說說含參函數(shù)那些事

姜麗娟

[摘 ?要] 在含參函數(shù)問題的解決過程中，我們需要將建模思想提升至更高的層面，需要學生對比含參函數(shù)問題的特征與共性，注重歸納與總結(jié)、對比與分析，以此提升建模思想的領悟深度和寬度，促進學生數(shù)學思想的漸進提升.

[關鍵詞] 函數(shù);初中數(shù)學;思維;建模

初中數(shù)學的學習以探究規(guī)律和掌握方法為主要任務，善于總結(jié)、勤于反思是學習數(shù)學的重要方法. 教師的任務是引導學生分析題目的特征，看透問題的本質(zhì)，從而學會解決問題的方法. 函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，在中考中的比分較重，也是令很多學生“望而生畏”的難點. 函數(shù)問題因其多變、抽象而顯得深奧，如在教學實踐中，教師常常發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)中的含參函數(shù)正確率較低，多數(shù)學生找不到該類問題的思維方向. 其實，含參函數(shù)也有一定的常規(guī)思路，下面筆者就初中階段常見的含參函數(shù)類型及其基本思路談幾點不成熟的看法，權(quán)當拋磚引玉，給各位同仁作為參考.

化多為少，多參變一參

多參函數(shù)，就是函數(shù)解析式中包含多個參數(shù)，顯然參數(shù)的數(shù)量越多越不利于問題的解決，因此“消參”是解決多參函數(shù)的重要策略. 在實際問題中，通常可以根據(jù)所給條件找到兩個參數(shù)之間的關系，將其中一個參數(shù)用另一個參數(shù)來表示，從而化多為少，使多參變?yōu)橐粎?

例1 ?在平面直角坐標系xOy中，點A（1，-1）在拋物線y=x2+mx+n（m>0）上.

（1）若m-n=4，求m，n的值;

（2）若該拋物線與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點C，求tan∠OBC的取值范圍.

分析 ?（1）此問為基礎問題，將A（1，-1）代入解析式可得關于m，n的二元一次方程，再與m-n=4聯(lián)立，即可求出m，n的值.

（2）此問是函數(shù)與幾何問題相結(jié)合的問題，首先可以根據(jù)條件畫出草圖（如圖1），根據(jù)草圖可以將tan∠OBC表示出來，即tan∠OBC= = = ，然后將A（1，-1）代入拋物線解析式可得1+m+n=-1，所以m=-2-n. 由此可以消去一個參數(shù)，即可以得到 = = + . 由m>0可知n<-2，所以- < <0. 所以0

變式 ?在平面直角坐標系xOy中，點A（1，-1）在拋物線y=x2+mx+n（m>0）上. 將拋物線平移，平移后的新拋物線仍經(jīng)過點A，且點A的對應點A1的坐標為（1-a，2m-1）. 當a≥- 時，求平移后拋物線的頂點所能達到的最高點的坐標.

分析 ?因為點A（1，-1）在拋物線上，所以可得n=-2-m，所以y=x2+mx+n=x2+mx-2-m=x+ 2- -2-m. 由A（1，-1）平移后的對應點為A1（1-a，2m-1）可知拋物線向左平移了a個單位長度，向上平移了2m個單位長度，因此平移后的拋物線的解析式為y=x+ +a2- -2-m+2m，整理后可得y=x+ +a2- -2+m. 因為平移后的拋物線也經(jīng)過點A（1，-1），所以1+ +a2- -2+m=-1，即1+ +a2= -12. 所以1+ +a= -1或1+ +a=- +1. 所以a=-2（舍去）或a=-m. 所以平移后的拋物線的解析式為y=x- 2- -2+m. 設p=- -2+m=- （m-2）2-1，因為a≥- ，又m>0，所以0

函數(shù)中含有多個參數(shù)是無法直接解決問題的，在初中階段，多參函數(shù)問題的難度通常不會太大，并且可以籠統(tǒng)地認為多參便是消參的提示，看到多個參數(shù)就可以利用題目中給出的有效信息進行轉(zhuǎn)化、消參，使得多個參數(shù)最后消成一個參數(shù)，讓問題變得清晰，降低問題難度，從而進一步解決問題.

化虛為實，抽象變直觀

抽象是函數(shù)的一大特征，也是很多學生感到函數(shù)問題難度較大的原因之一，對于初中生而言，函數(shù)的概念確實比較抽象，但圖像是函數(shù)的重要屬性，它可以讓抽象的函數(shù)變得直觀，讓條件與問題變得明顯，能化虛為實.

例2 ?在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a（a≠0）經(jīng)過A（-1，0）.

（1）求拋物線的對稱軸;

（2）已知B（0，4），C（5，4），且拋物線與線段BC恰有一個公共點，求a的取值范圍.

分析 ?（1）將點A（-1，0）代入解析式，可得a-b-3a=0，所以b=-2a. 所以拋物線的對稱軸為直線x=- =1.

（2）需要結(jié)合圖像進行分析. 由于不知道拋物線的開口方向，因此需要分情況討論. ①如圖2，當a>0時，25a-10a-3a≥4，解得a≥ ;②如圖3，當a<0且拋物線的頂點不在BC上時，-3a>4，解得a<- ;如圖4，當a<0且拋物線的頂點在BC上時，a-2a-3a=4，解得a=-1. 綜上可知，a≥ 或a<- 或a=-1.

變式 ?在平面直角坐標系xOy中，點B（1，0），拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點A（-2，3）. 若此拋物線與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

分析 ?拋物線與線段AB已有一個確定的交點A（-2，3），如果此拋物線與線段AB有兩個不同的交點，那么還有一個交點必須也落在線段AB之間. 由點A（-2，3）在拋物線上，消去b可得二次函數(shù)的解析式為y=ax2+2ax+3，再由A，B兩點的坐標可求出直線AB的解析式為y=-x+1. 令ax2+2ax+3=-x+1，得ax2+（2a+1）x+2=0，可進一步化簡成（ax+1）·（x+2）=0，于是可求出x1=-2，x2=- ，所以-2<- ≤1. 又a≠0，分情況討論：當a>0時，可求得a> ;當a<0時，可求得a≤

-1，所以a的取值范圍為a> 或a≤-1. 解題時可簡單畫出函數(shù)的可能圖像，以方便理解，比如圖5.

圖像是函數(shù)的表達形式之一，它能形象地呈現(xiàn)出函數(shù)的多方面性質(zhì). 含參函數(shù)問題一般都比較抽象，直接根據(jù)題意無法理解其含義和厘清數(shù)量之間的關系，因此需借助圖像讓問題變得明顯. 圖像不需要很精準，但需要體現(xiàn)出頂點、對稱軸、開口方向、特殊點等關鍵要素，接著利用函數(shù)的性質(zhì)便往往可以巧妙地解決含參函數(shù)問題.

化動為定，動點變定線

動態(tài)問題是數(shù)學中“經(jīng)久不衰”的經(jīng)典問題，不僅存在于函數(shù)中，存在于各類幾何問題中，還存在于綜合問題中，對數(shù)學基礎及思維的活性有較高的要求. 在含參函數(shù)中，動態(tài)問題常常以動點的形式存在，顯然動點不是毫無規(guī)律可循的，它的動存在軌跡，因此“動中求定”是解決動態(tài)問題的基本原則.

例3 ?如圖6，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知拋物線y=x2+mx+2m-4（m為常數(shù)），其頂點為M.

（1）求證該拋物線經(jīng)過定點，并求出定點坐標;

（2）如果該拋物線與正方形ABCD的邊有交點，求m的取值范圍.

分析 ?（1）求含參函數(shù)的定點，只需提取參數(shù)，將拋物線的形式改寫即可，拋物線的解析式可變形：y=x2+mx+2m-4=m（x+2）+x2-4，由定點的性質(zhì)可知該點不隨參數(shù)m的變化而變化，因此x+2=0，解得x=-2，所以拋物線經(jīng)過定點（-2，0）.

（2）對于y=x2+mx+2m-4，令x=- ，可得y= ，所以拋物線的頂點M的軌跡為y=-（x+2）2，結(jié)合圖像可知，如果拋物線與正方形ABCD的邊有交點，那么拋物線與y軸的交點必在A點下方（包含A點），且當x=-1時對應的點必須在C點上方（包含C點），因此可以得到不等式組2m-4≤-4，1-m+2m-4≥-5， 解之得-2≤m≤0.

變式 ?如圖6，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，A（0，-4），B（-1，-4），C（-1，-5），D（0，-5），已知拋物線y=x2+mx+2m-4（m為常數(shù)），其頂點為M. 若∠ABM=45°，求m的值.

分析 ?直線AB的解析式為y=-4，如果∠ABM=45°，那么直線BM的解析式為y=x-3或y=-x-5. 由例3可知拋物線的頂點M的軌跡為y=-（x+2）2. 分情況討論，當直線BM的解析式為y=x-3時，令-（x+2）2=x-3，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=5- ;當直線BM的解析式為y=-x-5時，令-（x+2）2=-x-5，解得x1= ，x2= （舍去），所以m=3- . 綜上可知，m的值為5- 或3- .

含參函數(shù)因為有參數(shù)的存在，看似是“動”的，但它常常與定點有關，所以求出定點、挖掘隱含條件對于解決含參函數(shù)問題非常必要. 對于含參函數(shù)中的動點，它的軌跡即為一條定線，所以遇到動點時，可以嘗試通過求動點的解析式來解決問題.

條件抽象、含有動點是初中階段所觸及的含參函數(shù)問題的主要題型，消參、畫圖、找軌跡是解決上述問題的主要策略. 上文也許總結(jié)得不夠全面，分析得也不夠深入，但在數(shù)學教學實踐中，筆者深切感悟到，注重分析與歸納，關注學生的學習方法是提高學生學習能力的主要途徑之一. 因此，教師要不斷強化學生對數(shù)學方法的認識，只有引導學生對相似問題進行分類總結(jié)，對同一類問題的解題方法進行歸納反思，才能讓學生領悟數(shù)學思想、找到數(shù)學學習的方法，從而真正學會學習.