單自由度含對稱約束碰振系統(tǒng)周期運動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

李得洋， 丁旺才， 丁 杰， 李 飛

(1.蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730070； 2.天津鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300010)

由于制造工藝、機械零部件之間的熱脹冷縮等因素的影響，在實際工程力學(xué)系統(tǒng)中存在大量的非光滑因素，如列車車輪與鋼軌的碰撞、飛船對接引起的碰撞[1]等。近年來國內(nèi)外學(xué)者對含非光滑因素的動力學(xué)系統(tǒng)展開了廣泛的研究[2]，通過建立不同的模型，利用理論分析和數(shù)值試驗驗證逐步揭示了非光滑系統(tǒng)的動力學(xué)特性。Shaw等[3]采用接縫法精確地求解了分段線性振子的動力學(xué)響應(yīng)，并通過復(fù)合的全局映射研究了系統(tǒng)周期響應(yīng)的穩(wěn)定性問題。Bernardo等[4]系統(tǒng)研究了分段光滑系統(tǒng)的擦邊流，得到了擦邊分岔的規(guī)范型映射。Kundu等[5]構(gòu)建了四種單自由度彈性約束系統(tǒng)Grazing分岔的范式映射，并研究了擦碰軌道鄰域內(nèi)Poincaré映射的特性。徐慧東等[6]研究了一類單自由度分段線性非光滑系統(tǒng)周期運動的分岔現(xiàn)象和混沌行為。張惠等[7]研究了含間隙和預(yù)緊彈簧碰撞振動系統(tǒng)由于擦邊引起不動點處Jacobian矩陣的行列式和跡的變化特性。吳志強等[8]利用平均法和約束分岔理論分析了一類含非連續(xù)阻尼的單自由度分段線性系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)振動性能的影響。汪諍等[9]應(yīng)用等效模擬電子電路高效快速的對對稱間隙單自由度振動系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，為非線性系統(tǒng)的仿真和試驗提供了一種參考。

胞映射方法最先由Hsu[10]在20世紀80年代初提出，隨后Levitas等[11-12]基于胞映射的思想發(fā)展出龐加萊型的簡單胞映射法，這種方法是在狀態(tài)空間的定相位面中形成胞空間，并通過在此空間中運用簡單胞映射方法對原動力系統(tǒng)進行研究。本文利用龐加萊型的簡單胞映射法對系統(tǒng)周期共存現(xiàn)象進行分析。李健等[13]根據(jù)非光滑動力學(xué)系統(tǒng)特點，得到了非光滑系統(tǒng)吸引子和吸引域的胞映射計算方法，并在一類單自由度碰振系統(tǒng)上驗證了方法的有效性。Chong等[14]利用數(shù)值方法對簡諧激勵下含間隙碰撞振動系統(tǒng)在分岔點附近周期共存現(xiàn)象進行了研究。田亞平等[15]采用PNF(Poincaré-Newton-Floquet)法和延續(xù)追蹤法研究了三自由度單級齒輪傳動系統(tǒng)在多參平面內(nèi)的分岔、沖擊特性隨參數(shù)轉(zhuǎn)遷和參數(shù)間的耦合關(guān)系。

近年來學(xué)者們大多都是基于單個參數(shù)變化下對系統(tǒng)的動力學(xué)特性進行研究。為更全面地分析非光滑系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性，本文在多個參數(shù)協(xié)同變化下進行數(shù)值仿真，同時結(jié)合胞映射方法分析了一類單自由度含對稱彈性約束碰撞振動系統(tǒng)在不同參數(shù)域內(nèi)經(jīng)各種非光滑分岔進行轉(zhuǎn)遷的規(guī)律。

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型及運動微分方程

圖1所示為單自由度含對稱彈性約束碰撞振動系統(tǒng)模型，質(zhì)量為M的振子由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器相連接，并在簡諧激振力F0sin(ΩT+τ)的作用下沿水平方向振動。以系統(tǒng)的靜平衡位置為空間坐標的原點建立坐標系，振子M的位移為X，在振子M的兩側(cè)距離為B的位置固定兩個剛度為K2的彈性約束。在簡諧激勵的作用下，當振子的位移較小時，系統(tǒng)為單自由度的線性振動系統(tǒng)；而當振子的位移小于-B或大于B時，振子會與左右兩側(cè)的彈性約束接觸在一起振動，由于間隙的存在和碰撞的產(chǎn)生，系統(tǒng)會表現(xiàn)出強非線性和非光滑的特性。

圖1 單自由度含對稱彈性約束碰撞振動系統(tǒng)模型Fig.1 The model of a single-degree-of-freedom vibro-impact system with symmetrical soft constraints

系統(tǒng)無量綱運動微分方程為

(1)

方程的通解為

(2)

2 系統(tǒng)n-1-1S周期運動的周期解

為便于周期運動推導(dǎo)，引入下列符號

則系統(tǒng)n-1-1S周期運動的周期解可表示為

(3)

將t=0及t=t1+代入式(3)，可得積分常數(shù)關(guān)于初始條件的表達式

j1=Φ1(0)-1(z(0)-M1(0)CS-Q)j2=Φ2(0)-1(z(t1)-M2(0)NCS)

(4)

將j1,j2代入式(3)有

(5)

(6)

由初始條件x(0)=b和x(t1+)=b可得初相位

(7)

(8)

根據(jù)初相位的表達式，可以得到n-1-1S周期運動存在必須要滿足的必要條件:

(9)

通過數(shù)值方法可獲得方程的根t1，進而確定系統(tǒng)n-1-1S周期運動的周期解。

3 系統(tǒng)Poincare映射的建立及穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性、存在區(qū)域以及局部分岔問題，建立三個Poincaré映射選擇定相位面可以統(tǒng)計出系統(tǒng)周期運動的周期數(shù)；選擇碰撞面可以統(tǒng)計出振子與左右約束面的碰撞次數(shù)。根據(jù)金棟平等研究中的方法選擇碰撞面Σp+構(gòu)造系統(tǒng)Poincaré映射——p∶Σp+→Σp+，則通過Poincaré映射的Jacobi矩陣在不動點處的特征值來研究系統(tǒng)n-p-q運動的穩(wěn)定性及分岔類型。

4 不同參數(shù)域內(nèi)相鄰周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

將系統(tǒng)參數(shù)間隙b和激勵頻率ω作為研究對象。為研究系統(tǒng)周期運動類型和轉(zhuǎn)遷規(guī)律的多樣性，取系統(tǒng)參數(shù)(1):ξ=0.2,μk=100,b∈[0.1,3]和ω∈[0.1,2]。系統(tǒng)在(ω,b)參數(shù)平面內(nèi)周期運動分布圖,如圖2所示。圖中用不同深淺的顏色及相應(yīng)的符號表示各類

圖2 在(ω,b)參數(shù)平面內(nèi)系統(tǒng)周期運動分布圖Fig.2 The distribution diagram of periodic motions in the (ω,b)-parameter plane for the system

根據(jù)系統(tǒng)周期運動分布及轉(zhuǎn)遷規(guī)律的不同，將圖2(a)所示的參數(shù)平面劃分為兩個區(qū)域：ω∈[0.1,2]，b∈[0.1,0.556]區(qū)域為參數(shù)域Ⅰ；ω∈[0.1,2]，b∈[0.556,3]區(qū)域為參數(shù)域Ⅱ,在b>1.2的區(qū)域，系統(tǒng)主要存在1-0-0S,1-1-0,1-0-1和1-1-1S周期運動。1-0-0S與1-1-1S之間主要通過擦邊和鞍結(jié)分岔相互轉(zhuǎn)遷，1-0-0S與1-1-0,1-0-1周期運動之間主要通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷。

4.1 參數(shù)域Ⅰ內(nèi)相鄰周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

在參數(shù)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)在高頻區(qū)主要以1-1-1S和1-1-1AS周期運動為主；隨著ω的減小，1-p-pS和1-(p+1)-(p+1)S周期運動被一些具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)隔開，過渡區(qū)內(nèi)各周期運動之間的轉(zhuǎn)遷規(guī)律為：在ω從大到小的過程中，1-p-pS周期運動經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pAS周期運動；在經(jīng)歷若干個倍周期分岔序列(如1-(p+1)-p和1-p-(p+1)倍周期分岔序列等)后從最后一個倍周期分岔序列的混沌運動中退化出1-(p+1)-(p+1)S周期運動。在ω從小到大的過程中，1-(p+1)-(p+1)S周期運動經(jīng)鞍結(jié)分岔進入混沌；在經(jīng)歷若干個逆倍周期分岔序列后從最后一個逆倍周期分岔序列中退化出1-(p+1)-p或1-p-(p+1)周期運動，然后經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷成兩種反對稱1-p-qAS的周期運動，最后經(jīng)逆叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pS周期運動。過渡區(qū)內(nèi)系統(tǒng)主要通過鞍結(jié)、叉式和倍周期分岔進行周期運動之間的轉(zhuǎn)遷，系統(tǒng)周期運動的類型豐富，且在周期運動之間還夾雜著若干混沌帶，所以稱此區(qū)域為“周期夾雜區(qū)”。這些周期夾雜區(qū)區(qū)域大小隨著ω的減小會縮小，其左側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運動的鞍結(jié)分岔點組成，右側(cè)邊界線由1-p-pS周期運動的叉式分岔點組成。

由于參數(shù)域Ⅰ內(nèi)各周期運動對應(yīng)的參數(shù)區(qū)域隨著間隙的增大而逐漸減小，故取小間隙b=0.1時以位于1-1-1S周期運動與1-2-2S周期運動之間的周期夾雜區(qū)為例來具體分析上述的轉(zhuǎn)遷過程，系統(tǒng)在定相位面Σn上的分叉圖如圖3所示，圖中用不同深淺顏色來表示不同吸引子，從而可方便觀察不同參數(shù)處吸引子共存現(xiàn)象。在ω從大到小的過程中，1-1-1S周期運動經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為兩個反對稱的1-1-1AS周期運動(將一個周期運動繞原點旋轉(zhuǎn)180°后，它會和另一周期運動的相圖完全重合)；隨后系統(tǒng)經(jīng)1-1-1AS周期運動的倍化序列通向混沌運動；隨著ω的減小系統(tǒng)經(jīng)若干個倍周期分岔序列后由混沌退化出1-2-2S周期運動。在ω從小到大的過程中，1-2-2S周期運動首先經(jīng)鞍結(jié)分岔進入混沌；在經(jīng)歷若干個逆倍周期分岔序列后經(jīng)最后一個逆倍周期分岔序列產(chǎn)生1-2-1或1-1-2周期運動；在ω=2.362 337 7處不動點對應(yīng)的兩個特征值為：λ1=1.000 263 639 007 594,λ2=0.345 025 671 782 827。

圖3 b=0.1時系統(tǒng)局部分叉圖Fig.3 Local bifurcation diagrams of the system for b=0.1

此時系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔，1-2-1或1-1-2周期運動轉(zhuǎn)遷為兩種反對稱1-1-1AS周期運動，最后1-1-1AS周期運動經(jīng)逆叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-1-1S周期運動。

結(jié)合分岔圖和通過胞映射所得到的吸引域分布圖可以得出：1-1-1S周期運動轉(zhuǎn)遷到1-2-2S周期運動要經(jīng)歷凸起的周期夾雜區(qū)；由于叉式和鞍結(jié)分岔的存在使得周期夾雜區(qū)內(nèi)存在豐富的吸引子共存現(xiàn)象；其左側(cè)邊界線由1-2-2S周期運動的鞍結(jié)分岔點組成，右側(cè)邊界線由1-1-1S周期運動的叉式分岔點組成。

圖4 b=0.1時定相位面Σn上的吸引域Fig.4 The attractor and its attracting domain on fixed phase Σn for b=0.1

4.2 參數(shù)域Ⅱ內(nèi)周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

由于此系統(tǒng)的對稱性，叉式分岔和逆叉式分岔為其特有的分岔類型，擦邊分岔與此兩種分岔發(fā)生的次序不同將會導(dǎo)致1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動之間的相互轉(zhuǎn)遷變得復(fù)雜。以叉式分岔和逆叉式分岔為參考基準，如果擦邊分岔發(fā)生在叉式分岔和逆叉式分岔之間，擦邊分岔將導(dǎo)致1-(p+1)-(p+1)AS與1-(p+1)-p或1-p-(p+1)之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.825 5為例分析)；如果擦邊分岔發(fā)生在叉式分岔和逆叉式分岔之后，擦邊分岔將導(dǎo)致1-(p+1)-(p+1)S與1-p-pS之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.764 8為例分析)；倍周期分岔如果發(fā)生在叉式分岔后，擦邊分岔在此過程中將會導(dǎo)致混沌運動與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運動、混沌運動與1-p-pS周期運動之間的相互轉(zhuǎn)遷(以b=0.700 5為例分析)。

當不出現(xiàn)叉式分岔時，由于擦邊分岔和鞍結(jié)分岔的不可逆，將會導(dǎo)致在1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動之間存在多態(tài)共存區(qū)(以b=0.6為例分析)。

結(jié)合系統(tǒng)在碰撞面Σp+上的單參分岔圖和圖2所示的周期運動分布圖對以上參數(shù)所代表的系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷規(guī)律進行詳細的分析(顏色較淺表示ω從大到小變化時得到的分岔曲線，顏色較深表示ω從小到大變化時得到的分岔曲線)。

(1)取b=0.6時系統(tǒng)的單參分岔圖(見圖5)并結(jié)合圖2(a)有：

①隨著ω的減小，在ω=0.598 26時系統(tǒng)出現(xiàn)1-1-1S擦邊運動(如圖6所示,虛線表示彈性約束的位置，論文后面相圖中的情況和此處一致)，由于擦邊分岔的奇異性導(dǎo)致振子與兩側(cè)約束面碰撞次數(shù)同時加一，而周期數(shù)不變，1-1-1S周期運動轉(zhuǎn)遷為1-2-2S。同理，在ω逐漸減小的過程中會有一系列的1-p-pS周期運動通過擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為1-(p+1)-(p+1)S周期運動，并且1-(p+1)-(p+1)S周期運動對應(yīng)的參數(shù)域逐漸變窄，當p足夠大時，系統(tǒng)表現(xiàn)為Chatting-impact動力學(xué)特性。所以隨著ω的逐漸減小，在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)存在如下的周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖5 b=0.6時系統(tǒng)單參分岔圖Fig.5 The single-parameter bifurcation diagram of the system for b=0.6

②隨著ω的增加，在ω=0.636 812 12處不動點對應(yīng)的兩個特征值為

λ1=1.000 622 463 428，λ2=0.019 303 201 837。

此時系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔，由此導(dǎo)致振子與兩側(cè)約束面碰撞次數(shù)同時減一，1-2-2S周期運動轉(zhuǎn)遷為1-1-1S周期運動。所以在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)隨著的逐漸變大存在如下的周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖6 振子1-1-1S擦邊運動的相圖Fig.6 Phase plane of 1-1-1S grazing motion

圖7 b=0.6時定相位面Σn上的吸引域Fig.7 The attractor and its attracting domain on fixed phase Σn for b=0.6

通過以上分析可以總結(jié)出：在參數(shù)域Ⅱ內(nèi)1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動在相互轉(zhuǎn)遷的過程中會經(jīng)歷1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動共存的過渡區(qū)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)遷過程不可逆。由于此過渡區(qū)內(nèi)僅僅共存有相互轉(zhuǎn)遷的這兩個周期運動，與前面定義的周期夾雜區(qū)在共存周期運動的個數(shù)和轉(zhuǎn)遷的過程上有明顯的區(qū)別，所以將此區(qū)域定義為“多態(tài)共存區(qū)”。此區(qū)域的左側(cè)邊界線由1-p-pS周期運動的擦邊分岔點組成，右側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運動的鞍結(jié)分岔點組成。

(2)當b=0.825 5,b=0.764 8和b=0.700 5時，系統(tǒng)的單參分岔圖如圖8所示，結(jié)合圖2(b)～圖2(d)可以觀察到：在每個1-p-pS周期運動擦邊分岔的邊界處分布著具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)。

過渡區(qū)內(nèi)都存在以下兩條基本的轉(zhuǎn)遷規(guī)律

圖8 系統(tǒng)的單參分岔圖Fig.8 The single-parameter bifurcation diagram of the system

圖9 周期運動的相圖圖9 Phase plane portraits of periodic motions

圖10 b=0.700 5時Σn截面上的吸引域Fig.10 The attractor and its attracting domain of periodic motion of the system for b=0.700 5

通過以上的分析可得出：由于擦邊、叉式和倍周期分岔的同時存在以及產(chǎn)生順序不同導(dǎo)致1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動在轉(zhuǎn)遷的過程中有過渡區(qū)的存在；對稱周期運動之間、非對稱周期運動之間、混沌運動與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運動、混沌運動與1-p-pS周期運動之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷。此區(qū)域的左側(cè)邊界線由1-(p+1)-(p+1)S周期運動的叉式分岔點組成，右側(cè)邊界線由1-p-pS周期運動的擦邊分岔點組成。

5 結(jié) 論

本文以單自由度含對稱彈性約束碰撞振動系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)系統(tǒng)周期運動的邊界條件和銜接條件確定了n-1-1S周期運動的周期解；在參數(shù)ω和b協(xié)同變化下進行數(shù)值仿真，同時結(jié)合龐加萊型胞映射方法詳細分析了系統(tǒng)的周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律和全局動力學(xué)行為。

(1) 在ω∈[0.1,2]，b∈[0.1,0.556]的參數(shù)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)在高頻區(qū)主要以1-1-1S和1-1-1AS周期運動為主；1-p-pS和1-(p+1)-(p+1)S周期運動之間的周期夾雜區(qū)具有相似的周期轉(zhuǎn)遷規(guī)律：1-p-pS與1-p-pAS周期運動通過叉式分岔轉(zhuǎn)遷；1-p-pAS,1-(p+1)-p,1-p-(p+1)周期運動經(jīng)倍周期分岔進入混沌；1-(p+1)-p或1-p-(p+1)周期運動經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為1-p-pAS周期運動；混沌運動退化為1-(p+1)-(p+1)S周期運動。共存的周期吸引子主要有:兩個反對稱的2i-2ip-2ipAS周期運動、2i-2i(p+1)-2ip與2i-2ip-2i(p+1)(i=0,1,2,…)周期運動以及1-(p+1)-(p+1)S周期運動與混沌等。

(2) 在ω∈[0.1,2]，b∈[0.556,3]的參數(shù)域Ⅱ內(nèi)：① 1-p-pS在周期運動發(fā)生擦邊分岔的邊界處分布著具有相似轉(zhuǎn)遷規(guī)律的過渡區(qū)，過渡區(qū)內(nèi)的轉(zhuǎn)遷過程主要有：1-(p+1)-(p+1)S周期運動經(jīng)叉式分岔轉(zhuǎn)遷為1-(p+1)-(p+1)AS周期運動；1-(p+1)-(p+1)S周期運動與1-p-pS周期運動之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷；1-(p+1)-(p+1)AS與1-(p+1)-p,1-p-(p+1)周期運動之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷；混沌運動與3-(3p+1)-(3p+1)S周期運動、混沌運動與1-p-pS周期運動之間通過擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷;② 在有多態(tài)共存區(qū)的區(qū)域，由擦邊和鞍結(jié)分岔完成1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動之間相互轉(zhuǎn)遷，由于擦邊分岔和鞍結(jié)分岔的分岔點不在同一位置，使得系統(tǒng)在這兩個分岔點之間的參數(shù)區(qū)域共同存在兩個穩(wěn)定的1-p-pS與1-(p+1)-(p+1)S周期運動。