線性脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

周旺旺　方建安

【摘 要】對線性脈沖系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，首先是通過運(yùn)用半張量積方法給出基于邏輯判斷的線性脈沖系統(tǒng)的表達(dá)式，然后利用穩(wěn)定性的判別方法，得到了該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，接著運(yùn)用定義和引理來對其進(jìn)行證明，再給出數(shù)值例子，通過仿真來說明結(jié)果的有效性。

【關(guān)鍵詞】脈沖系統(tǒng);穩(wěn)定性;半張量積;邏輯判斷

中圖分類號： TP13文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）31-0004-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.002

Stability Analysis of Linear Impulsive System

ZHOU Wang-wang FANG Jian-an

（College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China）

【Abstract】The stability analysis of linear impulsive system is carried out. Firstly， the expression of linear impulsive system based on logic judgment is given by using the semi-tensor product method. Then， the sufficient conditions for the stability of the system are obtained by using the method of stability judgment. Then， the definition and lemma are used to prove the stability of the system. Finally， numerical examples are given to illustrate the validity of the results by simulation.

【Key words】Impulsive system; Stability; Semi-tensor product; Logical judgment

0 引言

在發(fā)展變化過程中，自然界中的許多事物常常因受到短暫時間的干擾而發(fā)生快速的變化，如種群動力學(xué)中的動物的季節(jié)繁殖，漁業(yè)養(yǎng)殖與森林管理中的投放、種植、收獲等，在這些過程的數(shù)學(xué)模擬中，這段發(fā)生快速變化的持續(xù)時間常常會被忽略，然后假設(shè)這個過程是瞬間完成的，這種瞬時突變現(xiàn)象通常被稱為脈沖現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)模型通常可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng)。在實際應(yīng)用中我們總是希望，在受到外來干擾不太大時，系統(tǒng)能夠在經(jīng)過一個過渡過程后恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，這樣，我們才能更好地控制系統(tǒng)，使其大體地可以按照預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行下去。例如，對于發(fā)射宇宙探測器，若不能在受到一定范圍內(nèi)的干擾后依然可以回歸到原有軌道，那它的任務(wù)將不能完成，還有很多諸如此類的例子。鑒于脈沖系統(tǒng)在科技領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，這方面的研究引起很多學(xué)者專家的關(guān)注與重視。脈沖微分方程理論最早是由Millman和Myshkis在20世紀(jì)六十年開創(chuàng)性的提出來的[1]，成了數(shù)學(xué)界的一個新的分支，在接下來的20年，它也經(jīng)過了不斷發(fā)展[2]，1989年，首次出版的關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)的著作“Theory of Impulsive Differential Equations”是由V.Lakshimikantham[3]等人對這些進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)所完成的。文獻(xiàn)[4]給出了系統(tǒng)平衡點和穩(wěn)定性的定義，文獻(xiàn)[5-6]中程代展教授提出了半張量積這一定理，使矩陣乘法不再局限于傳統(tǒng)矩陣維數(shù)的要求，這樣的話，任意兩矩陣都可以相乘。之后，程代展教授等人將半張量積應(yīng)用到邏輯系統(tǒng)中，將一個邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為等價矩陣、向量乘積的代數(shù)表達(dá)形式，從而解決了邏輯表達(dá)式的計算和處理問題，對邏輯處理給予了很大的幫助。文獻(xiàn)[7]中范數(shù)的相關(guān)理論，用于構(gòu)造輔助系統(tǒng)，使后面定理的驗證得以實現(xiàn)。

脈沖系統(tǒng)的研究已經(jīng)日趨成熟，于是我對線性脈沖系統(tǒng)的性質(zhì)進(jìn)行了具體的探究，所研究的線性脈沖系統(tǒng)具體可描述為

x（t）=Ax（t），t≠t■Δx（t■）=g（p■（x■（t■）），…p■（x■（t■）））Bx（t■）+■Cx（t■），t=t■x（t■■）=x■（1）

其中A、B、C 均為n階矩陣，tk為第k次脈沖發(fā)生的時刻，x（t）和Δx（t）都為n維向量：x（t）=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，Δx（t）=（Δx1，Δx2，…，Δxn）T∈Rn。關(guān)于脈沖時間序列{tk}■■，我們假定0

1 線性脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1.1 預(yù)備知識

下面介紹一些定義、引理及符號，是后面的證明及驗證過程所要用到的。

對于向量x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，‖x‖=■x■■■表示x的歐幾里得范數(shù)。對于實對稱矩陣A，λmax（A）（λmin（A））表示A的最大（最小）特征值。Rowi（A）（Coli（A））表示矩陣A的第i行（列），Row（A）（Col（A））表示矩陣A所有（行）列的集合。

為了方便后續(xù)的研究，對于邏輯值，我們定義如下等價的向量表達(dá)形式：

T=1～δ■■=[1 0]T，F(xiàn)=0～δ■■=[0 1]T，其中，δ■■是單位矩陣Ik的第i列。令Δk={δ■■|i=1，2，…，k}，則其表示單位矩陣所有列的集合。

接著，我們給出如下定義和引理：

定義1[5]：如果矩陣L∈Rm×n滿足Col（L）？奐Δm，則我們稱L為邏輯矩陣。我們將所有m×n邏輯矩陣組成的集合表示為Lm×n。

定義2[7]：矩陣Kronecker積符號為“？茚”，對任意兩個矩陣A=（aij）m×n∈Rm×n，B=（bij）p×q∈Rp×q，它們的Kronecker積為：

A？茚B=■。

定義3[7]：μ（A）=■■=λ■■，其中‖·‖表示矩陣的誘導(dǎo)范數(shù)，A是正數(shù)階矩陣，I是單位矩陣。

引理3[7]：根據(jù)μ（A）的定義，可得對于線性微分方程■（t）=Ax（t），狀態(tài)變量x（t）滿足：

■≤μ（A）‖x（t）‖。

定義4[6]：對于兩個矩陣A∈Rm×n，B∈Rp×q，A與B的半張量積為

A∝B=（A？茚Iα/n）（B？茚Iα/p），

其中，α=lcm（n，p）是n與p的最小公倍數(shù)。

下面這個引理揭示了如何將一個邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為等價矩陣、向量乘積的代數(shù)表達(dá)形式，用于后面的理論探究。

引理4[6]：f（p1，p2，…，pr）∈Δ2是一個邏輯函數(shù)，其中p1，p2，…，pr∈Δ2是邏輯變量，則存在唯一一個2×2r的矩陣Mf∈Lm×n使得

其中，Col（Mf）？奐Δ2，而且值得注意的是∝■■p■？奐Δ■。我們稱矩陣Mf為邏輯函數(shù)f的結(jié)構(gòu)矩陣。需要注意的是，引理2中的邏輯函數(shù)f（p1，p2，…，pr）∈Δ2是一個二維向量[1 0]T或[1 0]T，若邏輯函數(shù)的值最終表達(dá)為“1”或“0”的標(biāo)量值時，引理3中的代數(shù)表達(dá)形式可以寫為

下面我們引入平衡點及穩(wěn)定性的定義。

定義5[4]：對于系統(tǒng)

■=f（x）

若f（xe）≡0，則我們稱xe為系統(tǒng)的平衡點。

易知線性系統(tǒng)

■（t）=Ax（t），

的平衡點是原點。

定義6[4]：對于系統(tǒng)

■=f（x）

的平衡點為x=0，如果對于任意的ε>0，都存在δ=δ（ε）>0，滿足

‖x（0）‖<δ？圯‖x（t）‖<ε，？坌t>0

則該系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的。

定義7[4]：對于系統(tǒng)

■=f（x）

的平衡點為x=0，如果系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的，且可選擇適當(dāng)?shù)恼龜?shù)δ，滿足

‖x（0）‖<δ？圯■x（t）=0，

則該平衡點是漸近穩(wěn)定的。

1.2 主要結(jié)論

我們從系統(tǒng)（1）的表達(dá)式可以看出，當(dāng)不發(fā)生脈沖現(xiàn)象時，系統(tǒng)（1）的第一個式子是線性微分方程，通過求解得出x（t）的表達(dá)式;當(dāng)發(fā)生脈沖現(xiàn)象時，系統(tǒng)（1）的第二個式子中Δx（tk）表示狀態(tài)變量在脈沖發(fā)生后與發(fā)生前的差值，即Δx（tk）=x（t■■）-x（t■），k∈N■。當(dāng)發(fā)生第k次脈沖現(xiàn)象，即t=tk時，有

Δx（t■）=g（p■（x■（t■）），…p■（x■（t■）））Bx（t■）

+■Cx（t■）

其中g(shù)：{δ■■，δ■■}n→{0，1}是一個邏輯函數(shù)，g是g的否定邏輯函數(shù)。比如，當(dāng)g的邏輯值為0時，g的邏輯值為1;當(dāng)g的邏輯值為1時，g的邏輯值為0。B，C是兩種備選方案的脈沖效應(yīng)的邏輯矩陣。pi：R→{0，1}是一個分段連續(xù)函數(shù)，定義如下：

pi（u）=δ■■～0，|u|≥c■δ■■～1，|u|

其中ci是一個閾值。

由引理3可知存在g的結(jié)構(gòu)矩陣M使得下面這個等式成立：

g（p1（x1（tk）），…，pn（xn（tk）））=Row1（Mf）∝■■p■（x■（t■））

并且g的否定函數(shù)g可以表示為

■=Row2（Mf）∝■■p■（x■（t■））

令p（x（tk））為∝■■p■（x■（t■））。根據(jù)pi（u）的定義，我們知道pi（xi（tk））∈Δ2，i=1，2，…，n。然后再根據(jù)半張量積的定義，我們可以知道是p（x（tk））一個2n維向量，且p（x（tk））∈Δ■，設(shè)p（x（tk））的值為δ■■，即p（x（tk））=δ■■，它是一個第jk個分量為1其余分量為0 的單位向量。進(jìn)而我們有

Δx（tk）=Row1（M）p（x（tk））Bx（tk）+Row2（M）p（x（tk））Cx（tk）

=M■Bx（tk）+M■Cx（tk）

=（M■B+M■C）x（tk）

其中，M■和M■分別表示矩陣M的第1行第jk個元素和第2行第jk個元素。下面，我們進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到：

M■B+M■C=B（M■？茚In）+C（M■？茚In）

=[B C]M■？茚InM■？茚In

=[B C]（Col■（M）？茚In）

最終Δx（tk）可以表示為以下形式：

Δx（tk）=[B C]（Col■（M）？茚In）x（tk）（2）

因此，當(dāng)Col■（M）=10時，Δx（tk）=Bx（tk）;

同樣，當(dāng)Col■（M）=01時，Δx（tk）=Cx（tk）。

由此可以看出（2）的邏輯表達(dá)式與系統(tǒng)（1）中Δx（tk）的表達(dá)式是等價的。于是Δx（t■■）可以表示為下面的形式：

x（t■■）=x（t■■）+Δx（tk）

=[B+I C+I]（Col■（M）？茚In）x（t■■）

因此我們可以得到

另一方面，當(dāng)t∈[tk，tk+1）時，由（1）式的第一個表達(dá)式

■（t）=Ax（t），

我們可以推出

x（t）=e■x（t■■）（4）

根據(jù)以上理論分析，我們得到下面系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要結(jié)論，并對這個定理進(jìn)行證明。

定理：如果基于邏輯判斷的線性脈沖系統(tǒng)（1）滿足如下條件：

（i）■■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）<+∞;

（ii）μ（A）≤0;

則系統(tǒng)（1）的平衡點是穩(wěn)定的。

若把條件（ii）加強(qiáng)為：（ii*）μ（A）<0時，則系統(tǒng)（1）的平衡點是漸近穩(wěn)定的。

證明：為了研究系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，我們先考慮如下系統(tǒng)：

■（t）=μ（A）u（t），t≠t■u（t■■）=[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）u（t■■）=u■≥‖x■‖（5）

其中函數(shù)u：[t0，∞）→R。

當(dāng)t∈[tk，tk+1）時，由系統(tǒng)（5）的第一個表達(dá)式可以推出

u（t）=e■u（t■■）。

再根據(jù)系統(tǒng)（5）的第二個表達(dá)式可得

u（t）=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

再對u（tk）進(jìn)行依次遞推，可以得到

u（tk）=e■u（t■■）

=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

……

u（t2）=e■u（t■■）

=e■[‖B+I‖‖C+I‖]Col■（M）u（t■）

u（t1）=e■u（t■■）

=e■u0

因此通過從下到上依次帶入可得

u（t）=e■■[‖B+I‖‖C+I‖Col■（M）]u■

根據(jù)條件（i）和（ii）可知系統(tǒng)（5）的平衡點是穩(wěn)定的。當(dāng)系統(tǒng)滿足條件（i）和（ii*）時，系統(tǒng)（5）的平衡點是漸近穩(wěn)定的。

由引理3可知

■≤μ（A）‖x（t）‖

由系統(tǒng)（5）可知

■≤μ（A）u（t）

uo≥‖x0‖

于是，根據(jù)比較原理[3]以及式（4）可知，當(dāng)t≥t0時，有0<‖x（t）‖≤u（t）。

這表明系統(tǒng)（1）的平衡點是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)（5）的平衡點是穩(wěn)定的。系統(tǒng)（1）的平衡點是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)（5）的平衡點是漸近穩(wěn)定的。因此定理得證。

2 數(shù)值例子

下面通過舉一個具體的例子來驗證定理，證實其有效性。首先設(shè)定x=（x1，x2，x3）T∈R3是三維向量，這里我選取初值x0=（1.5，-0.5，2）T，脈沖發(fā)生周期為0.5，還有

A=■

經(jīng)過計算得到其特征值分別為λ=-3，λ2=-4，λ3=-2

系統(tǒng)（1）的邏輯函數(shù)如下所示：

g（p1，p2，p3）=（p1∨p2）？圮p3

其中“∨”表示“析取”邏輯關(guān)系，若p，q為兩個邏輯變量，則有如下真值表：

表1

邏輯關(guān)系“∨”對應(yīng)的邏輯矩陣為

Md=■

“？圮”表示“等價”邏輯關(guān)系，有如下真值表：

表2

邏輯關(guān)系“？圮”對應(yīng)的邏輯矩陣為

Me=■

對于邏輯函數(shù)g，存在2×8維結(jié)構(gòu)矩陣M，使得

g（p1，p2，p3）=M∝■■pi

其中

M=Me∝Md=■

我們選取B=-■I3，C=-■I3，I3是3階單位矩陣，易知這里滿足條件（i），我們這里閾值取為c1=c2=c3=0.1，于是

μ（A）=■■=λ■■=-1.0944<0，

滿足條件（ii*），因此根據(jù)定理，我們可知系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的。下面是通過MATLAB仿真所得的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖，如圖1所示：

圖1 x隨時間t的軌跡

3 結(jié)論

本文通過對線性脈沖系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的定理判據(jù)，該研究分析可以在工程中發(fā)揮比較大的作用，在面對突發(fā)事件時，可以對系統(tǒng)進(jìn)行控制，使其根據(jù)邏輯判斷自動選取合理的方案，使損失減小，這是一種比較經(jīng)濟(jì)快速地選擇。

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