基于時間序列分析的電容器退化模型

張 田， 潘爾順

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院， 上海 200240)

隨著電子工業(yè)和航空航天事業(yè)的發(fā)展，以及《中國制造2025》行動綱領(lǐng)的提出，制造業(yè)對于電子產(chǎn)品的需求越來越大，而對于產(chǎn)品性能可靠性的研究在產(chǎn)品的研發(fā)過程中占據(jù)著越來越重要的地位.作為一種能夠儲存電荷和電勢能的元件，電容器的應(yīng)用十分廣泛，常用于消除噪聲、穩(wěn)定電壓.在各類電容器中，鋁電解電容器的產(chǎn)量約占電容器總產(chǎn)量的40%.由于鋁電解電容器具有性價比高、電性能好、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，對其產(chǎn)品性能的深入研究具有重要意義.

自回歸移動平均(ARMA)模型是一種研究時間序列的重要方法，常用于經(jīng)濟(jì)和工程預(yù)測等領(lǐng)域，如電力系統(tǒng)及航天設(shè)備的可靠性分析.Box等[1]詳細(xì)介紹了如何建立平穩(wěn)時間序列的ARMA模型.黃運(yùn)來等[2]利用時間序列來描述產(chǎn)品的加速退化過程，通過ARMA模型對退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，同時開展電源電路板的加速退化實(shí)驗(yàn)并且預(yù)測其失效壽命.Polito等[3]將ARMA模型和Weibull分布模型應(yīng)用于金屬切割的聲發(fā)射數(shù)據(jù)，證實(shí)了兩個模型在聲發(fā)射數(shù)據(jù)擬合方面均有較好的效果.差分自回歸移動平均(ARIMA)模型是在 ARMA 模型的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)預(yù)先進(jìn)行差分處理的改進(jìn)型模型，當(dāng) ARIMA 模型的差分階數(shù)為零時，即為 ARMA 模型. ARIMA 模型常用于分析工程數(shù)據(jù)，如衛(wèi)星中太陽能電池的電流數(shù)據(jù)及各類加工車床數(shù)據(jù)的可靠度分析.高慧等[4]建立了一種ARIMA時間序列分析模型，用于預(yù)測衛(wèi)星太陽能電池的退化量，并建立了電池的可靠度方程.Wu等[5]提出了一種基于 ARIMA 的設(shè)備性能退化模型，證實(shí)了ARIMA模型在銑床性能退化分析中的有效性.Kosasih等[6]通過 ARIMA 模型分析軸承退化數(shù)據(jù)中的非平穩(wěn)趨勢，并預(yù)測軸承的剩余壽命.

分?jǐn)?shù)階自回歸移動平均(ARFIMA)模型是基于分?jǐn)?shù)階差分的ARMA模型，常用于金融、股市、天氣等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)預(yù)測[7-8].林雨等[9]將ARFIMA模型用于預(yù)測黃金價格，結(jié)果表明相對于ARMA模型而言，ARFIMA模型提高了黃金回報系列長期預(yù)測的可靠性.Bhardwaj等[10]對比了自回歸(AR)、移動平均(MA)、ARMA、 ARFIMA 等模型在宏觀經(jīng)濟(jì)和金融時間序列中的應(yīng)用效果，基于點(diǎn)方均預(yù)測誤差(MSFE)的計(jì)算結(jié)果，得出ARFIMA模型的應(yīng)用效果最優(yōu)的結(jié)論.馮春山等[11]則將ARFIMA模型用于預(yù)測石油價格，得出了ARFIMA模型的預(yù)測效果優(yōu)于 ARMA 模型的結(jié)論.

本文以鋁電解電容器為研究對象，建立了兩個基于時間序列分析的退化預(yù)測模型，并且對這兩個模型的預(yù)測效果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.對于服從Wiener過程的電容器退化數(shù)據(jù)，提出了一種過差分預(yù)判方法(OPM)，預(yù)判其在原序列進(jìn)行差分處理時是否出現(xiàn)過差分.研究結(jié)果表明：OPM-ARIMA模型在退化數(shù)據(jù)的預(yù)測精度方面略高于ARFIMA模型，且預(yù)測所需時間更短，提高了分析效率.總體而言，兩種模型的預(yù)測誤差均在可接受范圍內(nèi)，且均能有效地提取預(yù)測數(shù)據(jù)中的時間序列信息.

1 基于ARIMA的退化預(yù)測模型

時間序列是指在一定時間段內(nèi)按時間順序排列的一組能夠被系統(tǒng)觀測到的數(shù)據(jù)，而時間序列分析是指研究該組數(shù)據(jù)的發(fā)展變化規(guī)律并將其用于預(yù)測的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法.該方法既考慮了數(shù)據(jù)與時間的關(guān)系，也考慮了隨機(jī)波動的干擾.根據(jù)時間序列要求，輸入數(shù)據(jù)必須為平穩(wěn)隨機(jī)序列，其中包括嚴(yán)平穩(wěn)時間序列及弱平穩(wěn)時間序列.隨機(jī)變量的分布結(jié)構(gòu)不隨時間推移而變化的時間序列即為嚴(yán)平穩(wěn)時間序列，如期望值為零、方差為常數(shù)的純隨機(jī)過程(白噪聲)；隨機(jī)變量的期望值、方差及協(xié)方差不隨時間推移而變化的時間序列即為弱平穩(wěn)時間序列，實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)據(jù)大多為弱平穩(wěn)時間序列.

1.1 建模步驟與方法

建立基于ARIMA的電容退化預(yù)測模型主要包含以下5個步驟：

(1) 若已知電容器的退化軌跡為Wiener過程，則直接預(yù)判差分階數(shù)；

(2) 檢驗(yàn)原時間序列的平穩(wěn)性，對不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理；

(3) 基于自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)給出備選的ARIMA模型階數(shù)；

(4) 采用最小信息準(zhǔn)則選擇復(fù)雜度最低的模型，并確定最優(yōu)模型階數(shù)；

(5) 對選定模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并給出指定時間內(nèi)的預(yù)測電容值.

通過ACF和PACF分析時間序列的自相關(guān)性及平穩(wěn)性，可以得到自回歸部分和移動平均部分的階數(shù)(此處不考慮與當(dāng)前值明顯不相關(guān)的間隔外數(shù)據(jù)).ACF描述的是第b個樣本被前b-1個樣本影響的程度; PACF則描述了剔除第b個樣本與前b-1個樣本之間b-2個隨機(jī)變量的干擾后，第1個樣本與第b個樣本的相關(guān)程度[12].定義：m階自回歸模型AR(m)；q階移動平均模型MA(q)；d階差分自回歸移動平均模型ARIMA(m,d,q)；AR(m)與MA(q)兩個模型組合后得到ARMA(m,q).對于AR(m)，若從k階開始，ACF(k)趨于零且PACF(k)在該階之后截尾，則k為自回歸部分m的候選值；對于MA(q)，若從k階開始，PACF(k)趨于0且ACF(k)在該階之后截尾，則k為移動平均部分q的候選值.

最小信息準(zhǔn)則，包含赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)，是衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn).AIC同時采用似然函數(shù)估計(jì)值最大原則以及模型復(fù)雜度最小原則進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)[13].選定一組模型階數(shù)(m,q)后，使用自回歸逼近法求得白噪聲的估計(jì)方差；通過計(jì)算AIC函數(shù)值選擇參數(shù)；以參數(shù)個數(shù)作為懲罰，尋找可以最好地解釋數(shù)據(jù)但包含最少自由參數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型.BIC則將樣本數(shù)量也加入目標(biāo)函數(shù).在不完全情報下，對部分未知狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，再通過計(jì)算公式修正其發(fā)生概率，最后利用期望值和修正后的概率做出最優(yōu)決策.因此，在判定參數(shù)選擇的優(yōu)劣時，AIC和BIC的函數(shù)值越小代表模型越好，且通過計(jì)算函數(shù)值可進(jìn)一步判定在候選值排列組合下的最優(yōu)階數(shù).

實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)序列大多為非平穩(wěn)序列.從理論上來說，可以通過序列差分的方式分離出非平穩(wěn)性特征，而后采用時間序列方法將差分后的序列作為新的序列.若序列中依然存在非平穩(wěn)信息特征，可多次差分直到序列平穩(wěn).但由于每一次差分都是對信息的加工過程，可能帶來信息的缺失，所以在實(shí)際應(yīng)用中要盡量避免過差分.

1.2 基于Wiener過程的OPM

基于電容器的失效機(jī)理進(jìn)行退化建模，并使用Wiener過程描述電容器退化軌跡.以一個Wiener過程退化模型為例，當(dāng)基于時間序列對電容器的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理時，需要對該時間序列達(dá)到平穩(wěn)所需的差分階數(shù)進(jìn)行預(yù)判并判斷是否出現(xiàn)過差分. 定義一個一元Wiener過程{W(t)}，該過程具有如下3個特性：

(1)W(0)=0；

(2) {W(t)}具有平穩(wěn)獨(dú)立的增量性質(zhì)；

(3) 增量的分布僅與時間差有關(guān)，且服從正態(tài)分布，其表達(dá)式為

W(t+Δt)-W(t)～N(0,Δtλ2)

(1)

式中：λ2為方差.

當(dāng)λ2=1時，得到一個標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程.此時W(t)為一個帶有線性漂移的布朗運(yùn)動過程，

W(t)=κ+μt+σB(t)

(2)

式中：B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；κ為初始值；μ為漂移參數(shù)；σ為擴(kuò)散參數(shù).基于以上參數(shù)設(shè)置，定義一個服從一元Wiener過程的時間序列{w(t)}，對{w(t)}作一階差分可得

Δw(t)=w(t)-w(t-1)

(3)

將式(2)代入式(3)可得

Δw(t)=μ+σ[B(t)-B(t-1)]

(4)

由式(4)可知，經(jīng)過一階差分后的時間序列{w1(t)}在理論上已經(jīng)是平穩(wěn)時間序列，可以有效地提取{w(t)}中的非平穩(wěn)信息特征.對時間序列{w1(t)}再進(jìn)行一次一階差分，得到時間序列{w2(t)}如下：

Δ2w(t)=Δw(t)-Δw(t-1)

(5)

將式(4)代入式(5)可得

Δ2w(t)=

σ[B(t)-2B(t-1)-B(t-2)]

(6)

計(jì)算兩個時間序列的方差分別為

比較{w1(t)}和{w2(t)}的方差可知，對于服從式(2)的電容器退化過程，二次差分會導(dǎo)致該時間序列丟失有效信息，在已知電容器退化方程的情況下，OPM提供了一種分析時間序列的理論思路.

2 基于ARFIMA的退化預(yù)測模型

當(dāng)時間序列具有長期記憶性時，數(shù)據(jù)包含的信息會變得更為復(fù)雜.傳統(tǒng)的時間序列建模工具已不能滿足研究需求，此時需要通過能體現(xiàn)“長期記憶性”的ARFIMA模型研究該種序列.

對于數(shù)據(jù)的長期記憶性檢驗(yàn)一般使用重標(biāo)極差(R/S)分析法.當(dāng)需要區(qū)分時間序列中的長期記憶和短期記憶時，可使用修正重標(biāo)極差(MRS)分析法.

2.1 ARFIMA模型

定義df為分?jǐn)?shù)階差分階數(shù)，系統(tǒng)內(nèi)觀測得到的原時間序列{yt}經(jīng)過df階差分后得到{zt}，兩個時間序列之間的關(guān)系為

zt=(1-l)dfyt

(9)

式中：l為滯后算子；(1-l)df為分?jǐn)?shù)階差分算子.

基于ARFIMA模型預(yù)測退化數(shù)據(jù)的步驟如下：

(1) 基于R/S分析法分析時間序列中的長期記憶性數(shù)據(jù)，計(jì)算得到Hurst指數(shù)(H)；

(2) 通過H值計(jì)算得到df；

(3) 對{yt}進(jìn)行分?jǐn)?shù)階差分處理得到{zt}；

(4) 用最小信息準(zhǔn)則決定m和q的取值；

(5) 基于極大似然法估計(jì)ARFIMA模型參數(shù)，最后預(yù)測電容值退化數(shù)據(jù).

2.2 分?jǐn)?shù)階差分時間序列的推導(dǎo)

為了計(jì)算{zt}，首先將分?jǐn)?shù)階差分算子進(jìn)行二項(xiàng)展開可得

(10)

用矩陣表示以上計(jì)算步驟，有

Z=YG

(11)

式中：

3 鋁電解電容器的加速退化實(shí)驗(yàn)

3.1 鋁電解電容器的退化機(jī)理分析

鋁電解電容器包含電容器芯子、保護(hù)構(gòu)造、引出端等結(jié)構(gòu).其中，電容器芯子為功能部件，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 鋁電解電容器芯子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of aluminum electrolytic capacitor core

鋁電解電容器的主要性能取決于其結(jié)構(gòu)中的電介質(zhì)，即陽極介質(zhì)氧化膜部分.在工作過程中，鋁電解電容器具有“自愈”特性.由于原材料或制造工藝方面的原因，陽極氧化膜的表面不可避免地會殘留著雜質(zhì)或微小缺陷，這些瑕疵點(diǎn)可稱為“電弱點(diǎn)”.對鋁電解電容器施加工作電壓后，這些“電弱點(diǎn)”會被立刻擊穿并形成放電通道，在電荷通過的同時產(chǎn)生大電流，而隨之產(chǎn)生的高溫則會使氧化膜向四周流動，達(dá)到修補(bǔ)氧化膜及恢復(fù)其絕緣性能的效果[14].然而正是這種“自愈”特性，使得鋁電解電容器的氧化膜被擊穿后出現(xiàn)電容量下降的退化過程.

3.2 鋁電解電容器的退化實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

選取10個10 V/1 mF的固定鋁電解電容器(CAi，i=1, 2,…,10)，體積為96 mm3；使用勤卓溫濕度實(shí)驗(yàn)箱，可以同時施加溫度和濕度雙應(yīng)力，本實(shí)驗(yàn)為僅施加溫度應(yīng)力的單應(yīng)力實(shí)驗(yàn)；施加溫度應(yīng)力的電熱循環(huán)系統(tǒng)包含循環(huán)風(fēng)扇、導(dǎo)風(fēng)板和溫度電熱器，其溫度最高可達(dá) 150 ℃.

在實(shí)驗(yàn)環(huán)境下布置好溫濕度實(shí)驗(yàn)箱，將選定的鋁電解電容器置于高溫應(yīng)力下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每隔24 h使用萬用表記錄其電容值.實(shí)驗(yàn)采樣52 d，去除第1個采樣值，全部實(shí)驗(yàn)時間為 1 224 h.

3.3 退化數(shù)據(jù)的預(yù)處理及其分析

上述某個電容器的退化電容值(C)在不同時刻(T)的實(shí)測結(jié)果如圖2所示.

圖2 某個鋁電解電容器的電容值隨時間變化的曲線Fig.2 Variation of the capacity with time for an aluminum electrolytic capacitor

由圖2可知，鋁電解電容器的電容值隨實(shí)驗(yàn)天數(shù)的增加而不斷減小，呈現(xiàn)出明顯的退化特征.同時，電容值在下降過程中還伴隨著小幅波動，若排除環(huán)境和測量因素導(dǎo)致的誤差，可以認(rèn)為測試對象的退化是帶有隨機(jī)過程的，且該隨機(jī)過程可由維納過程描述.另外，當(dāng)T=1～5 d時，電容值的退化幅度較大；當(dāng)T>5 d時，電容值的退化幅度逐漸減小，這可能是由于電容器內(nèi)氧化膜的“自愈”性能進(jìn)入了平穩(wěn)狀態(tài).使用二次模型分析其電容值的退化趨勢，分析結(jié)果如圖3所示.由圖3可知，電容值的退化軌跡具有平穩(wěn)下降的趨勢，趨勢分析的實(shí)測數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的平均絕對誤差為 7.4 mF.

選取總天數(shù)中前88%的樣本作為訓(xùn)練集，剩下12%的樣本作為測試集.由數(shù)據(jù)預(yù)篩選得到的10組退化軌跡數(shù)據(jù)如圖4所示，圖中顯示的是訓(xùn)練集樣本的數(shù)據(jù).

圖3 單個鋁電解電容器的電容值退化趨勢分析Fig.3 Trend analysis diagram of the capacity for an aluminum electrolytic capacitor

圖4 10個鋁電解電容器的電容值隨時間變化的曲線Fig.4 Variation of the capacity with time for 10 aluminum electrolytic capacitors

由圖4可知，這10個電容器的退化軌跡具有相同的趨勢，但其電容量存在差異.這是由于在生產(chǎn)過程中，原材料的材質(zhì)以及制造工藝會對鋁電解電容器的電容值產(chǎn)生一些微小的影響.電容值的出廠檢測容許誤差范圍在±20%之內(nèi).本研究選取的10個電容器電容值與該型號鋁電解電容器的額定電容值的最大誤差為17.8%，在可以接受的范圍之內(nèi).此外，當(dāng)T=17～24 d時，退化軌跡出現(xiàn)一個小型的凸起部分，呈現(xiàn)出先升后降的變化趨勢.這可能是由環(huán)境和測量因素導(dǎo)致的.實(shí)驗(yàn)共持續(xù)了52 d，室內(nèi)環(huán)境的溫度和濕度變化會不可避免地影響電容值的測量結(jié)果.

3.4 基于OPM-ARIMA模型的預(yù)測分析

采用經(jīng)過預(yù)處理的退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證OPM-ARIMA模型的可行性.首先，基于OPM方法，預(yù)判電容退化數(shù)據(jù)在一階差分之后是否成為平穩(wěn)時間序列.基于該預(yù)判直接對{yt}及一階差分后的時間序列{xt}進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，若{xt}已經(jīng)成為平穩(wěn)時間序列，則無需再進(jìn)行差分處理，以免出現(xiàn)過差分；否則，繼續(xù)對{xt}進(jìn)行差分處理.然后，基于ACF及PACF給出備選的ARIMA模型階數(shù).最后，使用最小信息準(zhǔn)則確定模型階數(shù).

ADF(AD-Fuller)檢驗(yàn)是一種常用的單位根檢驗(yàn)方法，該方法對50個左右的小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)具有良好的檢驗(yàn)精確度[15].對{yt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，得到顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及在3個顯著水平(P=1%，5%，10%)下的接受值，如表1所示；對{yt}進(jìn)行一階差分后得到{xt}，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表1 {yt}的ADF值及3個顯著水平下的接受值

Tab.1 The ADF values of {yt} and their acceptance values under three significant levels

CAiADF值接受值P=1%P=5%P=10%CA1-1.427-3.593-2.932-2.604CA2-1.430-3.593-2.932-2.604CA3-1.200-3.593-2.932-2.604CA4-1.333-3.593-2.932-2.604CA5-1.931-3.589-2.930-2.603CA6-1.980-3.589-2.930-2.603CA7-1.188-3.589-2.930-2.603CA8-1.967-3.597-2.933-2.605CA9-1.031-3.593-2.932-2.604CA10-0.380-3.606-2.937-2.607

表2 {xt}的ADF值及3個顯著水平下的接受值

Tab.2 The ADF values of {xt} and their acceptance values under three significant levels

CAiADF值接受值P=1%P=5%P=10%CA1-7.290-3.593-2.932-2.604CA2-7.250-3.593-2.932-2.604CA3-6.936-3.593-2.932-2.604CA4-6.672-3.593-2.932-2.604CA5-8.794-3.589-2.930-2.603CA6-9.073-3.589-2.930-2.603CA7-6.943-3.593-2.932-2.604CA8-5.374-3.597-2.933-2.605CA9-6.444-3.593-2.932-2.604CA10-3.624-3.606-2.937-2.607

由表1以及表2可以看出：{yt}的ADF值均大于3個顯著水平下的接受值，說明該序列為顯著非平穩(wěn)時間序列；{xt}的ADF值均小于3個不同顯著水平下的接受值，說明此時該序列為平穩(wěn)時間序列.

以某個鋁電解電容器的退化數(shù)據(jù)為例，{yt}的ACF與PACF如圖5所示，{xt}的ACF與PACF如圖6所示.

由圖5可知，{yt}的ACF隨著階數(shù)的增大并不收斂，則該序列為非平穩(wěn)時間序列，該結(jié)論與ADF檢驗(yàn)的結(jié)論一致.由圖6可知，{xt}的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)大部分位于±0.2區(qū)間內(nèi).此時，需要檢驗(yàn)該時間序列的純隨機(jī)性.通過Box-Pierce檢驗(yàn)方法可以確認(rèn)該時間序列不是白噪聲時間序列.另外，在95%置信區(qū)間內(nèi)，ACF從1階開始趨于零，而PACF從1階之后出現(xiàn)截尾.基于4組可能的參數(shù)組合進(jìn)行AIC與BIC評估，所得函數(shù)值如表3所示.

圖5 {yt}的ACF和PACFFig.5 ACF and PACF of {yt}

圖6 {xt}的ACF和PACFFig.6 ACF and PACF of {xt}

表3 AIC與BIC的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculated results of AIC and BIC

由于其他參數(shù)組合的極大似然估計(jì)迭代結(jié)果不收斂或參數(shù)檢驗(yàn)值不在可接受的置信區(qū)間內(nèi)，所以剔除不計(jì).

由表3可知，當(dāng)(m,q)=(0,1)時，計(jì)算得出的AIC和BIC數(shù)值均最小.因此，將該組合作為最優(yōu)參數(shù)組合，其對應(yīng)的時間序列模型為MA(1)模型.基于MA(1)模型預(yù)測T=47～52 d的退化數(shù)據(jù)，預(yù)測結(jié)果如圖7所示.

圖7 帶有置信區(qū)間的預(yù)測及實(shí)際電容退化軌跡Fig.7 Predicted and measured degradation path of capacity with confidence interval

圖8 {zt}的ACF與PACFFig.8 ACF and PACF of {zt}

置信區(qū)間作為總體均值的一個區(qū)間估計(jì)，可以提供真實(shí)值的取值范圍.由圖7可知，隨著預(yù)測時間的延長，預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間(陰影部分)變得越來越寬，這可能是由ARIMA模型的性質(zhì)所決定的.隨著預(yù)測時間的延長，模型中加入了更多非真實(shí)的樣本作為回歸參數(shù)，從而失去了預(yù)測精準(zhǔn)度.因此，使用ARIMA模型預(yù)測電容器的退化數(shù)據(jù)時，以預(yù)測短期數(shù)據(jù)為佳.

3.5 基于ARFIMA模型的預(yù)測分析

基于R/S分析法對經(jīng)過預(yù)處理的退化數(shù)據(jù)進(jìn)行長期記憶性分析，計(jì)算得到的H值如表4所示.當(dāng)一個時間序列符合0.5

以CA1為例，對其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階差分后的ACF與PACF如圖8所示.其ADF值為-9.270，在3個顯著水平(P=1%，5%，10%)下的接受值分別為-3.601，-2.935，-2.606.對{zt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時，P值的計(jì)算結(jié)果為1.329×10-15，該值低于對{xt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時的P值(P=1.429×10-10)及{yt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時的P值(P=0.569).由此可知，在ADF檢驗(yàn)中，{zt}已經(jīng)是平穩(wěn)時間序列的這個結(jié)論可信度最高.

表4 10個電容器的H值Tab.4 H values of ten aluminum electrolytic capacitors

由圖8可知，在95%置信區(qū)間內(nèi)，ACF在3階后開始趨于0，而PACF從2階開始截尾.根據(jù)AIC以及BIC信息準(zhǔn)則得出的最佳參數(shù)組合(m,q)=(1,0)，CA1的ARFIMA模型為

ARFIMA(m,d,q)=(1, 0.497, 0)

使用訓(xùn)練集訓(xùn)練上述ARFIMA模型，得到CA1的預(yù)測退化軌跡如圖9所示.

圖9 預(yù)測及實(shí)測電容值退化軌跡Fig.9 Predicted and measured degradation path of capacity

4 OPM-ARIMA模型與ARFIMA模型的有效性驗(yàn)證及其對比分析

4.1 預(yù)測結(jié)果分析

兩個模型基于CAi的退化預(yù)測模型參數(shù)如表5所示.由表5可知， OPM-ARIMA模型中的階數(shù)m多為0，因此可以認(rèn)為該模型以MA模型為主；ARFIMA模型中的階數(shù)q全部為0，因此可以認(rèn)為該模型為AR模型.

表5 基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化預(yù)測模型參數(shù)

Tab.5 Parameters of degradation forecast models based on OPM-ARIMA and ARFIMA

CAiARIMAmdqARFIMAmdqCA101110.497 0CA201420.500 0CA301130.500 0CA401420.493 0CA511020.500 0CA611020.500 0CA701120.500 0CA801110.478 0CA901110.478 0CA1001110.500 0

表6 基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化預(yù)測模型的RMSE

4.2 模型的有效性驗(yàn)證及其對比分析

由表6可知，基于OPM-ARIMA和ARFIMA的退化預(yù)測模型針對電容器退化特征值的預(yù)測誤差均較小.在全部樣本中，OPM-ARIMA模型和ARFIMA模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的最大誤差均小于2%，最小誤差分別為0.32%和0.40%.

殘差檢驗(yàn)通過對回歸模型的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)來判斷模型是否已經(jīng)提取了時間序列中的有用信息.對兩個退化預(yù)測模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，選取CA1的假設(shè)檢驗(yàn)P值，如表7所示.其中，tQ為殘差項(xiàng)之

表7 CA1在殘差檢驗(yàn)中的P值Tab.7 The P values of CA1 in residual test

間的時間間隔.在所有樣本中，P值均大于0.05，接受殘差時間序列為白噪聲的原假設(shè)，則兩個模型均已有效地提取了時間序列信息.

誤差結(jié)果及殘差分析表明了兩個模型在鋁電解電容器退化分析中的有效性，這個結(jié)果和文獻(xiàn)[4-5]的研究結(jié)論是相符的.

對比分析兩種模型的預(yù)測結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)有3個樣本(CA2，CA6，CA10)的ARFIMA模型預(yù)測結(jié)果優(yōu)于OPM-ARIMA模型預(yù)測結(jié)果；剩下的樣本中有4個樣本(CA3，CA7，CA8，CA9)基于兩個模型的預(yù)測精度非常接近，誤差僅在0.03% 以內(nèi)；剩下3個樣本，OPM-ARIMA模型的預(yù)測精度較優(yōu).從總體而言，OPM-ARIMA模型的平均預(yù)測精度略高于ARFIMA模型的平均預(yù)測精度.選取預(yù)測軌跡較明顯的CA3的退化軌跡圖進(jìn)行分析，基于兩個模型得出的預(yù)測值和實(shí)測值之間的對比分析如圖10所示.大部分樣本的退化軌跡圖與圖10中的兩條虛線走勢相似，且基于ARFIMA模型預(yù)測得到的數(shù)值相比于OPM-ARIMA模型的預(yù)測值均偏大一些.

圖10 CA3的預(yù)測和實(shí)際的退化軌跡Fig.10 Predicted and measured degradation path of CA3

基于上述分析，可以認(rèn)為針對本批實(shí)驗(yàn)樣本，基于OPM-ARIMA和ARFIMA的電容退化預(yù)測模型均呈現(xiàn)出了較好的預(yù)測效果.相比之下，OPM-ARIMA 模型在短期預(yù)測中有更好的表現(xiàn)，但隨著預(yù)測步數(shù)的增加，出現(xiàn)了越來越大的預(yù)測偏差；而 ARFIMA 模型則可以提取時間序列中的長期以及短期記憶性，因此它更適用于多步預(yù)測，分析具有更強(qiáng)的長期記憶性的時間序列.值得注意的是，OPM-ARIMA 模型作為一個預(yù)判方法，能夠有效地節(jié)省預(yù)測已知隨機(jī)過程分布的產(chǎn)品的分析操作時間，在節(jié)省試錯成本的同時提高模型預(yù)測效率.

5 結(jié)論

(1) 以鋁電解電容器作為研究對象，建立了基于時間序列分析的兩種退化預(yù)測模型——OPM-ARIMA 和ARFIMA模型.基于可靠性實(shí)驗(yàn)的要求，構(gòu)建鋁電解電容器加速退化實(shí)驗(yàn)，以溫度為應(yīng)力、電容值為退化特征值，驗(yàn)證OPM-ARIMA模型以及ARFIMA模型在鋁電解電容器退化研究中的可行性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：隨著時間的增長，電容值有平穩(wěn)下降的退化趨勢且伴隨著隨機(jī)波動，具有電容器退化過程的典型特征.

(2) 基于差分方程理論，當(dāng)電容器電容值服從包含Wiener過程的退化軌跡時，提供預(yù)判電容值時間序列平穩(wěn)性及是否過差分的方法，并給出預(yù)判電容值達(dá)到平穩(wěn)所需的差分次數(shù)，節(jié)省了試錯成本.

(3) 特征檢驗(yàn)表明10個電容器的退化數(shù)據(jù)均具有較強(qiáng)的長期記憶性，因此ARFIMA模型在電容器的退化分析中具有深入研究的意義.OPM-ARIMA預(yù)測模型在精度上略高于ARFIMA預(yù)測模型，但兩個模型預(yù)測結(jié)果的誤差均小于2%.通過殘差檢驗(yàn)證明了兩個模型均有效地提取了時間序列內(nèi)的有用信息.本文為基于時間序列分析研究電容器等電子產(chǎn)品的退化過程提供了一種新思路.