基于MATLAB數(shù)字圖像處理的線性代數(shù)教學(xué)探索

朱丹　于書靖　蘇洪波

【摘 要】線性代數(shù)教學(xué)中，發(fā)揮MATLAB數(shù)據(jù)可視化優(yōu)勢，從數(shù)字圖像處理的角度闡釋矩陣的相關(guān)概念及運(yùn)算，豐富教學(xué)案例，開展創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);數(shù)字圖像處理;實(shí)驗(yàn)教學(xué);MATLAB

中圖分類號： O151.2-4;G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號： 2095-2457（2019）31-0118-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.056

【Abstract】In linear algebra teaching，we interpret concepts of matrix and matrix manipulation from a digital image processing perspective with the help of advantage of MATLAB in data visualization. Teaching cases are enriched and invovative practice teaching is explored.

【Key words】Linear algebra;Digital image processing;Experimental teaching;MATLAB

1 利用MATLAB數(shù)據(jù)可視化，突出線性代數(shù)教學(xué)的直觀性和實(shí)用性

線性代數(shù)課程教學(xué)，在充分利用MATLAB軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能的同時(shí)，還可充分挖掘其數(shù)據(jù)可視化功能，使之教學(xué)內(nèi)容深度融合、完美契合。作為線性代數(shù)課程的一個(gè)主要研究對象——矩陣，其實(shí)質(zhì)就是各種數(shù)據(jù)的匯總，而與矩陣相關(guān)的各種運(yùn)算，本質(zhì)上就是對其中數(shù)據(jù)的再加工再處理。以MATLAB數(shù)字圖像處理[1][2]為依托，使學(xué)生逐步明晰數(shù)字圖像與矩陣的對應(yīng)關(guān)系，并從數(shù)字圖像處理的角度闡釋矩陣的運(yùn)算，給抽象的數(shù)學(xué)理論賦予更直觀的形象，同時(shí)也豐富了應(yīng)用背景，為學(xué)生提供了更多機(jī)會(huì)參與創(chuàng)新實(shí)踐。

2 MATLAB數(shù)字圖像處理在矩陣概念、矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用案例

案例2.1? 從數(shù)字圖像的角度解讀矩陣，賦予矩陣以更直觀的形象

（1）0-1矩陣對應(yīng)二值（黑白）圖像

MATLAB中以5階方陣為例，零矩陣‘zeros（5）、單位陣‘eye（5）以及隨機(jī)0-1矩陣‘randint（5）所對應(yīng)圖像如圖1所示。

（a）零矩陣? ? ? ? ? ? ? ? ? （b）單位陣? ? ? ? ? （c）隨機(jī)0-1陣

圖1 0-1矩陣

在學(xué)生基本掌握了這種數(shù)與圖的對應(yīng)關(guān)系后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造“口”、“日”、“田”等漢字所對應(yīng)的數(shù)字矩陣。此外，通過布置“如何利用矩陣構(gòu)造詞語‘中國、‘海軍、‘甲午……？”、“如何利用矩陣構(gòu)造數(shù)字組合‘1894、‘7.25……？”等引申的課后上機(jī)練習(xí)題，拓展學(xué)生思維，促進(jìn)知識(shí)的活學(xué)活用。

（2）值域?yàn)閇0，1]的double型矩陣或值域?yàn)閇0，255]的uint8型矩陣對應(yīng)灰度圖像

仍以5階方陣為例，隨機(jī)[0，1]double型矩陣‘rand（5）、隨機(jī)[0，255]uint8型矩陣‘uint8（rand（5，5，[0，255]）對應(yīng)圖2所示的灰色馬賽克圖案。

（a）[0，1]double陣? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （b） [0，255]uint8陣

圖2 [0，1]double隨機(jī)陣及[0，255]uint8隨機(jī)陣

（3）RGB彩色圖像是R、G、B矩陣的層疊

利用圖2中灰度圖像的構(gòu)造方法，可以分別構(gòu)造R、G、B三基色隨機(jī)陣，圖像分別對應(yīng)圖3（a）、3（b）、3（c），再將三色矩陣拼合得到RGB矩陣，圖像為彩色馬賽克圖案，如圖3（d）所示。

（a）R矩陣? ? （b）G矩陣? ? （c）B矩陣? ?（d）RGB矩陣

圖3 R、G、B隨機(jī)陣及拼合成的RGB矩陣

依循這種層層遞進(jìn)、由簡入繁的思路，學(xué)生在直觀上對矩陣的實(shí)用性有了初步的了解，感受到了數(shù)學(xué)的神奇力量，激發(fā)了學(xué)習(xí)熱情。

案例2.2 利用矩陣線性運(yùn)算實(shí)現(xiàn)圖像隱藏

（a）隱藏前? ? ? ? ? ? ? ?（b）背景圖? ? ? ? ? ? ? ?（c）隱藏后

圖4 圖像隱藏

矩陣的加減、數(shù)乘是矩陣的兩種基本運(yùn)算，MATLAB環(huán)境下可用于實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像信息的隱藏。

假定涉密圖片（圖4（a））和背景圖片（圖4（b））分別存儲(chǔ)于矩陣A、B中，利用矩陣的兩種線性運(yùn)算構(gòu)造矩陣C=A+t·（B-A），可將涉密圖片隱藏于背景圖片中。這里，t∈[0，1]為隱藏參數(shù)，用來控制隱藏深度。圖4（c）中設(shè)置t=0.5，為半隱半現(xiàn)狀態(tài)，若設(shè)置t=1，可實(shí)現(xiàn)圖像的完全隱藏，設(shè)置t=0，又可實(shí)現(xiàn)圖像的復(fù)原。課堂教學(xué)中，通過漸進(jìn)調(diào)節(jié)參數(shù)t的取值由小變大，就可以將圖片隱藏的漸變過程展現(xiàn)在學(xué)生面前，增強(qiáng)了教學(xué)的生動(dòng)性、實(shí)用性。

案例2.3（a）? 利用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)圖像偽裝

矩陣運(yùn)算中，矩陣乘法具有較為特殊的運(yùn)算規(guī)律，是矩陣運(yùn)算教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。矩陣乘法又具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，因此其教學(xué)特別要突出以問題為主導(dǎo)，從問題中來，到問題中去。實(shí)際教學(xué)中，教師設(shè)置這樣一個(gè)問題情境：“一幅艦載機(jī)涉密圖片如圖5（a）所示，使用什么方法可對其實(shí)施偽裝？”由于前期教學(xué)已經(jīng)做了鋪墊，學(xué)生憑直覺給出了幾個(gè)策略：打亂重排、打馬賽克、……。教師因勢利導(dǎo)，“馬賽克該如何打？”……在留給學(xué)生足夠的思考空間之后，教師引入正題，“我們來看看借助矩陣乘法能否做到吧！”利用涉及隨機(jī)矩陣的矩陣乘法AR=A'（A是圖5（a）對應(yīng)矩陣，R是與A匹配的隨機(jī)矩陣，A'是新生成矩陣），圖5（a）經(jīng)處理后得到圖5（b）。課堂上，學(xué)生通過前后圖像對比不難發(fā)現(xiàn)，矩陣乘法的運(yùn)用使得原有圖像中的重要信息得到了屏蔽，偽裝效果明顯。學(xué)生從案例講解中，理解了矩陣乘法的本質(zhì)就是對矩陣實(shí)施變換，運(yùn)用到數(shù)字圖像處理中，可以實(shí)現(xiàn)圖像的置亂。

案例2.3（b）? 利用矩陣除法實(shí)現(xiàn)偽裝圖像復(fù)原

矩陣方程的求解涉及矩陣的除法運(yùn)算。教師在引入矩陣除法時(shí)，可以從乘與除的相對關(guān)系出發(fā)，將案例2.3（a）中的問題進(jìn)一步鋪開?！吧婷軋D像在傳輸過程中，發(fā)送方預(yù)先實(shí)施有效偽裝，而接收方就需要根據(jù)密鑰對收到的偽裝圖像（圖5（c））進(jìn)行復(fù)原。如何復(fù)原呢？”根據(jù)偽裝過程AR=A'，利用矩陣除法A=A'/R可實(shí)現(xiàn)其逆過程，生成圖像如圖5（d）所示，與原始圖5（a）對照，實(shí)現(xiàn)了圖像的完好復(fù)原。

（a）偽裝前 ? ? ? （b）偽裝后 （c）復(fù)原前 ? ? ?（d）復(fù)原后

圖5 圖像偽裝及復(fù)原

3 結(jié)束語

以矩陣概念理論為突破口，以MATLAB數(shù)字圖像處理為媒介，對線性代數(shù)課程實(shí)驗(yàn)化的教學(xué)模式進(jìn)行了初步探索。教師采用理論傳授型實(shí)驗(yàn)、綜合應(yīng)用型實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法，充分挖掘MATLAB圖像處理等工具箱的工程實(shí)踐功能，設(shè)計(jì)與線性代數(shù)課程理論密切相關(guān)的應(yīng)用性實(shí)驗(yàn)，以圖形等形式直觀展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，一方面，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化、可視化，便于學(xué)生理解，另一方面，學(xué)生更多地參與到實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，逐漸轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為自主探索，學(xué)習(xí)效率有效提升。此外，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的設(shè)計(jì)充分考慮學(xué)生的個(gè)體差異，區(qū)分難易層次，能夠使每個(gè)人潛能都得到有效激發(fā)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張德豐，等.MATLAB數(shù)字圖像處理[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[2]趙小川，等.MATLAB數(shù)字圖像處理實(shí)戰(zhàn)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.