基于高階阻抗傳遞函數(shù)的車輛ISD懸架優(yōu)化設(shè)計(jì)與性能分析

沈鈺杰， 劉雁玲， 陳 龍， 楊曉峰， 仇成群

(江蘇大學(xué) 汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

新型被動(dòng)車輛ISD(Inerter-Spring-Damper)[1-3]懸架系統(tǒng)由于其優(yōu)越的隔振性能，目前已受到工程領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。車輛ISD懸架系統(tǒng)中的核心元件慣容器[4]的提出，完善了機(jī)電相似性理論中的不完全對(duì)應(yīng)現(xiàn)象[5]，因此，可以將電學(xué)網(wǎng)絡(luò)中成熟的理論應(yīng)用于機(jī)械網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。電學(xué)系統(tǒng)中無源網(wǎng)絡(luò)綜合理論[6]的核心思想是利用電感、電阻和電容元件將已知阻抗傳遞函數(shù)進(jìn)行被動(dòng)實(shí)現(xiàn)。對(duì)應(yīng)到機(jī)械網(wǎng)絡(luò)中，即可應(yīng)用彈簧、阻尼器和慣容器對(duì)其進(jìn)行綜合實(shí)現(xiàn)。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞機(jī)械網(wǎng)絡(luò)的無源網(wǎng)絡(luò)綜合開展了新一輪研究，證實(shí)了其在機(jī)械隔振領(lǐng)域的有益效果[7-11]。

文獻(xiàn)[12]最早研究了應(yīng)用線性矩陣不等式的方法對(duì)車輛ISD懸架系統(tǒng)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明懸架的綜合性能可以得到有效提升。文獻(xiàn)[13]在原有的雙二次型阻抗傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了雙三次型阻抗傳遞函數(shù)對(duì)火車懸架性能提升的效果，結(jié)果顯示，雙三次型阻抗傳遞函數(shù)相較于雙二次型阻抗傳遞函數(shù)，其性能可得到顯著改善。然而，在車輛懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，高階阻抗傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)量眾多，單純的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)難以工程實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用。機(jī)電慣容器[14]是近年來提出的一種新型慣容器實(shí)現(xiàn)裝置，其利用機(jī)械式慣容器與電機(jī)進(jìn)行耦合設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)方案，通過電機(jī)外端網(wǎng)絡(luò)的電阻抗模擬實(shí)現(xiàn)目標(biāo)機(jī)械阻抗的方式，為實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)提供了新的解決途徑。

因此，本文以應(yīng)用機(jī)電慣容器的車輛ISD懸架作為研究對(duì)象，探索應(yīng)用高階阻抗傳遞函數(shù)進(jìn)行車輛ISD懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的提升效果，通過篩選機(jī)電慣容器的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)高階阻抗傳遞函數(shù)進(jìn)行降階轉(zhuǎn)換，并利用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解，最終給出懸架系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)方案，力圖給車輛ISD懸架的研究提供新的思路。

1 基于高階阻抗傳遞函數(shù)的懸架模型構(gòu)建

本文選取雙三次型阻抗傳遞函數(shù)作為研究對(duì)象，構(gòu)建了車輛1/4懸架動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 車輛1/4懸架模型Fig.1 Quarter car model

圖1中：ms為簧載質(zhì)量；mu為非簧載質(zhì)量；K為懸架彈性元件的剛度；Kt為輪胎的等效彈簧剛度；zr為路面垂向的位移輸入；zu為非簧載質(zhì)量的垂向位移；zs為簧載質(zhì)量的垂向位移；T(s)為待優(yōu)化設(shè)計(jì)的懸架系統(tǒng)阻抗表達(dá)式。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，可以得到車輛1/4懸架模型的動(dòng)力學(xué)拉氏方程為

mss2Zs+[K+sT(s)](Zs-Zu)=0

(1)

mus2Zu-[K+sT(s)](Zs-Zu)+Kt(Zu-Zr)=0

(2)

式中：Zr，Zu與Zs為相應(yīng)變量的拉普拉斯變換形式；s為拉氏變量。懸架系統(tǒng)的模型參數(shù)如表1所示。

表1 懸架模型參數(shù)Tab.1 Parameters of suspension model

T(s)為雙三次速度型阻抗傳遞函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)形式的表達(dá)式為

(3)

式中：A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H≥0；E，F(xiàn)，G與H不全為0。由于所設(shè)計(jì)的車輛ISD懸架是被動(dòng)型懸架系統(tǒng)，其需滿足的正實(shí)性約束條件為[15]

(C+G)(B+F)≥(D+H)(A+E)

(4)

(5)

當(dāng)a3>0，a0≥0時(shí),

(6)

(7)

(8)

其中，

a0=DH

(9)

a1=CG-DF-BH

(10)

a2=BF-CE-AG

(11)

a3=AE

(12)

從式(4)～式(12)可知，若以雙三次型阻抗傳遞函數(shù)作為研究對(duì)象，其可以被動(dòng)實(shí)現(xiàn)的條件，即正實(shí)條件較為復(fù)雜，且網(wǎng)絡(luò)綜合過程繁瑣，不易于工程化實(shí)現(xiàn)。根據(jù)Bott-Duffin無變壓器綜合法[16]可知，雙三次型阻抗傳遞函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)綜合需要用最多13個(gè)元件串并聯(lián)進(jìn)行被動(dòng)實(shí)現(xiàn)。因此，可以考慮根據(jù)現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)特征對(duì)其進(jìn)行降階轉(zhuǎn)換。

2 高階阻抗傳遞函數(shù)的降階轉(zhuǎn)換

由Brune綜合法及Bott-Duffin綜合法的基本變換Foster循環(huán)[17]可知，串聯(lián)或并聯(lián)地提取出一個(gè)電抗元件(電感或電容)可使得原傳遞函數(shù)的階數(shù)降低；串聯(lián)或并聯(lián)地提取出一個(gè)電阻元件(電阻)則不改變?cè)瓊鬟f函數(shù)的階數(shù)。

當(dāng)選擇機(jī)電慣容器作為機(jī)械網(wǎng)絡(luò)與電網(wǎng)絡(luò)之間的電信號(hào)與機(jī)械力信號(hào)的傳遞裝置時(shí)，機(jī)電慣容器始終存在于懸架系統(tǒng)中，且始終與外端負(fù)載電路的電網(wǎng)絡(luò)阻抗相并聯(lián)。因此，本文對(duì)原雙三次型阻抗傳遞函數(shù)作如下變換：

步驟1分別串聯(lián)或并聯(lián)地提取出一個(gè)阻尼器元件；

步驟2并聯(lián)地提取出一個(gè)慣容器元件。

其中，步驟1不僅不改變?cè)p三次型阻抗傳遞函數(shù)的階數(shù)，而且避免了結(jié)構(gòu)的遺漏。步驟2中由于所述機(jī)電慣質(zhì)的電網(wǎng)絡(luò)與機(jī)械式慣容器始終并聯(lián)，因此并聯(lián)的提取出慣容器元件，由此實(shí)現(xiàn)了原雙三次型阻抗傳遞函數(shù)的降階轉(zhuǎn)換。經(jīng)由步驟1與步驟2變換后得到的懸架結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 降階轉(zhuǎn)換示意圖Fig.2 Schematic of reducing order

圖2中：bm為機(jī)械式慣容器；c0與cm為機(jī)械阻尼器； 其中c0為0或cm為無窮大。此時(shí)，轉(zhuǎn)換后的懸架結(jié)構(gòu)速度型阻抗表達(dá)式為

(13)

經(jīng)過變換后的阻抗傳遞函數(shù)T1(s)為雙二次型，其標(biāo)準(zhǔn)型表達(dá)式為

(14)

而式(14)為正實(shí)函數(shù)[18]的充要條件是

(15)

應(yīng)用以上的變換方法，具有以下優(yōu)勢(shì)：

(1) 通過Foster循環(huán)步驟提取得到的元件可以作為懸架的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，即當(dāng)電網(wǎng)絡(luò)失效時(shí)，同樣可以具有相應(yīng)隔振性能的懸架系統(tǒng)；

(2) 將原有的雙三次型阻抗傳遞函數(shù)通過Foster循環(huán)步驟實(shí)現(xiàn)了降階，有效解決了高復(fù)雜度阻抗傳遞函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)綜合過程，使得具體的懸架結(jié)構(gòu)更容易通過網(wǎng)絡(luò)綜合實(shí)現(xiàn)。

可以得到降階轉(zhuǎn)換前后傳遞函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系式為

A=bmcmD0

(16)

B=cm(bmE0+c0D0+A0)

(17)

C=cm(bmF0+c0E0+B0)

(18)

D=cm(c0F0+C0)

(19)

E=bmD0

(20)

F=cmD0+bmE0+c0D0+A0

(21)

G=cmE0+bmF0+c0E0+B0

(22)

H=c0F0+cmF0+C0

(23)

3 參數(shù)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化目標(biāo)的選取

車輛在行駛過程中，既要滿足良好的舒適性要求與輪胎的接地性要求，同時(shí)懸架的動(dòng)行程應(yīng)滿足一定的約束范圍，以防止懸架撞擊車身影響舒適性。因此，本文綜合考慮在隨機(jī)路面輸入條件下的車身加速度均方根J1、懸架動(dòng)行程均方根J2以及輪胎動(dòng)載荷均方根J3為優(yōu)化目標(biāo)，將多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性組合轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)函數(shù)[19]。其具體表達(dá)式為

(24)

式中：J1，J2與J3為待優(yōu)化的車輛ISD懸架車身加速度均方根、懸架動(dòng)行程均方根與輪胎動(dòng)載荷均方根；J1pas，J2pas與J3pas分別為傳統(tǒng)被動(dòng)懸架的車身加速度均方根、懸架動(dòng)行程均方根與輪胎動(dòng)載荷均方根。假設(shè)汽車以40 km/h的車速行駛在C級(jí)路面上，仿真時(shí)長(zhǎng)為10 s，采樣時(shí)間為0.001 s。

3.2 優(yōu)化約束條件

3.2.1 傳遞函數(shù)的正實(shí)性約束

本文所要優(yōu)化的變量為bm，c0，cm，A0，B0，C0，D0，E0，F(xiàn)0共9個(gè)參數(shù)，根據(jù)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件的存在性意義可知，優(yōu)化變量的約束范圍為

(25)

式中：D0，E0，F(xiàn)0不全為0。此外，要滿足T1(s)為正實(shí)函數(shù)，還需滿足式(15)所給出的約束條件。

3.2.2 懸架系統(tǒng)性能的約束

在優(yōu)化過程中，將傳統(tǒng)被動(dòng)懸架的三個(gè)性能指標(biāo)作為對(duì)比約束指標(biāo)，當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)值超出其約束條件時(shí)，將適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行懲罰，懲罰規(guī)則為將其與一個(gè)較大的數(shù)值相加，本文取100 000。懸架的性能約束條件為

J1≤J1pas,J2≤J2pas,J3≤J3pas

(26)

3.3 優(yōu)化算法的設(shè)置

本文采用改進(jìn)的多種群粒子群算法中同時(shí)包含多個(gè)種群，并行的種群數(shù)量設(shè)為20。種群中粒子的位置與速度更新規(guī)則為

(27)

所述改進(jìn)的粒子群算法各種群間的進(jìn)化過程相對(duì)獨(dú)立，同時(shí)包含交叉與變異操作。其中，交叉操作的位置產(chǎn)生規(guī)則如式(28)所示

a1=rand(n),a2=rand(n)

(28)

式中：a1與a2為選擇的交叉?zhèn)€體位置。交叉操作的具體表述為

(a1≠a2)&(fa1≠fbest)&(fa2≠fbest)

(29)

式中：fa1，fa2為對(duì)應(yīng)位置個(gè)體的適應(yīng)度值；fbest為最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度值。所述變異操作的實(shí)現(xiàn)條件為

fn>fn+1

(30)

式中：fn為變異之前的適應(yīng)度函數(shù)值；fn+1為變異之后的適應(yīng)度函數(shù)值。

表2 優(yōu)化參數(shù)Tab.2 Optimized parameters

可以得到的所設(shè)計(jì)的雙三次型阻抗傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

經(jīng)過降階轉(zhuǎn)換得到的雙二次型阻抗傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

優(yōu)化得到的雙三次型阻抗傳遞函數(shù)與雙二次型阻抗傳遞函數(shù)Bode圖，如圖3所示。

從圖3可知，優(yōu)化得到的雙二次型阻抗傳遞函數(shù)T1(s)與雙三次型阻抗傳遞函數(shù)T(s)在低頻段均呈現(xiàn)出慣性特性。對(duì)于T1(s)來說，隨著頻率的增加，其慣性特性逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閯偠忍匦裕疫^渡段平穩(wěn)無波動(dòng)。而對(duì)于T(s)來說，隨著頻率的增加，其慣性特性也逐漸減小并轉(zhuǎn)變?yōu)樽枘崽匦?。需要指出的是，由“彈?阻尼器”二類機(jī)械元件組成的傳統(tǒng)懸架系統(tǒng)中則無法呈現(xiàn)出慣性特性，這便是傳統(tǒng)懸架結(jié)構(gòu)性能提升受到限制的主要因素，也是含有慣容器的車輛ISD懸架具備更優(yōu)越隔振性能的原因所在。

圖3 優(yōu)化結(jié)構(gòu)Bode圖Fig.3 Bode scheme of the optimized structure

4 仿真分析

4.1 頻域分析

若將懸架系統(tǒng)看做一個(gè)整體阻抗傳遞函數(shù)：TT(s)，通過對(duì)懸架動(dòng)力學(xué)模型的分析計(jì)算，分別得到車身加速度對(duì)路面輸入垂向位移的頻響函數(shù)為

(31)

懸架動(dòng)行程對(duì)路面輸入垂向位移的頻響函數(shù)為

(32)

輪胎動(dòng)載荷對(duì)路面輸入垂向位移的頻響函數(shù)為

(33)

圖4～圖6分別為懸架系統(tǒng)的車身加速度增益對(duì)照?qǐng)D，懸架動(dòng)行程增益對(duì)照?qǐng)D和輪胎動(dòng)載荷增益對(duì)照?qǐng)D。

從圖4～圖6可知，相較于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架，車輛ISD懸架系統(tǒng)的隔振性能有了較為顯著的提升。從車身加速度增益圖可以看出，在低頻與高頻的兩個(gè)共振峰值處，車輛ISD懸架的共振峰值明顯小于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架，其中車身加速度增益在低頻段的共振峰值降低了42.7%，高頻共振峰值降低了2.8%，低頻段的改善效果比高頻段更為顯著。而在中頻段2～10 Hz，車輛ISD懸架的車身加速度增益相較于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架略有惡化。

對(duì)于懸架動(dòng)行程增益來說，從其增益圖可以看出，本文研究的車輛ISD懸架在全頻域范圍內(nèi)均優(yōu)于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架，其中，懸架動(dòng)行程增益在低頻段的共振峰值降低了36.4%，高頻共振峰值降低了28.7%，改善效果較為明顯。

圖4 車身加速度增益圖Fig.4 Gain of vehicle body acceleration

圖5 懸架動(dòng)行程增益圖Fig.5 Gain of suspension working space

圖6 輪胎動(dòng)載荷增益圖Fig.6 Gain of dynamic tire load

對(duì)于輪胎動(dòng)載荷增益而言，其相對(duì)趨勢(shì)與車身加速度相同，在低頻與高頻共振處的峰值均得到有效抑制，其中，低頻段的共振峰值降低了42.0%，高頻共振峰值降低了22.6%。高頻共振處峰值的改善較之車身加速度增益的改善更為明顯，然而在中頻段2～8 Hz內(nèi)，其增益值相較于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架均略有惡化。

4.2 時(shí)域分析

假設(shè)車輛行駛在C級(jí)路面，仿真中采用的路面輸入模型[20]如式(34)所示

(34)

式中：u為行駛車速；zr(t)為路面的不平度的垂向輸入位移；Gq(n0)為路面不平度系數(shù)；w(t)為白噪聲信號(hào)。圖7～圖10分別給出了車速為40 km/h條件下路面輸入曲線時(shí)域圖、車身加速度響應(yīng)曲線、懸架動(dòng)行程響應(yīng)曲線和輪胎動(dòng)載荷響應(yīng)曲線。表3給出了不同車速的隨機(jī)路面輸入條件下，車輛ISD懸架與傳統(tǒng)被動(dòng)懸架的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)對(duì)照表。

圖7 路面輸入曲線Fig.7 Random road input

圖8 車身加速度響應(yīng)曲線Fig.8 Vehicle body acceleration in time domain

圖9 懸架動(dòng)行程響應(yīng)曲線Fig.9 Suspension working space in time domain

圖10 輪胎動(dòng)載荷響應(yīng)曲線Fig.10 Dynamic tire load in time domain

表3 隨機(jī)路面輸入條件下性能指標(biāo)對(duì)照表Tab.3 Performance indexes in random road input

相較于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架，本文研究的車輛ISD懸架的隔振性能具有顯著的優(yōu)勢(shì)。其中，在車速為30 km/h，40 km/h和50 km/h條件下，懸架動(dòng)行程均方根值分別減小了19.69%，20.63%和19.84%，輪胎動(dòng)載荷均方根值分別減小了11.22%，11.20%和11.19%，而車身加速度均方根的提升效果較小，分別僅降低了0.77%，0.66%和0.54%?？傮w而言，相較于傳統(tǒng)被動(dòng)懸架，車輛ISD懸架系統(tǒng)的隔振性能得到了有效的提升。

5 高階阻抗傳遞函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)綜合實(shí)現(xiàn)

根據(jù)雙二次型阻抗傳遞函數(shù)網(wǎng)絡(luò)綜合實(shí)現(xiàn)的最簡(jiǎn)實(shí)現(xiàn)判據(jù)可知，本文優(yōu)化得到的T1(s)滿足Jiang等提出的正則(Regular)條件，可用5個(gè)元件串并聯(lián)進(jìn)行被動(dòng)實(shí)現(xiàn)。其對(duì)應(yīng)的電網(wǎng)絡(luò)圖和機(jī)械網(wǎng)絡(luò)圖分別如圖11和圖12所示。

從圖11和圖12可知，雙二次型阻抗傳遞函數(shù)可用三個(gè)阻尼器、一個(gè)彈簧和一個(gè)慣容器元件組成，對(duì)應(yīng)到電網(wǎng)絡(luò)中即為三個(gè)電阻元件、一個(gè)電感元件和一個(gè)電容元件。以圖12為例，表4給出了機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)的具體數(shù)值。

圖11 電網(wǎng)絡(luò)元件圖Fig.11 Electric network elements

圖12 機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件圖Fig.12 Mechanical network elements

名稱數(shù)值懸架彈簧剛度K/(N·m-1)22 000慣質(zhì)系數(shù)bm/kg93.57慣質(zhì)系數(shù)be/kg474.36阻尼系數(shù)cm/(N·s·m-1)1 840.98阻尼系數(shù)c1/(N·s·m-1)1.04阻尼系數(shù)c2/(N·s·m-1)10 800.15阻尼系數(shù)c3/(N·s·m-1)1.32彈簧剛度k/(N·m-1)613 961

當(dāng)所選用的結(jié)構(gòu)方案為機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件時(shí)，如表4所示。所設(shè)計(jì)的車輛ISD懸架共有8個(gè)元件(包含支撐彈簧元件)組成，在工程上難以實(shí)現(xiàn)，因此可以考慮利用如圖11所示的等效電網(wǎng)絡(luò)元件對(duì)其進(jìn)行模擬實(shí)現(xiàn)，便于工程應(yīng)用。

6 結(jié) 論

(1) 本文研究了高階阻抗傳遞函數(shù)在車輛懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的性能提升效果，結(jié)果表明，高階阻抗傳遞函數(shù)可有效提升懸架系統(tǒng)的綜合性能，其中，懸架動(dòng)行程均方根值最多減小了20.63%，輪胎動(dòng)載荷均方根值最多減小了11.22%，而車身加速度均方根的提升效果較小。

(2) 針對(duì)應(yīng)用機(jī)電慣容器的車輛ISD懸架結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文提出了一種高階阻抗傳遞函數(shù)的降階轉(zhuǎn)換方法，實(shí)現(xiàn)了高階阻抗傳遞函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)綜合被動(dòng)實(shí)現(xiàn)，雙三次型阻抗傳遞函數(shù)可僅用7個(gè)元件進(jìn)行被動(dòng)實(shí)現(xiàn)，減小了網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度。

(3) 根據(jù)機(jī)電相似性理論，當(dāng)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)較為復(fù)雜，不易于工程實(shí)現(xiàn)的情況下，利用電網(wǎng)絡(luò)元件進(jìn)行模擬等效的機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件的方式，可極大的降低機(jī)械網(wǎng)絡(luò)元件的結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，有助于工程化應(yīng)用。