基于問題的探索型數(shù)學(xué)實驗教學(xué)

陸祥雪

初中數(shù)學(xué)實驗是通過動手、動腦學(xué)數(shù)學(xué)的一種學(xué)習(xí)活動，是學(xué)生運用有關(guān)工具，在數(shù)學(xué)思維參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究，是幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想和積累基本活動經(jīng)驗的輔助課程，是初中階段國家數(shù)學(xué)課程的一種補充。初中數(shù)學(xué)實驗的類型，概括起來有三種：驗證型、理解型、探索型。驗證型實驗，可以幫助學(xué)生通過實驗檢測、驗證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而更直觀地獲得對數(shù)學(xué)知識的理解;理解型實驗，是以學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)知識為目的的數(shù)學(xué)實驗;探索型實驗，是以探索未知結(jié)論為目的的數(shù)學(xué)實驗。探索型數(shù)學(xué)實驗更能培養(yǎng)學(xué)生的抽象、推理、模型等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，與物理、化學(xué)、生物等實驗獲取經(jīng)驗事實和檢驗科學(xué)假說、理論真理性的目的具有相似性，能夠與這些學(xué)科融通。下面以“螞蟻怎樣爬行，路線最短”為例，談?wù)劵趩栴}的探索型數(shù)學(xué)實驗教學(xué)。

一、教學(xué)過程設(shè)計

1. 問題呈現(xiàn)，解法質(zhì)疑。

問題1：如圖1，圓柱的底面直徑為6厘米，高為10厘米，螞蟻在圓柱表面爬行，從點A爬到點B的最短路程是多少厘米？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

學(xué)生可能出現(xiàn)的解答有：

解答1.圓柱的側(cè)面展開圖如圖2，螞蟻爬行的最短路線是線段AB（簡稱為路線1），由題意可得：AC=10（厘米），BC=3π（厘米）。由勾股定理，得： AB=[102+3π） 2][≈]13.74（厘米）。

解答2.螞蟻沿圖1中的折線A→C→B（簡稱為路線2）爬行，路線最短，最短路程為：10+6=16（厘米）。

綜合解答1和解答2，可知螞蟻爬行的最短路程是13.74厘米。

由學(xué)生的解答，教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題2：是否存在沿路線2爬行，路程最短的情況？怎樣來探究這個問題？

設(shè)計意圖：從教育的角度看，把數(shù)學(xué)實驗作為一種教學(xué)方法引入課堂，有獨特的教育功能和價值。眾所周知，科學(xué)研究從觀察、實驗開始，通過抽象思維、推理論證而獲得結(jié)論。這里“實驗”的目的在于觀察實際現(xiàn)象，得到具體數(shù)據(jù)，而抽象思維、推理論證則是為了分析不同現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系，認識數(shù)據(jù)中蘊含的規(guī)律性，從而獲得科學(xué)發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)發(fā)明創(chuàng)造。這個問題如果通過具體的實驗讓學(xué)生“做”，相當于讓學(xué)生經(jīng)歷一個“科學(xué)研究”的過程，對學(xué)生智力的發(fā)展、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)、科學(xué)方法的形成都有很大的幫助。

2. 操作實驗，繼續(xù)質(zhì)疑。

實驗器材：底面直徑為6厘米、高為10厘米的圓柱，橡皮筋，細線，直尺。將它們組合成如圖3所示的工具。

實驗步驟：通過改變橡皮筋的位置，改變圓柱的高度;利用細線測量在不同高度、相同底面半徑的圓柱上，兩種爬行路線的長度。

師生觀察實驗結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題3：螞蟻在圓柱表面爬行，怎樣爬行路程最短？若圓柱底面圓半徑不變，爬行路程與圓柱的高度有關(guān)嗎？如果有，它們之間的關(guān)系是什么？

設(shè)計意圖：圓柱的大小涉及兩個變量，即底面圓的直徑和圓柱的高。考慮到實驗的可操作性，決定改變圓柱的高度，這個可以通過橡皮筋位置的改變來達到。學(xué)生通過實際操作、測量，動手能力得到鍛煉，同時也學(xué)會了利用表格整理實驗數(shù)據(jù)。師生通過對實驗結(jié)果進行觀察，提出問題，將實驗結(jié)果上升到理性層面，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

3. 探究解疑，形成結(jié)論。

設(shè)圓柱的半徑為r，圓柱的高為h，可得下列結(jié)論：

（1）當路程1比路程2短時，h+2r>[h2+πr2]可得： h>[π2-44r]。即當h>[π2-44r]時，螞蟻按圖2中A[→]B爬行，其爬行路程最短。

（2）當兩個路線路程一樣時，h+2r=[h2+πr2]，可得：h=[π2-44]r。即當h=[π2-44]r時，兩種爬行方式的路程相等。

（3）當路程2比路程1短時，h+2r<[h2+πr2]，可得：h<[π2-44]r。即當h<[π2-44]r時，按圖1中的折線A→C→B爬行路程最短。

設(shè)計意圖：通過數(shù)學(xué)推理，具體說明在圓柱底面圓半徑不變的情況下，圓柱的高的變化，影響螞蟻爬行的最短路線方式的選擇。實現(xiàn)由感性認識到理性認識的飛躍，使學(xué)生體會到對事物的認識不能停留在實驗結(jié)果的直觀感知上，要深究問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生對問題的探究意識，體會數(shù)學(xué)證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的態(tài)度。在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生用符號語言來表達推理過程的數(shù)學(xué)表達能力以及用模型思想來解決實際問題的能力。

4. 反思變式，拓展延伸。

問題2：如果圓柱的高不變，圓柱底面圓半徑改變，結(jié)論會怎樣呢？

設(shè)計意圖：把問題進行變式，改變變量，讓學(xué)生思考，將學(xué)生的學(xué)習(xí)由課堂延伸到課外，使問題的研究更加完整。

二、幾點思考

1. 數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的意義。

數(shù)學(xué)實驗給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的影響是全方位的。在認知方面，主要給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來實質(zhì)性變化。學(xué)生通過實物實驗，經(jīng)歷測量，記錄數(shù)據(jù)，整理、分析數(shù)據(jù)，提出問題，猜想結(jié)論，推理、驗證結(jié)論等一系列過程，而這一系列流程也是科學(xué)實驗的一般流程。很明顯，學(xué)生在實驗中要手腦并用，調(diào)動多種感覺器官參與數(shù)學(xué)認知活動，而非被動接受知識。在非認知方面，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軜O大激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的好奇心，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。積極的情感體驗是激發(fā)靈感的強大動力，可以促使創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生。

2. 探索型數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容。

實驗內(nèi)容可以來自教材，也可來自教材外的材料。取材小，目標指向明確，問題的結(jié)論清楚，這樣易于學(xué)生操作，耗時有限，實驗結(jié)果易得。上文中的材料來自學(xué)生的課外習(xí)題，實驗?zāi)康拿鞔_，最終借助學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題。數(shù)學(xué)實驗的內(nèi)容要利于促進學(xué)生思維發(fā)展，對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有利。在這個課例中，從具體的數(shù)據(jù)觀察到抽象出“在底面圓半徑不變的情況下，螞蟻爬行的最短路程與圓柱的高有關(guān)”的結(jié)論，然后通過數(shù)學(xué)符號來表達，建立方程、不等式模型，學(xué)生的分類思想、運算能力都得到了培養(yǎng)。

3. 探索型數(shù)學(xué)實驗的實施。

在進行初中數(shù)學(xué)實驗課程設(shè)計時，要明確實驗的目標，讓實驗設(shè)計合理，符合學(xué)生的認知規(guī)律和實驗潛質(zhì)。數(shù)學(xué)實驗實施時，遵循可行性、多樣性原則，如動手操作的方式、演繹推理的方式等，也可以借助計算機來進行實驗。本課例若選擇借助計算機來實驗，就難以實現(xiàn)實驗的目的。借助實物動手操作，學(xué)生易親力親為。因此，在實驗設(shè)計時，應(yīng)根據(jù)實驗內(nèi)容采用適當方法，在設(shè)計時需要從實驗?zāi)康?、實驗工具、實驗類型以及指向何種核心知識、能力等方面通盤考慮。下列的流程圖可作為參考：

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）