2]近年來，探究式學(xué)習(xí)成為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中的熱門話題之一，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）在《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標準與原則》中指出，探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和知識重要的途徑，包括探索、猜想、邏輯推理和評估等內(nèi)容。[3]我國頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中同樣強調(diào)了數(shù)學(xué)探究活動，倡導(dǎo)教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探索、合作交流，通過觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。[4]數(shù)學(xué)探究已成為課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，然而在探究教學(xué)的實施過程中卻存在探究問題的提出不夠自然、探究活動不夠深入等現(xiàn)象，因此，如何有效地進行數(shù)學(xué)探究式教學(xué)是需要思考的問題。

早在20世紀初，美國數(shù)學(xué)史家卡約黎（Cajori）就曾指出，“數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具”，[5]英國學(xué)者福韋爾(Fauvel)認為數(shù)學(xué)史為學(xué)生提供了探究機會。[6]近年來，將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)日益受到數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注和認可，在教學(xué)實踐中產(chǎn)生了很多HPM課例，那么在這些課例中，探究活動是如何開展的？數(shù)學(xué)史在探究活動中有何作用？本文試圖通過對不同類型小學(xué)HPM課例的分析來回答上述問題。

二、分析框架

美國哥倫比亞大學(xué)的西格爾(Siegel)教授提出了數(shù)學(xué)探究式教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)探究教學(xué)分為準備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評估與延伸四個階段，[7]每個階段具體活動內(nèi)容如下。

階段1：準備與聚焦

教師對數(shù)學(xué)活動進行介紹，引發(fā)學(xué)生的初步思考，通過建立要探究的內(nèi)容和學(xué)生已有知識之間的聯(lián)系，產(chǎn)生認知上的沖突，從而聚焦探究問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，明確探究的主題和目標。

階段2：探索與發(fā)現(xiàn)

學(xué)生根據(jù)教師提出的探究問題，通過猜想、分析、推理和驗證等獲得探究問題的初步答案。

階段3：綜合與交流

教師指導(dǎo)學(xué)生進行討論，經(jīng)過辨析、論證、研討等過程，得到最終結(jié)果，在討論過程中學(xué)生可通過表格、圖形、證明等方法表達自己的想法，回應(yīng)他人的意見，教師適時加以引導(dǎo)或幫助，幫助學(xué)生得出結(jié)論。

階段4：評價與延伸

教師整理和歸納學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)，對探究過程中學(xué)生的參與態(tài)度和表現(xiàn)進行評價，并引導(dǎo)學(xué)生反思探究學(xué)習(xí)過程，學(xué)會通過類比將一般結(jié)論運用在其他數(shù)學(xué)情境中，從而掌握探究的方法。對新知識進行整理和拓展，以此激發(fā)更深層次的探究。

圍繞融入數(shù)學(xué)史開展的探究活動，本文選取了已開發(fā)的HPM課例“三角形的面積”“角的初步認識”“兩位數(shù)被一位數(shù)除”作為分析對象。這三個課例分屬公式課、概念課和計算課，具有一定的代表性。

三、課例分析

【課例1】三角形的面積

“三角形的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，教學(xué)中如果不重視公式的推導(dǎo)，將會錯失培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理的機會。歷史上三角形面積公式的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，表1呈現(xiàn)的是不同時空中與小學(xué)三角形面積計算相關(guān)的內(nèi)容。

表1 歷史上三角形面積的計算方法

在“三角形的面積”課例中，教師將三角形面積計算方法產(chǎn)生和發(fā)展的歷史整合到了教學(xué)中，突出了知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的必要性，具體探究環(huán)節(jié)如下。

階段1：承接“平行四邊形面積”的教學(xué)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的面積推導(dǎo)，為后續(xù)學(xué)生用割補法探究三角形的面積做好鋪墊。其次，沿用幾何學(xué)起源于古埃及尼羅河泛濫后的土地測量、計算的歷史背景，讓學(xué)生幫助埃及法老解決三角形面積計算的問題，從而引出三角形面積推導(dǎo)的探究任務(wù)。

階段2：教師準備三角形紙片、透明格子紙等學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形面積公式。根據(jù)推導(dǎo)方法的不同分為兩個層次的探究。第一層次：學(xué)生用倍拼法（將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形）推導(dǎo)三角形面積公式。第二層次：在透明格子紙的輔助下，學(xué)生利用割補法推導(dǎo)三角形面積公式。

階段3：根據(jù)課堂生成，學(xué)生只探索出了倍拼的推導(dǎo)方法，學(xué)生匯報、教師總結(jié)這種方法后，教師讓學(xué)生只借助一個三角形紙片推導(dǎo)面積，部分小組通過合作探索出了割補的方法。教師邀請部分小組進行匯報，與學(xué)生一起分析圖形轉(zhuǎn)化前后的變化，得到了三角形面積公式。

階段4：教師總結(jié)學(xué)生探究的結(jié)果，根據(jù)學(xué)生得出的不同類型的公式推導(dǎo)方法，因勢利導(dǎo)，通過微視頻介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“出入相補”原理推導(dǎo)三角形面積公式的方法，將學(xué)生的方法與古人的方法進行對照，對他們的探究過程和結(jié)果進行了表揚，并補充介紹其他推導(dǎo)三角形面積公式的方法。課堂練習(xí)部分，結(jié)合《幾何原本》中三角形與平行四邊形面積關(guān)系的命題設(shè)置習(xí)題，強化學(xué)生對三角形的底、高和面積關(guān)系的理解。

【課例2】角的概念

“角”是一個很難刻畫的幾何概念，在歷史上數(shù)學(xué)家們對“角”有不同的看法，[8]具體見表2，先后給出了“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”三種模式的定義。

表2 歷史上角的不同定義

在“角的概念”課例中，[9]以歷史為主線設(shè)計了探究活動，循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生從“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”三個方面對角的概念進行探究，具體探究環(huán)節(jié)設(shè)計如下。

階段1：教師先讓學(xué)生回顧角的定義“由一個頂點和兩條直邊組成的圖形是角”，要求學(xué)生列舉生活中的角，動手畫一個角，并用自己的話來描述所畫的角，通過活動讓學(xué)生對角的概念有初步的感知，聚焦本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，繼續(xù)研究“角”的概念。

階段2：以歷史為線索，設(shè)置四次活動，對角的概念進行“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”方面的探究?；顒右唬簞?chuàng)設(shè)鳥媽媽喂食的問題情境“哪只鳥寶寶嘴巴張開得大，先喂那一只”，探究銳角、直角、鈍角三種類型的角大小比較的方法?；顒佣好枋霾煌愋徒堑奶卣鳎Ⅲw會三類角命名的由來?；顒尤豪^續(xù)探究兩個銳角大小比較的方法，讓學(xué)生感受角的大小比較的本質(zhì)，即角的大小與畫出的兩邊的長度無關(guān)，與兩邊張開的程度有關(guān)?；顒铀模赫故窘怯尚∽兇蟮膭討B(tài)過程，讓學(xué)生分析其中的角。探究活動中學(xué)生通過觀察和猜測得出結(jié)論，利用學(xué)具操作驗證結(jié)論。

階段3：活動一和活動三均是以小組合作開展的探究活動，學(xué)生展示比較角大小的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生對這些方法進行辨析，借助活動一引出角的分類，借助活動三引出角大小比較的本質(zhì)。

階段4：學(xué)生對角的概念的理解過程與角的概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，學(xué)生對角的認識與古人有很多相似之處。教師總結(jié)學(xué)生的方法，并結(jié)合歷史進行古今對照，讓學(xué)生經(jīng)歷“角”概念的產(chǎn)生過程，深化對概念本質(zhì)的理解。通過展示角由小變大的動態(tài)過程，拓展了學(xué)生對于角的概念的理解。

【課例3】兩位數(shù)被一位數(shù)除

除法在四則運算中難度最大，歷史上出現(xiàn)過多種計算方法，比如古埃及“加倍與減半”的方法，圖1呈現(xiàn)的是運用這種方法計算19÷8的過程，圖2呈現(xiàn)的是熱貝爾（Gerbert）計算900÷8的方法及其改進的方法，[10]圖3呈現(xiàn)的是中國古代計算9225÷45的方法，其中有一些方法的思路和形式與現(xiàn)代除法豎式接近。

圖1

圖2

圖3

學(xué)生在解決除法問題時與古代數(shù)學(xué)家的方法類似，在課例“兩位數(shù)被一位數(shù)除”中，[11]教師鼓勵學(xué)生采用多種方法解決除法問題，巧妙地將歷史上出現(xiàn)過的算法穿插在教學(xué)中，啟迪學(xué)生的發(fā)散思維，真正體現(xiàn)了算法的多樣性和本質(zhì)，其探究環(huán)節(jié)如下。

階段1：教師首先用意大利數(shù)學(xué)家帕喬利的話“如果一個人能把除法做好，那么其他的運算對他來說輕而易舉，因為加減乘都包含在除法運算當(dāng)中”設(shè)置懸念，而后用動畫片《瘋狂動物城》創(chuàng)設(shè)問題情境：珠寶城被搶走67顆鉆石，強盜們每人平均分得5顆鉆石，求一共有幾個強盜。通過問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為除法的學(xué)習(xí)做好準備。

階段2：教師組織學(xué)生以小組為單位進行合作探究，鼓勵他們采用多種方法解決67÷5=?的問題。學(xué)生探索出了用被除數(shù)逐次減去除數(shù)、將被除數(shù)拆分相除、試商、豎式計算等多種方法。

階段3：學(xué)生匯報小組合作探究得出的不同方法，教師引導(dǎo)他們建立各種算法之間的聯(lián)系。

階段4：教師給予學(xué)生的合作探究以積極評價，幫助他們理解除法計算的算理，并巧妙融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生了解歷史上出現(xiàn)的多種除法計算方法，引導(dǎo)他們進行算法的對照，加深他們對算理的理解。

四、結(jié)語

通過對上述小學(xué)HPM課例的分析發(fā)現(xiàn)，三個課例的探究環(huán)節(jié)都符合西格爾的探究教學(xué)四階段框架。在準備與聚焦階段，教師結(jié)合數(shù)學(xué)歷史創(chuàng)設(shè)問題情境，將探究問題進行聚焦，凸顯數(shù)學(xué)知識的必要性，明確目標、激發(fā)興趣，為后續(xù)開展探究活動做好準備。在探索與發(fā)現(xiàn)階段，教師以歷史為線索，重構(gòu)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、歸納、推理等方法得到數(shù)學(xué)問題的初步結(jié)論。在綜合與交流階段，針對探究結(jié)論進行師生、生生之間深入的交流和互動，以此深化對于數(shù)學(xué)問題的理解，實現(xiàn)對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”。在評估與延伸階段，教師對學(xué)生的探究結(jié)論進行總結(jié)，通過多媒體課件、微視頻等多種形式巧妙地將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的歷史過程，在數(shù)學(xué)思想方法的古今對照中，獲得思想的啟迪和成功的喜悅。

正如著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因（M.Kline）所說：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。”數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)計提供了參照，教師選取具有教育價值的數(shù)學(xué)史材料融入課堂教學(xué)，在課堂中再現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程。基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)探究活動，是實施數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”的有效途徑，凸顯了探究之樂的教育價值，實現(xiàn)了歷史與現(xiàn)實的交會，數(shù)學(xué)與人文的融合。