解讀機械能守恒定律的條件

成金德

在只有重力或者彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發(fā)生相互轉化，但機械能的總量保持不變，這個規(guī)律叫做機械能守恒定律. 對某個研究系統(tǒng)而言，機械能是否守恒？可以從以下七個方面進行分析和判斷.

1. 只有重力做功時機械能守恒

如果一個系統(tǒng)內只有重力做功，系統(tǒng)內只有重力勢能和動能之間發(fā)生相互轉化，沒有與其它形式的能發(fā)生轉化，則系統(tǒng)的動能和重力勢能總和保持不變，即機械能守恒.

【例1】如圖1所示，質量為m的小球從高為h、傾角為θ的光滑斜面頂端A點由靜止下滑，到達斜面底端B點時的速度為2v0. 若小球從A點沿斜面以初速度■v0下滑，求小球到達斜面底端B點時的速度.

分析：小球沿斜面從A點運動到底端B點的過程中，只有小球所受的重力做功，其它的力不做功，則由小球和地球組成的系統(tǒng)（通常就說小球）機械能守恒. 取斜面底端處的重力勢能為零，由機械能守恒定律得：

小球由靜止下滑時：mgh=■m（2v0）2

小球以初速度■v0下滑時：mgh+■m（■v0）2=■mv2

解以上兩式得：v=3v0 .

2. 只有彈力做功時機械能守恒

如果由彈簧與物體組成的系統(tǒng)內只有彈簧的彈力做功，系統(tǒng)內只有彈性勢能與動能之間發(fā)生相互轉化，而不與其它形式的能發(fā)生轉化，則系統(tǒng)的彈性勢能和動能總和保持不變，即系統(tǒng)機械能守恒.

【例2】如圖2所示，一輕彈簧一端固定在墻上，另一端與物體A相連. 彈簧的原長為L，勁度系數為K. 當彈簧伸長（或縮短）的長度為x時，彈簧具有的彈性勢能為EP =■Kx2. 物體A的質量為m. 現設法壓縮彈簧，使彈簧的長度縮短l，然后撤除壓縮裝置，物體A在彈簧作用下開始運動. 求當物體A的速度為v時彈簧的長度.

分析：撤除壓縮裝置，物體A在彈簧作用下開始運動后，由物體A、彈簧和地球組成的系統(tǒng)，只有彈簧的彈力做功，其它的力不做功，可見，系統(tǒng)的機械能守恒. 設當物體A的速度為v時彈簧伸長（或縮短）長度為y，由機械能守恒定律得：

■Kl2 =■mv2+■Ky2

即：y=■

則此時彈簧的長度為：

L1=L+■或L2=L-■.

3. 重力與彈力同時做功，但無其它力做功時機械能也守恒

如果系統(tǒng)內同時有重力和彈力（這里的彈力僅指象彈簧等物體所產生的力，此彈力做功，將引起彈性勢能與其它形式的能發(fā)生相互轉化，高中階段僅限于彈簧所產生的彈力）做功，系統(tǒng)內只有重力勢能、彈性勢能和動能之間的相互轉化，而系統(tǒng)的總機械能保持不變，即系統(tǒng)的機械能守恒.

【例3】如圖3所示，輕彈簧一端系一個質量為m的小球，另一端固定于O點，彈簧的勁度系數為K，彈簧的原長為L. 將小球拉到與O點等高處，并使彈簧的長度恰好等于原長. 將小球由靜止釋放，當小球運動到最低點時，彈簧伸長的長度為l，求小球到達最低點時速度的大小.

分析：由小球、彈簧（通?？呻[去地球）組成的系統(tǒng)，在小球從A處運動到B處的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒. 取B處為重力勢能的零勢能位置，根據機械能守恒定律得：

mg（L+l）=■mv2+■Kl2

則小球在最低點B處的速度為：v=■.

4. 有內力（非重力和彈力）做功，但所做的功的代數和為零，則機械能守恒

如果系統(tǒng)內除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)內的其它力（即內力）也做功，且這些力做功的代數和為零，此過程實現系統(tǒng)內一個物體的機械能轉移到另一個物體上，系統(tǒng)的總機械能不變，即機械能守恒.

【例4】如圖4所示，帶有光滑的半徑為R的1/4圓弧軌道的滑塊靜止在光滑的水平面上，此滑塊的質量為M，一個質量為m的小球由靜止開始從A點釋放，當小球從滑塊的B處水平飛出時，滑塊的反沖速度為多大？

分析：在小球下滑過程中，由小球和滑塊組成的系統(tǒng)，除小球所受的重力做功外，小球與滑塊間的彈力也做功，小球所受到的彈力對小球做負功，滑塊所受到的小球對它的彈力對滑塊做正功，使得小球的一部分機械能轉移到滑塊上. 但由于兩個彈力大小相等，作用點始終在同一點，因此，這兩個彈力做功的代數和等于零，即系統(tǒng)的機械能守恒.

取B處為重力勢能的零位置. 設滑塊的反沖速度為v2 . 根據機械能守恒定律得：

mgR=■mv1 2 +■Mv2 2

由于系統(tǒng)在水平方向不受外力的作用，則系統(tǒng)在水平方向動量守恒：

mv1=Mv2

解以上兩式得：v2=■.

5. 有外力（非系統(tǒng)內的力）做功，且所做的功的代數和為零，則機械能守恒

若系統(tǒng)內除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)外的力（外力）也做功，且外力做功的代數和為零，則系統(tǒng)與外界無能量交換，系統(tǒng)的總機械能保持不變，即系統(tǒng)的機械能守恒.

【例5】如圖5所示，粗細均勻的U形管內裝有總長為4L的水. 開始時閥門K閉合，左右支管內水面高度差為L. 打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？（摩擦阻力忽略不計）

分析：取水柱和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，在水柱運動的過程中，系統(tǒng)內有重力做功，系統(tǒng)外有大氣壓力做功，其中左邊水柱受到的大氣壓力做正功，右邊水柱受到的大氣壓力做負功，這兩個力做功的代數和等于零，因此，系統(tǒng)與外界無能量交換，系統(tǒng)的機械能守恒.

從初始狀態(tài)到左右支管水面相平止，此過程相當于有長L/2的水柱由左管移到右管. 此過程中系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加. 整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱高度降低L/2重力勢能的減少量. 設水柱總質量為8m，根據機械能守恒定律得：

mg·■=■·8m·v2 ???解得：v=■.

6. 有內力（非重力和彈力）做功，且所做的功的代數和不為零，則機械能不守恒

如果系統(tǒng)內除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)內的其它力（即內力）也做功，且這些力做功的代數和不為零，此過程實現系統(tǒng)內與系統(tǒng)外物體間能量的轉移或轉化，系統(tǒng)的總機械能將發(fā)生變化，即系統(tǒng)的機械能不守恒.

【例6】海岸炮將炮彈水平射出. 炮身質量（不含炮彈）為M，每顆炮彈質量為m. 當炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？（不計其它阻力）

分析：取炮身和炮彈為研究對象. 顯然，在發(fā)射炮彈的過程中，系統(tǒng)內力做了功，將化學能轉化為機械能，所以，系統(tǒng)的機械能不守恒.

當炮身固定時，化學能全部轉化為炮彈的動能，即：

E=■mv2

當炮身不固定時，化學能轉化為炮身和炮彈的動能，即：

E=■mv1 2 +■Mv2 2

由于炮身和炮彈組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，它們的總動量守恒，即：

mv1=Mv2

由于炮彈做平拋運動的射高相等，則炮彈兩次射程之比等于拋出時初速度之比：

■=■

解以上幾式得：s1=s■.

7. 有外力（非系統(tǒng)內的力）做功，且所做的功的代數和不為零，則機械能不守恒

若除了系統(tǒng)內重力和彈力做功外，系統(tǒng)外的力（外力）也做功，且外力做功的代數和不為零，則系統(tǒng)與外界有能量交換，系統(tǒng)的總機械能將發(fā)生變化，即系統(tǒng)的機械能不守恒.

【例7】質量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點緩慢地移動到Q點，如圖7所示，則力F所做的功為（ ???????）

A. mgLcos θ ???????B. FL sin θ

C. mgL（1-cos θ） ??D. FL cos θ

分析：取小球（包括地球）為研究對象，除了重力做功外，還有外力F也對小球做功，且外力做正功，將有能量從外界轉移到小球上，使得小球的機械能增大，故小球的機械能不守恒. 設F所做的功為W，根據動能定理得：

W-mgL（1-cosθ）=0

則有：W=mgL（1-cosθ），可見本題的正確選項為C.

總之，一個系統(tǒng)是不是滿足機械能守恒定律，關鍵在于該系統(tǒng)中有哪些力參與了做功，是將何種形式的能量轉化為何種形式的能量. 如果只是動能和勢能間的相互轉化，而沒有與其它形式的能發(fā)生轉化，則機械能總量保持不變，即系統(tǒng)的機械能守恒.

責任編輯 ??李平安